福建省福州市永泰县山海联盟校教学协作体2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题(含答案解析)

福建省福州市永泰县山海联盟校教学协作体2021-2022学年
高二上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．若()()5
05,f x x f x '==，则0x 的值为（ ）
A
B ．1或1-
C ．1
D ．－1
2．若数列{}n a 满足1113,1n
n n
a a a a ++=-=-，则2022a 的值为（ ） A ．2
B ．3-
C ．12-
D ．13
3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若BA a =，BC b =，
1BB c =，则下列向量与BM 相等的是（ ）
A ．11
22a b c --+
B ．11
22+-a b c
C ．11
22
-++a b c
D ．11
22
a b c ++
4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（ ） A ．6.5尺
B ．13.5尺
C ．14.5尺
D ．15.5尺
5．若不等式210x ax ++≥在13,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有解，则a 的最小值是（ ）
A ．0
B ．-2
C ．2512
-
D ．52
-
6．已知随圆2222
1(0,30)3x b y a b a +=>>与双曲线22221x y a b -=相同的焦点，则椭圆和双曲
线的离心1e ，2e 分别为（ ） A
．12e e =
=B
．12e e =
=
C ．121
,2
e e =D ．121,2e e =
=
7．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若378a a +=．则9S =（ ） A ．20
B ．28
C ．36
D ．44
8．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()'f x 是函数f （x ）的导函数，若()0f x '>，对12,x x R ∀∈，且12x x ≠．总有()()
12122
2f x f x x x f ++⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，则下列选项正确的是（ ）
A ．()()(2)f f e f π<<
B ．()()(2)f f e f π'>>''
C ．(2)(2)(1)(1)f f f f ''<-<
D ．(2)(3)(2)(3)f f f f <-'<'
二、多选题
9．关于x y ，的方程22(1)(1)()m x my m m m -+=-∈R 表示的曲线可以是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线
D ．直线
10．在等比数列{}n a 中，13461,8a a a a +=-+=，则（ ） A ．114
a =-
B ．公比2q =-
C ．34
5
a =-
D ．5716a a +=
11．以下命题正确的是（ ）
A ．若p 是平面α的一个法向量，直线b 上有不同的两点A ，
B ，则//b α的充要条件是
0p AB ⋅=
B ．已知A ，B ，
C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212
555OP OA OB OC =++，
则P ，A ，B ，C 四点共面
C ．已知()1,1,2a =-，()0,2,3b =，若ka b +与2a b -垂直，则3
4
k =
D ．已知ABC 的顶点坐标分别为()1,1,2A -，()4,1,4B ，()3,2,2C -，则AC 边上的高
BD 12．已知函数()f x 及其导函数()'f x ，若存在0x 使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ） A ．2()f x x =
B ．()x f x e -=
C ．()ln f x x =
D ．()tan f x x =
三、填空题
13．若方程22220x y x y k +--+=表示的曲线是圆，则实数的k 取值范围是___________.
14．若平面α的法向量()1,0,1n =-，直线l 的方向向量为()0,1,1d =，则l 与α所成角的大小为___________.
15．已知函数()f x 是定义域上的单调递增函数，()'f x 是()f x 的导数且为定义域上的单调递减函数，请写出一个满足条件的函数()f x 的解析式___________． 16．已知数列{}n a 满足12a =，()1
11n n n a a n +++-=，{}n a 的前n 项和为n S ，则61S =
______. 四、解答题
17．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝2
3
时，y ＝f (x )有极值．
（1）求a ，b ，c 的值;
（2）求y ＝f (x )在区间[－3，1]上最大值和最小值．
18．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且1a 、2a 、5a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式： (2)设11n n n b a a +=
．数列{n b }的前n 项和为n S ，求证：1
2
n S <． 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12,AC CB AA ==＝
AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ．E 为AB 中点．
(1)求证：1//BC 平面1A CE ；
(2)求平面1A CE 与平面CEB 夹角的余弦值．
20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2n n S n a -=． (1)求证：{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)若111n n n b a ++=
-，数列{}n b 的前n 项和为n T ．求证：31
22
n T -<≤-． 21．已知函数()()ln f x ax x a R =-∈. （1）当2a =时，求函数()f x 的极值；
（2）若对()0,x ∀∈+∞，()0f x >恒成立，求a 的取值范围. 22．已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22
143
x y +=交于A ，B 两点．
(1)若线段AB 的中点为31,4M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，求k 的值；
(2)若OA OB ⊥，求证：原点O 到直线l 的距离为定值．
参考答案：
1．B 【解析】 【分析】
求出函数的导数，由方程求解即可. 【详解】
()4x 5f x '=，
()4
0055f x x ='∴=，
解得01x =或01x =-， 故选：B 2．C 【解析】 【分析】
通过列举得到数列具有周期性，4n n a a +=，所以202250542212a a a ⨯+===-.
【详解】 11121111
3,,112
n n n a a a a a a a +++=-=
∴==---， 同理可得：3451
,2,3,3a a a ===-⋯⋯⋯，
可得4n n a a +=，则20225054221
2a a a ⨯+===-.
故选:C. 3．D 【解析】
根据空间向量的运算，用,,a b c 为基底表示出BM ，可得选项. 【详解】
1111
2
BM BA AA A M BA BB AC =++=++ ()
11111222
BA BB BC BA BA BB BC =++-=++ 11
22
a c
b =
++
4．D 【解析】
根据题意转化为等差数列，求首项. 【详解】
设冬至的日影长为1a ，雨水的日影长为13540.5a a a ++=，根据等差数列的性质可知33340.513.5a a =⇒=，芒种的日影长为12 4.5a =，
11
213.5
11 4.5a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得：115.5a =，1d =-， 所以冬至的日影长为15.5尺. 故选：D 5．D 【解析】 【分析】
将题设条件转化为1a x x -≤+在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有解,然后求出1
x x +的最大值即可得解.
【详解】
不等式210x ax ++≥在13,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有解,
即为1a x x -≤+在13,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有解,
设1()f x x x =+,则()f x 在13,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减,
所以255(),122f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦,
所以52
a -≤,即5
2a ≥-,
故选:D. 【点睛】
本题主要考查二次不等式能成立问题,可以选择分离参数转化为最值问题,也可以进行分情况讨论. 6．B 【解析】
设公共焦点为(),0c ±，推导出222a b =，可得出c =，进而可求得1e 、2e 的值. 【详解】
设公共焦点为(),0c ±，则2222233c a b a b =-=+，则222a b =，
即2232c a =
，故c =，
即
2e 12e ==， 故选：B 7．C 【解析】 【分析】
利用等差数列的性质和求和公式可求得9S 的值. 【详解】
由等差数列的性质和求和公式可得()()193799998
36222
a a a a S ++⨯====. 故选：C. 8．C 【解析】 【分析】
由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项. 【详解】
由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>， 故A 不正确；
对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()
12122
2f x f x x x f ++⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，可得函数的图象是向上凸，
可用如图的图象来表示，
由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以
()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；
()()()()
212121
AB f f f f k --=
=-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，
由图可知()()21AB f k f ''<<，所以C 正确， 同理()()()()
323232
f f f f k --==-，由图可知(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'，故D 不正确.
故选：C 9．ABD 【解析】 【分析】
对参数进行分类讨论m ＝1， m ＝0，0<m ＜1，m ＞1等四种情况进行分析即可； 【详解】 解：由题意得：
对于方程（m ﹣1）x 2+my 2＝m （m ﹣1）
⊥当m ＝1时，方程即y 2＝0，即 y ＝0，表示x 轴； ⊥当m ＝0时，方程即x 2＝0，即 x ＝0，表示y 轴； ⊥当m ≠1，且 m ≠0时，方程即22
11
x y m m +=-，
因为m ≠m ﹣1，所以方程不可能是圆； 若0<m ＜1，方程表示双曲线； 若m ＞1，方程表示椭圆．
综合可得：方程不可能是抛物线与圆．
故选：ABD ． 10．BC 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，根据13461,8a a a a +=-+=，由()3
4613a a q a a +=+求解判断.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为13461,8a a a a +=-+=，
所以()3
4613a a q a a +=+，
所以38,2q q =-=-.
因为()
2
13111a a a q +=+=-，
所以115
a =-，2
3145a a q ==-，()574616a a q a a +=+=-.
故选：BC 11．BD 【解析】 【分析】
举出反例可判断A ；由空间向量的线性运算转化条件为1
2
AP PB PC =
+，即可判断B ；由空间向量垂直的坐标表示可判断C ；由空间向量夹角的坐标表示可得cos A ，再由sin BD AB A =即可判断D.
【详解】
对于A ，若直线b α⊂，则0p AB →
⋅=成立，故//b α不是0p AB →
⋅=的必要条件， 故A 错误；
对于B ，若212555OP OA OB OC =++，则()(
)()
212
555
OP OA OB OP OC OP -=-+-，
所以1
2
AP PB PC =
+，所以P ，A ，B ，C 四点共面，故B 正确； 对于C ，由题意可得(),2,23k a b k k k →
→
+=-++，()22,0,1a b →
→
-=-，
若 k a b →
→
+与2a b →→
-垂直，则22230k a b a b k k →→→→⎛⎫⎛⎫
+⋅-=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得 34k =-，
故C 错误；
对于D ，由题意()5,0,2AB =，()4,3,0AC =-，
则25AB ==20co s 529
AC AB A AC AB
=⋅=
=
⋅
所以sin 9
2A =
=
所以AC 边上的高sin BD AB A ==故D 正确. 故选：BD. 12．AC 【解析】 【分析】
直接利用“巧值点”的定义，一一验算即可. 【详解】
对于A ：⊥2()f x x =，⊥()2f x x '=，令()()f x f x '=，即22x x =，解得：x =0或x =2，故有“巧值点”.
对于B ：⊥()x f x e -=，⊥()x
f x e -'=-，令()()f x f x '=，即x x e e --=-，无解，故没有“巧
值点”.
对于C ：⊥()ln f x x =，⊥1()f x x
'=，令()()f x f x '=，即1ln x x
=
，由()ln f x x =和 1()f x x '=
的图像可知，
二者图像有一个交点，故()()f x f x '=有一个根，故有“巧值点”.
对于D ：⊥()tan f x x =，⊥21()cos f x x '
=
，令()()f x f x '=，即21
tan cos x x
=，可得
sin 22x =，无解，故没有“巧值点”.
故选：AC 【点睛】
数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移. 13．(),2-∞ 【解析】 【分析】
根据二元二次方程表示圆的条件求解． 【详解】
由题意22(2)(2)40k -+-->，2k <． 故答案为：(,2)-∞． 14．6
π##30︒ 【解析】 【分析】
设直线l 与平面α所成角为θ，则0,2π⎡⎤
θ∈⎢⎥⎣⎦
，直接利用直线与平面所成的角的向量计算公
式，即可求出直线l 与平面α所成的角． 【详解】
解：已知直线l 的方向向量为()0,1,1d =，平面α的法向量为()1,0,1n =-， 设直线l 与平面α所成角为θ，则0,2π⎡⎤
θ∈⎢⎥⎣⎦
，
11sin 2
2n d n d
θ⋅∴=
=
=⨯，6π
θ∴=，
所以直线l 与平面α所成角为6
π
. 故答案为：6
π.
15．()ln f x x =（答案不唯一） 【解析】 【分析】
由题意可得()f x '≥0，结合()'f x 在定义域上为减函数可取()f x =ln x .
因为()f x 在定义域为单调增函数 所以在定义域上()f x '≥0，
又因为()'f x 在定义域上为减函数，且大于等于0. 所以()f x 可取ln x (0x >)，()'f x 1
=x
(0x >)，满足条件
所以()f x 可为ln x (0x >).
故答案为：()f x =ln x （答案不唯一） . 16．962 【解析】
分析出当n 为正奇数时，1n n a a n ++=，可求得60S 的值，再分析出当n 为正偶数时，
314n n a a +--=，可求得61a 的值，进而可求得61S 的值. 【详解】
由题知，当n 为正奇数时，1n n a a n ++=， 于是121a a +=,343a a +=，565a a +=，，596059a a +=，
所以606030
135599002
S ⨯=+++
+=
=. 又因为当n 为正偶数时，1n n n a a +-=，且11n n a a n -+=-， 所以两式相加可得1121n n a a n +-+=-，于是3123n n a a n +++=+， 两式相减得314n n a a +--=.
所以611154215462a a =+⨯=+⨯=，故6190062962S =+=. 故答案为：962. 【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键在于分析出当n 为正奇数时，1n n a a n ++=，以及当n 为正偶数时，314n n a a +--=，找出规律，结合并项求和法求出60S 以及61a 的值. 17．（1）2,4,5a b c ==-=；（2）最大值为13，最小值为95
27
. 【解析】
（1）求导，结合导数的几何意义列方程组，即可得解；
（2）求导，确定函数的单调性和极值，再和端点值比较即可得解. 【详解】
（1）由题意，2()32f x x ax b '=++，
因为曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0， 所以(1)32=3f a b '=++，(1)1=4f a b c =+++， 又当23x =
时，y ＝f (x )有极值，所以244
=0333
f a b ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭， 所以2,4,5a b c ==-=；
（2）由（1）得32()245f x x x x =+-+，()()2
()344322f x x x x x '=+-=-+，
所以当()23,2,13x ⎛⎫
∈--⋃ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，函数单调递增；
当22,3⎛
⎫∈- ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，函数单调递减；
又(3)8f -=，(2)13f -=，295
327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()14f =，
所以()y f x =在[－3,1]上的最大值为(2)13f -=，最小值为295
327
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭. 18．(1)21n a n =-； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，根据题意可得出关于d 的方程，求出d 的值，利用等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式；
（2）求得11122121n b n n ⎛⎫
=- ⎪-+⎝⎭
，利用裂项相消法求出n S ，即可证得结论成立.
(1)
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，
由题意可得2
215a a a =，即()2
114d d +=+，整理可得220d d -=，0d ≠，解得2d =，
因此，()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-.
(2) 证明：()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪-+-+⎝⎭， 因此，()1111111
1111123355721212
2212
n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥
-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦， 故原不等式得证. 19．(1)证明见解析； 【解析】 【分析】
（1）连接1AC 与1A C 交于点O ，连接OE ，得到1//OE BC ，再利用线面平行的判定定理证
明即可；
（2）根据AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，建立空间直角坐标系，求得平面1A CE 的一个法向量(),,m x y z =，再根据1CC ⊥底面ABC ，得到平面CEB 一个法向量，然后由夹角公式求解. (1) 如图所示：
连接1AC 与1A C 交于点O ，连接OE ，如图，
由,O E 分别为1,AC AB 的中点
所以1//OE BC ，又OE ⊂平面1A CE ，1BC ⊄平面1A CE ， 所以1//BC 平面1A CE ； (2)
由AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，故1CC ⊥底面ABC 建立如图所示空间直角坐标系：
则((
)()(
)111,0,0,0,1,1,0,0,2,0,A C C E B B ， 所以(
)(11,1,0,CE CA ==， 设平面1A CE 的一个法向量为：(),,m x y z =， 则1
00CE m CA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即020x y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，
令1x =
，则1,y z =-=
(1,1,m =-，
因为1CC ⊥底面ABC
，所以1(0,0,CC →
=为平面CEB 一个法向量， 所以1115
cos ,5||||
CC m CC m CC m
→
→
⋅<>=
=-⋅
所以平面1A CE 与平面CEB 20．(1)证明见解析，12n
n a =-
(2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由2n n S n a -=可得()1112n n S n a ----=，两式作差可得()1121n n a a --=-，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式； （2）求得1
1
02n n n b ++=-<，利用错位相减法可求得n T ，结合数列{}n T 的单调性可证得结论成立. (1)
证明：当1n =时，111112S a a -=-=，解得11a =-， 当2n ≥时，由2n n S n a -=可得()1112n n S n a ----=，
上述两个等式作差得1122n n n a a a --=-，所以，121n n a a -=-，则()1121n n a a --=-， 因为11a =-，则110a -≠，可得210a -≠，310a -≠，，
以此类推，可知对任意的N n *∈，10n a -≠，所以，
()11
221
n n a n a --=≥-， 因此，数列{}1n a -是等比数列，且首项为112a -=-，公比为2， 所以，1
1222n n n a -=⨯=---，解得12n n a =-.
(2) 证明：1111
012
n n n n n b a ++++=
=-<-， 则10n n n T T b --=<，其中2n ≥，所以，数列{}n T 为单调递减数列，则11
2
n T T ≤=-，
234
1
2341
2222n n n T ++=-
----， 3412
1231
22222n n n n n T +++=-----， 上式-下式，得1341221111111
11118212222
222212
n n n n n n n T -+++⎛⎫
- ⎪++⎛⎫⎝⎭=--++
++=--+ ⎪⎝⎭-
1223113342242
n n n n n +++++=-++=-+，
所以，1333
222n n n T ++=
->-，因此，3122
n
T -<≤-. 21．（1）极小值为1ln2+，无极大值；（2）1
,e
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
（1）对函数()f x 进行求导、列表、判断函数()f x 的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；
（2）对()0f x <进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出a 的取值范围即可. 【详解】
（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，
当2a =时，'
121
()2(0)x f x x x x -=-
=>.由'()0f x =，得12
x =. 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表
所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
所以函数()f x 的极小值为11ln 22f ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，无极大值.
（2）对()0,x ∀∈+∞，()0f x >恒成立，即对()0,x ∀∈+∞，ln x
a x
>恒成立. 令ln ()x h x x =
，则'
2
1ln ()x h x x
-=.由'()0h x =得x e =， 当()0,x e ∈时，'()0h x >，()h x 单调递增； 当(),x e ∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减，
所以()max 1
()h x h e e ==，因此1a e
>.
所以a 的取值范围是1,e
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了构造函数法、常变量分离法，考查了数学运算能力和分类讨论思想. 22．(1)1-； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）设出,A B 两点的坐标，利用点差法即可求出k 的值；
（2）设出直线l 的方程y kx m =+，与椭圆方程联立，写韦达；根据OA OB ⊥，求出2
2
7112
m k +=，从而可证明原点O 到直线l 的距离为定值． (1)
设()()1122,,,A x y B x y ，则22
11143x y +=，2222143
x y +=， 两式相减，得
22221212043x x y y --+=，即()()()()12121212043
x x x x y y y y -+-++=， 所以()()()()1212121
24
3
x x x x y y y y -+-+=-，即()()
1212
12
1234x x y y x x y y +-=-
-+，
又因为线段AB 的中点为31,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以1212
3213424y y x x -⨯⨯=--⨯⨯，即12121y y k x x -==--； (2)
设斜率为k 的直线l 为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，
由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=，
所以2121222
8412
,3434km m x x x x k k -+=-=++，
()()()()2
222284344121612390km k m k m ∆=-+-=-+>，
因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，
即()()12120x x kx m kx m +++=，所以()()22
121210k x x km x x m ++++=，
所以()22
2224128103434m km k km m k k -⎛⎫
+⋅+-+= ⎪++⎝⎭
，即22712120m k --=， 所以2
2
7112
m k +=，
原点O 到直线l
的距离为
d =
=
=.
所以原点O 到直线l
.。