§10.2-事件的相互独立性课件-高一下学期数学人教A版必修第二册第十章
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(2) P(Ω)＝1，P(∅ )＝0.
(3) 如果 A⊆B，P(A)≤P(B)． (4) A，B 是一个随机试验中的两个事件，
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 特别：①当 A 与 B 互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②当 A 与 B 对立时，P(B)＝1－P(A) 或 P(A)＝1－P(B)．
(0, 0)}, 所以AB={(1, 0)}. 由古典概型概率计算公式，得
P(A)=P(B)= 1 , P(AB)= 1 . 于是P(AB)=P(A)P(B).
2
4
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
新课讲授 下面两个随机实验各定义了一对随机事件A和B，你觉
得事件A产生与否会影响事件B产生的概率吗？
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.
探究1 下面两个随机实验各定义了一对随机事件A和B，你
觉得事件A产生与否会影响事件B产生的概率吗？ 实验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A= “第一枚硬币 正面朝上"，B="第二枚硬币反面朝上”. 实验2： —个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除 标号外没有其它差异. 采用有放回方式从袋中依次任意摸 出两球. A= “第一次摸到球的标号小于3”，B = “第二 次摸到球的标号小于3”.
解：(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 58，若这一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个， 取出的仍是白球”的概率为4，若前一事件没有发生，则后一
7 事件发生的概率为5.可见，前一事件是否发生，对后一事件
7 发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
例 2. 判断下列各对事件是不是相互独立事件： (3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3 点或 6 点”．
根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
P(AB∪AB) =P(AB)＋P(AB) =P(A)P(B)＋P(A)P(B)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.
课本P.248 例2
[题型二]
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的
中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的
(2) 事件 A 与事件 C 是互斥的，因此事件 A 与 C 不是 相互独立事件．
课本P.248 例2
[题型二]
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的
中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的
概率：
(1) 两人都中靶；
(2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶；
(4) 至少有一人中靶.
分析：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, 从要求的概 率可知，需要先分别求A，B的对峙事件A，B的概 率，并利用A, B, A, B构建相应的事件.
课本P.248 例2
[题型二]
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的
中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的
概率：
(1) 两人都中靶；
现从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中 选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”；
解：(1)“从甲组中选出 1 名男生”这一事件是否发生，对“从 乙组中选出 1 名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以 它们是相互独立事件．
例 2. 判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个 球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任 意取出 1 个，取出的还是白球”；
新课程标准 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立
的含义． 2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率.
新学法解读
1.通过阅读教材实例，弄清随机事件相互独立的含义，注 意相互独立事件与互斥事件的区别． 2.能够运用相互独立事件的概率计算公式进行概率计算.
温故知新
1．概率的性质 (1) 对任意事件 A，都有 0≤P(A)≤1.
与事件B是否相互独立？
解：∵样本空间为Ω ={(m, n) | m, n∈{1, 2, 3, 4} 且
m ≠ n}, 包含 12 个等可能的样本点. 而 A ={(1, 2),
(1, 3),(1, 4), (2, 1),(2, 3), (2, 4)}含 6 个样本点,
B={(m, n) | m∈{1, 2, 3, 4}, n∈{1, 2}且m ≠ n} 含 6
分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
新课讲授 下面两个随机实验各定义了一对随机事件A和B，你
觉得事件A产生与否会影响事件B产生的概率吗？ 实验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A= “第一枚硬币正 面朝上"，B="第二枚硬币反面朝上”.
计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
与B是否独立，你有什么发现？ 对于A与因为A=AB∪AB，而且AB与AB互斥，
所以P(A) =P(AB ∪AB)=P(AB)＋P(AB) =P(A)P(B)＋P(AB), 所以
P(AB) =P(A)－P(A)P(B)=P(A)(1－P(B))=P(A)P(B) 由事件的独立性定义，A与B相互独立.
类似地，可以证明 2), (2, 1) }含 2 个样本点.
所以P(A)=P(B)= 6 = 1 , P(AB)= 2 ≠ 1 × 1
此时P(AB)
≠
12 2
P(A)P(B),
因此,
事件1A2与事2件B2不独立.
例 2. 判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生，
事件A与B相互独立.
由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事 件Ω，不可能事件Φ都与任意事件相互独立.
这是因为必然事件Ω总会产生，不会受任何事件 是否产生的影响；同样，不可能事件Φ总不会产生， 也不受任何事件是否产生的影响. 当然，它们也不影 响其他事件是否产生.
探究2 互为对峙的两个事件是非常特殊的一种事件 关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对 峙事件是否也相互独立？ 以有放回摸球实验为例，分别验证A与B、A与B、A
概率：
(1) 两人都中靶；
(2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶；
(4) 至少有一人中靶.
解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”,
B= “乙脱靶”, 由于 甲、乙射击互不影响，∴A与B
相互独立，∴A与B ，A与B，A与B也相互独立，
由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.
(1) AB = “两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB) =P(A)P(B) =0.8×0.9=0.72.
课本P.248 例2
[题型二]
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的
中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的
概率：
(1) 两人都中靶；
(2) 恰好有一人中靶；
(3)事件“两人都脱靶” =AB，所以 P(AB) =P(A)P(B)=(1－0.8) × (1－0.9) =0.02.
课本P.248 例2
[题型二]
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的
中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的
概率：
(1) 两人都中靶；
(2) 恰好有一人中靶；
解：(3)记 A＝“出现偶数点”，B＝“出现 3 点或 6 点”，
则 A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴ P(A)＝3＝1，P(B)＝2＝1，P(AB)＝1，
62
63
6
∴ P(AB)＝P(A)P(B)，
∴ 事件 A 与 B 相互独立．
[题型一]
两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件 发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件 A，B 同时发生的概率等于 事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率的积，则事 件 A，B 为相互独立事件．
果互相不受影响，所以事件A产生与否也不影响事件B产生的
概率.
样本空间为Ω ={(m, n) | m, n∈{1, 2, 3, 4}}, 包含 16 个等
可能的样本点. 而 A ={(m, n) | m∈{1, 2}, n∈{1, 2, 3, 4}}含 8
个样本点, B={(m, n) | m∈{1, 2, 3, 4}, n∈{1, 2}}含 8 个样本点,
温故知新
2．常用概率的加法公式
(1)当 A 与 B 互斥(即 AB＝∅ )时，有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
这称为互斥事件的概率加法公式． (2)一般地，如果 A1，A2，…，Am 是两两互斥的事件，
则 P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．
(3) P(A)＋P( A )＝1.
结论：如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B，
A 与 B 也都相互独立．
课本P.248 例1
[题型一]
例1. 一个袋子中有标号分别为1, 2, 3, 4的4个球，除
标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球
两次. 设事件A = “第一次摸出球的标号小于3”，
事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A
因为两枚硬币分别拋掷，第一枚硬币的抛掷结果与
第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A产生与 否不影响事件B产生的概率.
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝
上”，则样本空间为Ω ={(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)}, 包
含 4 个等可能的样本点. 而 A ={(1, 1), (1, 0)}, B={(1, 0),
(2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶；
(4) 至少有一人中靶.
解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”,
B= “乙脱靶”, 由于 甲、乙射击互不影响，∴A与B
相互独立，∴A与B ，A与B，A与B也相互独立，
由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.
实验2： —个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号
外没有其它差异. 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.
A= “第一次摸到球的标号小于3”，B = “第二次摸到球的标
号小于3”.
计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结
3．求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
新课导入 前面我们研究过互斥事件、对峙事件的概率性质，
还研究过和事件的概率计算方法. 对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？
我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时产生. 因此，积 事件AB产生的概率一定与事件A，B产生的概率有关. 那么， 这种关系会是怎样的呢？
[变式训练]
从 52 张扑克牌(不含大小王)中任抽一张，记事件 A 为“抽得 K”，记事件 B 为“抽得红牌”，记事件 C 为“抽 到 J ”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？ (1) A 与 B； (2) C 与 A.
解：(1) P(A)＝542＝113， P(B)＝2562＝12， 事件 AB 即为“既抽得 K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃 K 或方块 K”，故 P(AB)＝522＝216，从而有 P(A)P(B)＝P(AB)， 因此事件 A 与 B 相互独立．
(3) 两人都脱靶；
(4) 至少有一人中靶.
解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”,
B= “乙脱靶”, 由于 甲、乙射击互不影响，∴A与B
相互独立，∴A与B ，A与B，A与B也相互独立，
由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.
(2)“恰好有一人中靶” =AB∪AB, 且AB与AB互斥，
∴AB={(m, n) | m∈{1, 2}, n∈{1, 2}}含 4 个样本点.
由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=
1 2,
P(AB)=
1 4.
∴ 积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
从上述两个实验的共性中得到启示，我们引入 这种事件关系的一般定义：
⇔⇒ .
P(AB)=P(A)P(B)
(3) 如果 A⊆B，P(A)≤P(B)． (4) A，B 是一个随机试验中的两个事件，
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 特别：①当 A 与 B 互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②当 A 与 B 对立时，P(B)＝1－P(A) 或 P(A)＝1－P(B)．
(0, 0)}, 所以AB={(1, 0)}. 由古典概型概率计算公式，得
P(A)=P(B)= 1 , P(AB)= 1 . 于是P(AB)=P(A)P(B).
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积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
新课讲授 下面两个随机实验各定义了一对随机事件A和B，你觉
得事件A产生与否会影响事件B产生的概率吗？
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.
探究1 下面两个随机实验各定义了一对随机事件A和B，你
觉得事件A产生与否会影响事件B产生的概率吗？ 实验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A= “第一枚硬币 正面朝上"，B="第二枚硬币反面朝上”. 实验2： —个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除 标号外没有其它差异. 采用有放回方式从袋中依次任意摸 出两球. A= “第一次摸到球的标号小于3”，B = “第二 次摸到球的标号小于3”.
解：(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 58，若这一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个， 取出的仍是白球”的概率为4，若前一事件没有发生，则后一
7 事件发生的概率为5.可见，前一事件是否发生，对后一事件
7 发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
例 2. 判断下列各对事件是不是相互独立事件： (3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3 点或 6 点”．
根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
P(AB∪AB) =P(AB)＋P(AB) =P(A)P(B)＋P(A)P(B)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.
课本P.248 例2
[题型二]
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的
中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的
(2) 事件 A 与事件 C 是互斥的，因此事件 A 与 C 不是 相互独立事件．
课本P.248 例2
[题型二]
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的
中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的
概率：
(1) 两人都中靶；
(2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶；
(4) 至少有一人中靶.
分析：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, 从要求的概 率可知，需要先分别求A，B的对峙事件A，B的概 率，并利用A, B, A, B构建相应的事件.
课本P.248 例2
[题型二]
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的
中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的
概率：
(1) 两人都中靶；
现从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中 选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”；
解：(1)“从甲组中选出 1 名男生”这一事件是否发生，对“从 乙组中选出 1 名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以 它们是相互独立事件．
例 2. 判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个 球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任 意取出 1 个，取出的还是白球”；
新课程标准 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立
的含义． 2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率.
新学法解读
1.通过阅读教材实例，弄清随机事件相互独立的含义，注 意相互独立事件与互斥事件的区别． 2.能够运用相互独立事件的概率计算公式进行概率计算.
温故知新
1．概率的性质 (1) 对任意事件 A，都有 0≤P(A)≤1.
与事件B是否相互独立？
解：∵样本空间为Ω ={(m, n) | m, n∈{1, 2, 3, 4} 且
m ≠ n}, 包含 12 个等可能的样本点. 而 A ={(1, 2),
(1, 3),(1, 4), (2, 1),(2, 3), (2, 4)}含 6 个样本点,
B={(m, n) | m∈{1, 2, 3, 4}, n∈{1, 2}且m ≠ n} 含 6
分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
新课讲授 下面两个随机实验各定义了一对随机事件A和B，你
觉得事件A产生与否会影响事件B产生的概率吗？ 实验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A= “第一枚硬币正 面朝上"，B="第二枚硬币反面朝上”.
计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
与B是否独立，你有什么发现？ 对于A与因为A=AB∪AB，而且AB与AB互斥，
所以P(A) =P(AB ∪AB)=P(AB)＋P(AB) =P(A)P(B)＋P(AB), 所以
P(AB) =P(A)－P(A)P(B)=P(A)(1－P(B))=P(A)P(B) 由事件的独立性定义，A与B相互独立.
类似地，可以证明 2), (2, 1) }含 2 个样本点.
所以P(A)=P(B)= 6 = 1 , P(AB)= 2 ≠ 1 × 1
此时P(AB)
≠
12 2
P(A)P(B),
因此,
事件1A2与事2件B2不独立.
例 2. 判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生，
事件A与B相互独立.
由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事 件Ω，不可能事件Φ都与任意事件相互独立.
这是因为必然事件Ω总会产生，不会受任何事件 是否产生的影响；同样，不可能事件Φ总不会产生， 也不受任何事件是否产生的影响. 当然，它们也不影 响其他事件是否产生.
探究2 互为对峙的两个事件是非常特殊的一种事件 关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对 峙事件是否也相互独立？ 以有放回摸球实验为例，分别验证A与B、A与B、A
概率：
(1) 两人都中靶；
(2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶；
(4) 至少有一人中靶.
解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”,
B= “乙脱靶”, 由于 甲、乙射击互不影响，∴A与B
相互独立，∴A与B ，A与B，A与B也相互独立，
由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.
(1) AB = “两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB) =P(A)P(B) =0.8×0.9=0.72.
课本P.248 例2
[题型二]
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的
中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的
概率：
(1) 两人都中靶；
(2) 恰好有一人中靶；
(3)事件“两人都脱靶” =AB，所以 P(AB) =P(A)P(B)=(1－0.8) × (1－0.9) =0.02.
课本P.248 例2
[题型二]
例3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的
中靶概率为0.8 , 乙的中靶概率为0.9 , 求下列事件的
概率：
(1) 两人都中靶；
(2) 恰好有一人中靶；
解：(3)记 A＝“出现偶数点”，B＝“出现 3 点或 6 点”，
则 A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴ P(A)＝3＝1，P(B)＝2＝1，P(AB)＝1，
62
63
6
∴ P(AB)＝P(A)P(B)，
∴ 事件 A 与 B 相互独立．
[题型一]
两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件 发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件 A，B 同时发生的概率等于 事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率的积，则事 件 A，B 为相互独立事件．
果互相不受影响，所以事件A产生与否也不影响事件B产生的
概率.
样本空间为Ω ={(m, n) | m, n∈{1, 2, 3, 4}}, 包含 16 个等
可能的样本点. 而 A ={(m, n) | m∈{1, 2}, n∈{1, 2, 3, 4}}含 8
个样本点, B={(m, n) | m∈{1, 2, 3, 4}, n∈{1, 2}}含 8 个样本点,
温故知新
2．常用概率的加法公式
(1)当 A 与 B 互斥(即 AB＝∅ )时，有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
这称为互斥事件的概率加法公式． (2)一般地，如果 A1，A2，…，Am 是两两互斥的事件，
则 P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．
(3) P(A)＋P( A )＝1.
结论：如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B，
A 与 B 也都相互独立．
课本P.248 例1
[题型一]
例1. 一个袋子中有标号分别为1, 2, 3, 4的4个球，除
标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球
两次. 设事件A = “第一次摸出球的标号小于3”，
事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A
因为两枚硬币分别拋掷，第一枚硬币的抛掷结果与
第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A产生与 否不影响事件B产生的概率.
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝
上”，则样本空间为Ω ={(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)}, 包
含 4 个等可能的样本点. 而 A ={(1, 1), (1, 0)}, B={(1, 0),
(2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶；
(4) 至少有一人中靶.
解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”,
B= “乙脱靶”, 由于 甲、乙射击互不影响，∴A与B
相互独立，∴A与B ，A与B，A与B也相互独立，
由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.
实验2： —个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号
外没有其它差异. 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.
A= “第一次摸到球的标号小于3”，B = “第二次摸到球的标
号小于3”.
计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结
3．求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
新课导入 前面我们研究过互斥事件、对峙事件的概率性质，
还研究过和事件的概率计算方法. 对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？
我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时产生. 因此，积 事件AB产生的概率一定与事件A，B产生的概率有关. 那么， 这种关系会是怎样的呢？
[变式训练]
从 52 张扑克牌(不含大小王)中任抽一张，记事件 A 为“抽得 K”，记事件 B 为“抽得红牌”，记事件 C 为“抽 到 J ”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？ (1) A 与 B； (2) C 与 A.
解：(1) P(A)＝542＝113， P(B)＝2562＝12， 事件 AB 即为“既抽得 K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃 K 或方块 K”，故 P(AB)＝522＝216，从而有 P(A)P(B)＝P(AB)， 因此事件 A 与 B 相互独立．
(3) 两人都脱靶；
(4) 至少有一人中靶.
解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”,
B= “乙脱靶”, 由于 甲、乙射击互不影响，∴A与B
相互独立，∴A与B ，A与B，A与B也相互独立，
由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.
(2)“恰好有一人中靶” =AB∪AB, 且AB与AB互斥，
∴AB={(m, n) | m∈{1, 2}, n∈{1, 2}}含 4 个样本点.
由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=
1 2,
P(AB)=
1 4.
∴ 积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
从上述两个实验的共性中得到启示，我们引入 这种事件关系的一般定义：
⇔⇒ .
P(AB)=P(A)P(B)