2020中考数学(全国版)复习专题拓展(PDF版):8.2 实验操作型
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4.答案 4 解析 由作图方法可得∠COE = ∠CAB,∴ OE∥AB. 在▱ABCD 中,AO = CO,∴ 线段 OE 为△ABC 的中位线,∴ 线段 OE 的长为 线段 AB 长的一半,为 4. 根据作图方法判断得出∠COE = ∠CAB,由平行 四边形的性质以及平行线的判定定理得出线段 OE 是△ABC 的中位线,进而求得线段 OE 的长度.
(1) 在图 1 中作弦 EF,使 EF∥BC;
(2) 在图 2 中以 BC 为边作一个 45°的圆周角.
(2) 证明:∵ D,E,F 分别是△ABC 三边 AB,BC,CA 的中点,
∴
DE =
1 2
AC,EF =
1 2
AB,FD =
1 2
BC.
6.解析 (1)如图:
线段 EF 为所求弦. (2) 如图 1、2.( 以下画法供参考)
故选 D.
EC = 3. ∴ 在 Rt△ADE 中,AD = AE2 -DE2 = 32 -22 = 5 . ∴ 在 Rt△ADC 中,AC = AD2 +DC2 = ( 5 ) 2 +52 = 30 .
4.(2019 四川成都,14,4 分) 如图,▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,按以下步骤作图:①以点 A 为圆心,以任意长为半 径作弧,分别交 AO,AB 于点 M,N;②以点 O 为圆心,以 AM 长 为半径作弧,交 OC 于点 M′;③以点 M′为圆心,以 MN 长为半 径作弧,在∠COB 内部交前面的弧于点 N′;④过点 N′作射线 ON′交 BC 于点 E.若 AB = 8,则线段 OE 的长为 .
=
FF′DD′,
∴ △DEF∽△D′E′F′.
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
题型二 折叠与对称
图形的折叠属于全等变换,即折叠前后的两个图形是全等 的,这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件. 另外,折叠还 是轴对称变换,解决问题时还可以运用轴对称的性质. 该类题型 综合性较强,但是难度不大.
C.MN∥CD
D.MN = 3CD
(
(
(
2.答案 D 由题意可知MC = CD = DN,∴ ∠COM = ∠COD. 选项 A 的说法正确. 连接 ON,则 OM = ON,又∵ OM = MN,∴ △OMN
(
(
(
是等边三角 形. ∴ ∠MON = 60°, ∵ MC = CD = DN, ∴ ∠AOB =
图2
∠GCB 为所求角. 7.(2019 福建,20,8 分) 已知 ABC 和点 A′,如图.
(1) 以点 A′为一个顶点作△A′B′C′,使得△A′B′C′∽△ABC,且 △A′B′C′的面积等于△ABC 面积的 4 倍;( 要求:尺规作图, 不写作法,保留作图痕迹)
(2) 设 D,E,F 分别是△ABC 三边 AB,BC,CA 的中点,D′,E′,F′ 分别是你所作的△A′B′C′三边 A′B′,B′C′,C′A′的中点,求 证:△DEF∽△D′E′F′.
例 1 (2019 甘肃兰州,16,4 分) 如图,矩形 ABCD,∠BAC = 60°,以点 A 为圆心,以任意长为半径作弧分别交 AB,AC 于 M,N
1 两点,再分别以点 M,N 为圆心,以大于 2 MN 的长为半径作弧交 于点 P,作射线 AP 交 BC 于点 E,若 BE = 1,则矩形 ABCD 的面积 等于 .
3.(2018 四川成都,14,4 分) 如图,在矩形 ABCD 中,按以下步骤
作图:①分别以点
A
和
C
为圆心,以大于
1 2
AC
的长为半径作
弧,两弧相交于点 M 和 N;②作直线 MN 交 CD 于点 E.若 DE =
2,CE = 3,则矩形的对角线 AC 的长为 .
5.解析 (1) 如图所示,∠ADE 为所作.
答案 3 3 例 2 (2018 北京,17,5 分) 下面是小东设计的“ 过直线外 一点作这条直线的平行线” 的尺规作图过程. 已知:直线 l 及直线 l 外一点 P.
(2) AP;CQ;三角形的中位线平行于三角形的第三边.
好题精练
1.(2018 云南昆明,14,4
分) 如图,点
A
在双曲线
y=
AO =
45 5
. 易 证 △FOC
( ) ∽△OBA,∴
S△OBA S△FOC
=
OA FC
2
, 又 S△FOC =
1 2
× 1 × 2 = 1, ∴
S△OBA
=
16 25
.
∴
k
=
2S△OBA
=
32 25 ,故选
B.
2.(2019 北京,5,2 分) 已知锐角∠AOB.
如图,
(1) 在射线 OA 上取一点 C,以点 O
题型一 裁剪、拼接、作图
1.五种基本作图
基本 作图
作一条线 段等于已
知线段
作一个 角等于 已知角
作已知角 的平分线
过一点作 已知直线
的垂线
作已知线 段的垂直
平分线
求作:直线 PQ,使得 PQ∥l. 作法:如图,
对应学生用书起始页码 187 页
图形
2.裁剪与拼接问题通常先给出一个图形,然后要求用直线 或弧线将图形分成特殊形状或面积相等的几部分,解决这类问 题可借助对称的性质、角度的大小、面积公式等进行求解.
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第八章 专题拓展 5
32
43
2 5 +2
A.2
B.
C.
D.
25
5
5
1.答案 B 设 DE 与 AO 交于点 G,由题意知,DE 为线段 OA 的
垂直平分线,∴ DE ⊥AO,OG = AG,∴ OC = AC = 1. 在 Rt △FOC
中,CF =
OC2 +OF2 =
5 ,∴
OG =
25 5 ,∴
5.(2019 广东,19,6 分) 如图,在△ABC 中,点 D 是 AB 边上的点. (1) 请 用 尺 规 作 图 法, 在 △ABC 内, 求 作 ∠ADE, 使 ∠ADE = ∠B,DE 交 AC 于 E;( 不要求写作法,保留作图痕迹) (2) 在(1) 的条件下,若BADD = 2,求EAEC的值.
k x
( x > 0)
上,过点 A 作 AB⊥x 轴,垂足为点 B,分别以点 O 和点 A 为圆
1 心,大于 2 OA 的长为半径作弧,两弧相交于 D,E 两点,作直线
DE 交 x 轴于点 C,交 y 轴于点 F(0,2) ,连接 AC,若 AC = 1,则 k
的值为
( )
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(1)利用尺规作图中的基本作图作一个角等于
已知角,作出
DE;(
2
)
利
用平
行
线分
线段
成比
例得
出
AE EC
=
AD DB
= 2.
6.(2019 江西,15,6 分) 在△ABC 中,AB = AC,点 A 在以 BC 为直
径的半圆内.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图( 保留 ∙∙∙∙∙∙
画图痕迹) .
解析 由 题 意 可 知 AP 是 ∠BAC 的 平 分 线, ∴ ∠BAE =
1 2
∠BAC = 30°,在 Rt△ABE
中,tan
30°
=
BE AB
=
3 3
,而
BE
=Hale Waihona Puke 1,∴AB=
3
,在Rt△ABC中,tan
60°
=
BC AB
=
3 ,∴ BC = 3,∴ S矩形ABCD = AB×
BC = 3 ×3 = 3 3 .
图1 ∠GBC 为所求角.
同理,D′E′ =
1 2
A′C′,E′F′ =
1 2
A′B′,F′D′ =
1 2
B′C′.
∵ △ABC∽△A′B′C′,
∴
AC = A′C′
AB = A′B′
BB′CC′,
∴
1 2
AC
=
1 2
A′C′
1 2
AB
=
1 2
A′B′
1221BB′CC′,
即 DE D′E′
=
EF E′F′
①在直线 l 上取一点 A,作射线 PA,以点 A 为圆心,AP 长为 半径画弧,交 PA 的延长线于点 B;
②在直线 l 上取一点 C( 不与点 A 重合) ,作射线 BC,以点 C 为圆心,CB 长为半径画弧,交 BC 的延长线于点 Q;
③作直线 PQ. 所以直线 PQ 就是所求作的直线. 根据小东设计的尺规作图过程, (1) 使用直尺和圆规,补全图形;( 保留作图痕迹) ( 2) 完成下面的证明. 证明:∵ AB = ,CB = , ∴ PQ∥l( ) ( 填推理的依据) . 解析 (1) 补全图形,如图所示:
§ 8.2 实验操作型
������������������������������
对应学生用书起始页码 186 页
题型特点 常见的形式有裁剪与拼接,折叠与对称,平移与旋转,作图 与测量等,重点考查学生的实践能力和创新意识.
命题规律 在动手操作的过程中,让学生感受到数学学习的乐趣和价
值,经历“数学化” 和“ 再创造” 的过程,不断提高学生的创新意 识和综合能力,一般用到三角形、四边形、圆的性质等知识解题, 解答题较多.
∠COM = ∠DON = 20°. 选项 B 的说法正确. 连接 CN,由圆周角
定理可得∠MNC =
1 2
∠MOC,∠DCN =
1 2
∠DON, ∵
∠COM =
∠DON,∴ ∠MNC = ∠DCN,∴ MN∥CD.∴ 选项 C 的说法正确.
通过观察可知 MN<MC+CD+DN = 3CD. ∴ 选项 D 的说法错误.
例 (2018 新疆乌鲁木齐,15,4 分) 如图,在 Rt △ABC 中, ∠C = 90°,BC = 2 3 ,AC = 2,点 D 是 BC 的中点,点 E 是边 AB 上 一动点,沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置,B′D 交 AB 于点 F.若△AB′F 为直角三角形,则 AE 的长为 .
( (
为圆心, OC 长 为 半 径 作 PQ, 交 射线 OB 于点 D,连接 CD; (2) 分别以点 C,D 为圆心,CD 长为
半径作弧,交PQ于点 M,N;
(3) 连接 OM,MN.
根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是 ( )
A.∠COM = ∠COD
B.若 OM = MN,则∠AOB = 20°
3.答案 30 解析 如图,连接 AE,由作图方法得 MN 垂直平分 AC,∴ EA =
(2) ∵ ∠ADE = ∠B,
∴ DE∥BC,
∴
AE EC
=
BADD,
∵
AD = BD
2,∴
AE EC
=
2.
(4 分) (6 分)
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(1) 在图 1 中作弦 EF,使 EF∥BC;
(2) 在图 2 中以 BC 为边作一个 45°的圆周角.
(2) 证明:∵ D,E,F 分别是△ABC 三边 AB,BC,CA 的中点,
∴
DE =
1 2
AC,EF =
1 2
AB,FD =
1 2
BC.
6.解析 (1)如图:
线段 EF 为所求弦. (2) 如图 1、2.( 以下画法供参考)
故选 D.
EC = 3. ∴ 在 Rt△ADE 中,AD = AE2 -DE2 = 32 -22 = 5 . ∴ 在 Rt△ADC 中,AC = AD2 +DC2 = ( 5 ) 2 +52 = 30 .
4.(2019 四川成都,14,4 分) 如图,▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,按以下步骤作图:①以点 A 为圆心,以任意长为半 径作弧,分别交 AO,AB 于点 M,N;②以点 O 为圆心,以 AM 长 为半径作弧,交 OC 于点 M′;③以点 M′为圆心,以 MN 长为半 径作弧,在∠COB 内部交前面的弧于点 N′;④过点 N′作射线 ON′交 BC 于点 E.若 AB = 8,则线段 OE 的长为 .
=
FF′DD′,
∴ △DEF∽△D′E′F′.
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
题型二 折叠与对称
图形的折叠属于全等变换,即折叠前后的两个图形是全等 的,这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件. 另外,折叠还 是轴对称变换,解决问题时还可以运用轴对称的性质. 该类题型 综合性较强,但是难度不大.
C.MN∥CD
D.MN = 3CD
(
(
(
2.答案 D 由题意可知MC = CD = DN,∴ ∠COM = ∠COD. 选项 A 的说法正确. 连接 ON,则 OM = ON,又∵ OM = MN,∴ △OMN
(
(
(
是等边三角 形. ∴ ∠MON = 60°, ∵ MC = CD = DN, ∴ ∠AOB =
图2
∠GCB 为所求角. 7.(2019 福建,20,8 分) 已知 ABC 和点 A′,如图.
(1) 以点 A′为一个顶点作△A′B′C′,使得△A′B′C′∽△ABC,且 △A′B′C′的面积等于△ABC 面积的 4 倍;( 要求:尺规作图, 不写作法,保留作图痕迹)
(2) 设 D,E,F 分别是△ABC 三边 AB,BC,CA 的中点,D′,E′,F′ 分别是你所作的△A′B′C′三边 A′B′,B′C′,C′A′的中点,求 证:△DEF∽△D′E′F′.
例 1 (2019 甘肃兰州,16,4 分) 如图,矩形 ABCD,∠BAC = 60°,以点 A 为圆心,以任意长为半径作弧分别交 AB,AC 于 M,N
1 两点,再分别以点 M,N 为圆心,以大于 2 MN 的长为半径作弧交 于点 P,作射线 AP 交 BC 于点 E,若 BE = 1,则矩形 ABCD 的面积 等于 .
3.(2018 四川成都,14,4 分) 如图,在矩形 ABCD 中,按以下步骤
作图:①分别以点
A
和
C
为圆心,以大于
1 2
AC
的长为半径作
弧,两弧相交于点 M 和 N;②作直线 MN 交 CD 于点 E.若 DE =
2,CE = 3,则矩形的对角线 AC 的长为 .
5.解析 (1) 如图所示,∠ADE 为所作.
答案 3 3 例 2 (2018 北京,17,5 分) 下面是小东设计的“ 过直线外 一点作这条直线的平行线” 的尺规作图过程. 已知:直线 l 及直线 l 外一点 P.
(2) AP;CQ;三角形的中位线平行于三角形的第三边.
好题精练
1.(2018 云南昆明,14,4
分) 如图,点
A
在双曲线
y=
AO =
45 5
. 易 证 △FOC
( ) ∽△OBA,∴
S△OBA S△FOC
=
OA FC
2
, 又 S△FOC =
1 2
× 1 × 2 = 1, ∴
S△OBA
=
16 25
.
∴
k
=
2S△OBA
=
32 25 ,故选
B.
2.(2019 北京,5,2 分) 已知锐角∠AOB.
如图,
(1) 在射线 OA 上取一点 C,以点 O
题型一 裁剪、拼接、作图
1.五种基本作图
基本 作图
作一条线 段等于已
知线段
作一个 角等于 已知角
作已知角 的平分线
过一点作 已知直线
的垂线
作已知线 段的垂直
平分线
求作:直线 PQ,使得 PQ∥l. 作法:如图,
对应学生用书起始页码 187 页
图形
2.裁剪与拼接问题通常先给出一个图形,然后要求用直线 或弧线将图形分成特殊形状或面积相等的几部分,解决这类问 题可借助对称的性质、角度的大小、面积公式等进行求解.
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第八章 专题拓展 5
32
43
2 5 +2
A.2
B.
C.
D.
25
5
5
1.答案 B 设 DE 与 AO 交于点 G,由题意知,DE 为线段 OA 的
垂直平分线,∴ DE ⊥AO,OG = AG,∴ OC = AC = 1. 在 Rt △FOC
中,CF =
OC2 +OF2 =
5 ,∴
OG =
25 5 ,∴
5.(2019 广东,19,6 分) 如图,在△ABC 中,点 D 是 AB 边上的点. (1) 请 用 尺 规 作 图 法, 在 △ABC 内, 求 作 ∠ADE, 使 ∠ADE = ∠B,DE 交 AC 于 E;( 不要求写作法,保留作图痕迹) (2) 在(1) 的条件下,若BADD = 2,求EAEC的值.
k x
( x > 0)
上,过点 A 作 AB⊥x 轴,垂足为点 B,分别以点 O 和点 A 为圆
1 心,大于 2 OA 的长为半径作弧,两弧相交于 D,E 两点,作直线
DE 交 x 轴于点 C,交 y 轴于点 F(0,2) ,连接 AC,若 AC = 1,则 k
的值为
( )
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(1)利用尺规作图中的基本作图作一个角等于
已知角,作出
DE;(
2
)
利
用平
行
线分
线段
成比
例得
出
AE EC
=
AD DB
= 2.
6.(2019 江西,15,6 分) 在△ABC 中,AB = AC,点 A 在以 BC 为直
径的半圆内.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图( 保留 ∙∙∙∙∙∙
画图痕迹) .
解析 由 题 意 可 知 AP 是 ∠BAC 的 平 分 线, ∴ ∠BAE =
1 2
∠BAC = 30°,在 Rt△ABE
中,tan
30°
=
BE AB
=
3 3
,而
BE
=Hale Waihona Puke 1,∴AB=
3
,在Rt△ABC中,tan
60°
=
BC AB
=
3 ,∴ BC = 3,∴ S矩形ABCD = AB×
BC = 3 ×3 = 3 3 .
图1 ∠GBC 为所求角.
同理,D′E′ =
1 2
A′C′,E′F′ =
1 2
A′B′,F′D′ =
1 2
B′C′.
∵ △ABC∽△A′B′C′,
∴
AC = A′C′
AB = A′B′
BB′CC′,
∴
1 2
AC
=
1 2
A′C′
1 2
AB
=
1 2
A′B′
1221BB′CC′,
即 DE D′E′
=
EF E′F′
①在直线 l 上取一点 A,作射线 PA,以点 A 为圆心,AP 长为 半径画弧,交 PA 的延长线于点 B;
②在直线 l 上取一点 C( 不与点 A 重合) ,作射线 BC,以点 C 为圆心,CB 长为半径画弧,交 BC 的延长线于点 Q;
③作直线 PQ. 所以直线 PQ 就是所求作的直线. 根据小东设计的尺规作图过程, (1) 使用直尺和圆规,补全图形;( 保留作图痕迹) ( 2) 完成下面的证明. 证明:∵ AB = ,CB = , ∴ PQ∥l( ) ( 填推理的依据) . 解析 (1) 补全图形,如图所示:
§ 8.2 实验操作型
������������������������������
对应学生用书起始页码 186 页
题型特点 常见的形式有裁剪与拼接,折叠与对称,平移与旋转,作图 与测量等,重点考查学生的实践能力和创新意识.
命题规律 在动手操作的过程中,让学生感受到数学学习的乐趣和价
值,经历“数学化” 和“ 再创造” 的过程,不断提高学生的创新意 识和综合能力,一般用到三角形、四边形、圆的性质等知识解题, 解答题较多.
∠COM = ∠DON = 20°. 选项 B 的说法正确. 连接 CN,由圆周角
定理可得∠MNC =
1 2
∠MOC,∠DCN =
1 2
∠DON, ∵
∠COM =
∠DON,∴ ∠MNC = ∠DCN,∴ MN∥CD.∴ 选项 C 的说法正确.
通过观察可知 MN<MC+CD+DN = 3CD. ∴ 选项 D 的说法错误.
例 (2018 新疆乌鲁木齐,15,4 分) 如图,在 Rt △ABC 中, ∠C = 90°,BC = 2 3 ,AC = 2,点 D 是 BC 的中点,点 E 是边 AB 上 一动点,沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置,B′D 交 AB 于点 F.若△AB′F 为直角三角形,则 AE 的长为 .
( (
为圆心, OC 长 为 半 径 作 PQ, 交 射线 OB 于点 D,连接 CD; (2) 分别以点 C,D 为圆心,CD 长为
半径作弧,交PQ于点 M,N;
(3) 连接 OM,MN.
根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是 ( )
A.∠COM = ∠COD
B.若 OM = MN,则∠AOB = 20°
3.答案 30 解析 如图,连接 AE,由作图方法得 MN 垂直平分 AC,∴ EA =
(2) ∵ ∠ADE = ∠B,
∴ DE∥BC,
∴
AE EC
=
BADD,
∵
AD = BD
2,∴
AE EC
=
2.
(4 分) (6 分)
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