高中数学《导数的计算》课件3 新人教A选修22
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(1.2.2)基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
看几个例子
例1.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线 y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线 y=x2的切线方程。
例 2.已 知 y x， (1)求 y; (2)求 曲 线 在 点 （ 1， 1） 处 的 切 线 方 程 .
练习.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、 直线x=2所围城的三角形的面积。
练习:
(1).y
1 x4
;(2).y
x
x.
例 3 日常生活中的饮用水 通常是 经过 净化的 .随着水 纯净度的提高 , 所需净化费 用不断增加 .已知将 1吨水净 化到纯净度为 x % 时所需费
用 单位 : 元 为
c x 5284 80 x 100 .求净化到下纯度
100 x 时 , 所需净化费用的瞬时变 化率 :
2函y 数 e0.0x51可以看y 作 eu和 函 u数
0.0x51的复合 .由复函 合函数数 求导法则有
yx' yu' ux' eu'0.0x5 1'
0 .0 e u5 0 .0 e 0 5 .0x 5 1 .
3函y数 sin x可以看y 作 siu n函 和数
ux的复合 . 函数
1 90 % ; 2 98 % .
思如 考何 y l求 n x 2 的 函导 数 ? 数
若u设 x2x2,则 ylnu.从y而 lnx2可以 看成y是 lnu 由 和 ux2x2经"过 复"合 得到
的 ,即 y可以通过u表 中示 间为 变x自 量 的变 函 . 量 数
如果y与 把 u的关系y 记 fu作 ,u和x的关系记 ugx,那么"这 复个 "合 过程可表示为 yfufgxlnx2.
即: f(x)•g (x)f(x)g (x)f(x)g (x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
gf((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
(2) s (t) t3 1 t2 2 3 t,令 2 s (t) 0 ,即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
练习:已知曲线y 行且距离等于 10
一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.
2.求函数的导数的方法是:
( 1 ) 求 函 数 的 增 量 y f ( x x ) f ( x ) ;
,x求13 直在线点mP(的1,方1)处程的. 切线与直线m平
练习:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 直在线点mP(的1,方1)处程的. 切线与直线m平
解 y： x 1 3,y(x 1 3)(x3) 3x4;
曲线 P(1在 ,1)处的切线k的 y|斜 x1 率 3, 为 从而切线 y1方 3程 (x1为 )即 , 3xy40.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
|b ( 4 )|1 0 |b 4 | 1, 0 b 6 或 b 1;4 3 2 1
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/162022/1/16
(2)求 函 数 的 增 量 与 自 变 量 的 增 说中量 明把:x的 上换面比 x0的即值 方为:法求
yf(xx)f(x);
函数在点x0处的 导 数.
(3 )求 x极 限 ， 得 导 x函 数 y f(x ) lim y .
x 0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数.
公式1: C0(C为 常 数 ).
请同学们求下列函数的导数:
表示y=x图象上每一点
2 ) y f ( x ) x , y ' 1 处的切线斜率都为1
3 ) y f ( x ) x 2 , y ' 2 x 这又说明什么?
4) y f (x) 1 , y' 1
x
x2
公式2: (xn)nnx1(nQ).
yx'
yu' ux'
lnu'3x2' 13 3 .
u 3x2
例4 求下列函数的导数
1y2x32; 2 ye0.0 ; 5x1
3ysinx其中,均为常.数
解1函y数 2x32可以看y作 u3和 函数
u2x3的复合 . 由函 复合函数 数求导法则有
yx' yu' ux' u2'2x3' 4u8x1.2
复合 y函 fgx数 的导数 yf和 u,u函 gx的 数
导数间 yx ' 的 yu ' ux '.关系为
yx' 表示 y对x的导数
即 y对 x的导y数 对 u的 等导 于 u对 数 x的与 导数 . 的
由此,可 yl得 n3x2对 x的导数 y等 lnu对 于 u的
导数 u与 3x2对 x的导数,即 的乘积
我们遇到的许多 可函 以数 看都 成是由两 经个 过函
"复合 "得到,的 例如 ,函数 y2x32由yu2和u2x3
"复合 "而成 ,等等 .
一般,对 地于两个 y函 fu数 和ugx,如果通过 u, 变 y可以表x的 示函 成,那 数么称这个函 y数 fu为 和函 ugx的复 合函 数 (compofsuintcetio),n记作 yfgx.
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
yf(x 0)f(x 0)x (x 0).
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数. 解 :yf(x)C,yf(xx)f(x)CC,y0, x f(x)Climy0. x 0x
3.函数f(x)在点x0处的导数 f (x0) 就是导函数 f (x)在x= x0处的函数值,即f(x0)f(x)|xx0.这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f (x0)，得到曲线
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
四、小结与作业
1.会求常用函数 yc,yx,yx2,y1, x
的导数.其中: 公式1: C0(C为 常 数 ).
2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率 有关的较为综合性问题.
log a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
导数的运算法则：
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的
导数的和(差),即: f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
由复合函数求导法则有
yx' yu' ux' siun 'x'
cu o s c o x sห้องสมุดไป่ตู้.
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
-4t3+16t2.
4
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
看几个例子
例1.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线 y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线 y=x2的切线方程。
例 2.已 知 y x， (1)求 y; (2)求 曲 线 在 点 （ 1， 1） 处 的 切 线 方 程 .
练习.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、 直线x=2所围城的三角形的面积。
练习:
(1).y
1 x4
;(2).y
x
x.
例 3 日常生活中的饮用水 通常是 经过 净化的 .随着水 纯净度的提高 , 所需净化费 用不断增加 .已知将 1吨水净 化到纯净度为 x % 时所需费
用 单位 : 元 为
c x 5284 80 x 100 .求净化到下纯度
100 x 时 , 所需净化费用的瞬时变 化率 :
2函y 数 e0.0x51可以看y 作 eu和 函 u数
0.0x51的复合 .由复函 合函数数 求导法则有
yx' yu' ux' eu'0.0x5 1'
0 .0 e u5 0 .0 e 0 5 .0x 5 1 .
3函y数 sin x可以看y 作 siu n函 和数
ux的复合 . 函数
1 90 % ; 2 98 % .
思如 考何 y l求 n x 2 的 函导 数 ? 数
若u设 x2x2,则 ylnu.从y而 lnx2可以 看成y是 lnu 由 和 ux2x2经"过 复"合 得到
的 ,即 y可以通过u表 中示 间为 变x自 量 的变 函 . 量 数
如果y与 把 u的关系y 记 fu作 ,u和x的关系记 ugx,那么"这 复个 "合 过程可表示为 yfufgxlnx2.
即: f(x)•g (x)f(x)g (x)f(x)g (x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
gf((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
(2) s (t) t3 1 t2 2 3 t,令 2 s (t) 0 ,即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
练习:已知曲线y 行且距离等于 10
一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.
2.求函数的导数的方法是:
( 1 ) 求 函 数 的 增 量 y f ( x x ) f ( x ) ;
,x求13 直在线点mP(的1,方1)处程的. 切线与直线m平
练习:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 直在线点mP(的1,方1)处程的. 切线与直线m平
解 y： x 1 3,y(x 1 3)(x3) 3x4;
曲线 P(1在 ,1)处的切线k的 y|斜 x1 率 3, 为 从而切线 y1方 3程 (x1为 )即 , 3xy40.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
|b ( 4 )|1 0 |b 4 | 1, 0 b 6 或 b 1;4 3 2 1
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/162022/1/16
(2)求 函 数 的 增 量 与 自 变 量 的 增 说中量 明把:x的 上换面比 x0的即值 方为:法求
yf(xx)f(x);
函数在点x0处的 导 数.
(3 )求 x极 限 ， 得 导 x函 数 y f(x ) lim y .
x 0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数.
公式1: C0(C为 常 数 ).
请同学们求下列函数的导数:
表示y=x图象上每一点
2 ) y f ( x ) x , y ' 1 处的切线斜率都为1
3 ) y f ( x ) x 2 , y ' 2 x 这又说明什么?
4) y f (x) 1 , y' 1
x
x2
公式2: (xn)nnx1(nQ).
yx'
yu' ux'
lnu'3x2' 13 3 .
u 3x2
例4 求下列函数的导数
1y2x32; 2 ye0.0 ; 5x1
3ysinx其中,均为常.数
解1函y数 2x32可以看y作 u3和 函数
u2x3的复合 . 由函 复合函数 数求导法则有
yx' yu' ux' u2'2x3' 4u8x1.2
复合 y函 fgx数 的导数 yf和 u,u函 gx的 数
导数间 yx ' 的 yu ' ux '.关系为
yx' 表示 y对x的导数
即 y对 x的导y数 对 u的 等导 于 u对 数 x的与 导数 . 的
由此,可 yl得 n3x2对 x的导数 y等 lnu对 于 u的
导数 u与 3x2对 x的导数,即 的乘积
我们遇到的许多 可函 以数 看都 成是由两 经个 过函
"复合 "得到,的 例如 ,函数 y2x32由yu2和u2x3
"复合 "而成 ,等等 .
一般,对 地于两个 y函 fu数 和ugx,如果通过 u, 变 y可以表x的 示函 成,那 数么称这个函 y数 fu为 和函 ugx的复 合函 数 (compofsuintcetio),n记作 yfgx.
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
yf(x 0)f(x 0)x (x 0).
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数. 解 :yf(x)C,yf(xx)f(x)CC,y0, x f(x)Climy0. x 0x
3.函数f(x)在点x0处的导数 f (x0) 就是导函数 f (x)在x= x0处的函数值,即f(x0)f(x)|xx0.这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f (x0)，得到曲线
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
四、小结与作业
1.会求常用函数 yc,yx,yx2,y1, x
的导数.其中: 公式1: C0(C为 常 数 ).
2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率 有关的较为综合性问题.
log a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
导数的运算法则：
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的
导数的和(差),即: f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
由复合函数求导法则有
yx' yu' ux' siun 'x'
cu o s c o x sห้องสมุดไป่ตู้.
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
-4t3+16t2.
4
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: