广东省肇庆市2019-2020学年第四次中考模拟考试数学试卷含解析

广东省肇庆市2019-2020学年第四次中考模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）
A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长:学*科*网]
2．在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是（）
A．B．C．
D．
3．已知M，N，P，Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是( )
A．∠NOQ＝42°B．∠NOP＝132°
C．∠PON比∠MOQ大D．∠MOQ与∠MOP互补
4．如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
5．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的度数为()
A．54°B．64°C．74°D．26°
6．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为1
3
，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）
A ．(2，1)
B ．(2，0)
C ．(3，3)
D ．(3，1)
7．某小组7名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ） 劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5 人 数
1
1
3
2
A ．中位数是4，众数是4
B ．中位数是3.5，众数是4
C ．平均数是3.5，众数是4
D ．平均数是4，众数是3.5
8．在一个不透明的盒子里有2个红球和n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是1
5
，则n 的值为（ ） A ．10
B ．8
C ．5
D ．3
9．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n 、m 的大矩形，则图中阴影部分的周长是（ ）
A ．6（m ﹣n ）
B ．3（m+n ）
C ．4n
D ．4m
10．某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（ ） A ．平均数
B ．中位数
C ．众数
D ．方差
11．如图，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=o ，2OB OA =，点A 在反比例函数1
y x
=的图象上．若点B 在反比例函数k
y x
=
的图象上，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．-2
C ．4
D ．-4
12．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2019层的三角形个数为_____．
14．我国自主研发的某型号手机处理器采用10 nm 工艺，已知1 nm=0.000000001 m ，则10 nm 用科学记数法可表示为_____m ．
15．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=8. O e 是△ABC 的外接圆，其半径为5. 若点A 在优弧BC 上，则tan ABC ∠的值为_____________.
16．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 ．
17．因式分解：4x 2y ﹣9y 3＝_____．
18．一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是_________
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）先化简，再求代数式（
2223
11a a a --+-）÷11
a +的值，其中a=2sin45°+tan45°． 20．（6分）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．若前四局双方战成2：2，那么甲队最终获胜的概率是__________；现甲队在前两局比赛中已取得2：0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？
21．（6分）如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB 的延长线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ．
（1）求证：∠D=2∠A ； （2）若HB=2，cosD=
3
5
，请求出AC 的长．
22．（8分）如图，在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一个动点（不与点,A C 重合），连接PB 过点P 作PF PB ⊥，交直线DC 于点F ．作PE AC ⊥交直线DC 于点E ，连接,AE BF ．
（1）由题意易知，ADC ABC ∆∆≌，观察图，请猜想另外两组全等的三角形∆ ∆≌ ；∆
∆≌ ；
（2）求证：四边形AEFB 是平行四边形；
（3）已知22AB =，PFB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
23．（8分）图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上
（1）画出将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转90°后所得到的△A 1BC 1； （2）画出将△ABC 向右平移6个单位后得到的△A 2B 2C 2； （3）在（1）中，求在旋转过程中△ABC 扫过的面积．
24．（10分）雾霾天气严重影响市民的生活质量。

在今年寒假期间，某校九年级一班的综合实践小组学生对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民，并对调查结果进行了整理，绘制了下图所示的不完整的统计图表：
组别雾霾天气的主要成因百分比
A 工业污染45%
B 汽车尾气排放m
C 炉烟气排放15%
D 其他（滥砍滥伐等）n
请根据统计图表回答下列问题：本次被调查的市民共有多少人？并求m和n的值；请补全条形统计图，并计算扇形统计图中扇形区域D所对应的圆心角的度数；若该市有100万人口，请估计市民认为“工业污染和汽车尾气排放是雾霾天气主要成因”的人数.
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE．求证：DE是⊙O的切线；若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
26．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D 作DE⊥AC，垂足为点E．求证：DE是⊙O的切线；当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．
27．（1227÷32﹣12015）0+2•sin60°．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
试题分析：
解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选D．
考点：生活中的平移现象
2．D
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A．不是中心对称图形，本选项错误；
B．不是中心对称图形，本选项错误；
C．不是中心对称图形，本选项错误；
D．是中心对称图形，本选项正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．C
【解析】
试题分析：如图所示：∠NOQ=138°，选项A错误；∠NOP=48°，选项B错误；如图可得∠PON=48°，∠MOQ=42°，所以∠PON比∠MOQ大，选项C正确；由以上可得，∠MOQ与∠MOP不互补，选项D 错误．故答案选C．
考点：角的度量.
4．B
【解析】 【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【详解】
解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 不正确； B 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B 正确； C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 不正确； D 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D 不正确. 故选B. 【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识. 5．B 【解析】 【分析】
根据菱形的性质以及AM ＝CN ，利用ASA 可得△AMO ≌△CNO ，可得AO ＝CO ，然后可得BO ⊥AC ，继而可求得∠OBC 的度数． 【详解】
∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB ∥CD ，AB ＝BC ，
∴∠MAO ＝∠NCO ，∠AMO ＝∠CNO ， 在△AMO 和△CNO 中，
MAO NCO AM CN
AMO CNO ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AMO ≌△CNO(ASA)， ∴AO ＝CO ， ∵AB ＝BC ， ∴BO ⊥AC ， ∴∠BOC ＝90°， ∵∠DAC ＝26°，
∴∠BCA ＝∠DAC ＝26°， ∴∠OBC ＝90°﹣26°＝64°． 故选B ． 【点睛】
本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．6．A
【解析】
【分析】
根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是1
3
，根据已知数据可以求出点C的坐标．
【详解】
由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是1
3
，
∴OD DC OB AB
，
又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选A．
【点睛】
本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．7．A
【解析】
【分析】
根据众数和中位数的概念求解．
【详解】
这组数据中4出现的次数最多，众数为4，
∵共有7个人，
∴第4个人的劳动时间为中位数，
所以中位数为4，
故选A．
【点睛】
本题考查众数与中位数的意义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8．B
【解析】
∵摸到红球的概率为1
5
，
∴
21
25
n =+， 解得n=8， 故选B ． 9．D 【解析】 【详解】
解：设小长方形的宽为a ，长为b ，则有b=n-3a ， 阴影部分的周长：
2(m-b)+2(m-3a)+2n=2m-2b+2m-6a+2n=4m-2(n-3a)-6a+2n=4m-2n+6a-6a+2n=4m ． 故选D ． 10．B 【解析】 【分析】
总共有9名同学，只要确定每个人与成绩的第五名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断． 【详解】
要想知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩， 即中位数． 故选B. 11．D 【解析】 【分析】
要求函数的解析式只要求出B 点的坐标就可以，过点A 、B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，分别于C 、D ，根据条件得到ACO ODB ~V V ，得到：2BD OD OB
OC AC OA
===，然后用待定系数法即可. 【详解】
过点A 、B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，分别于C 、D ，
设点A 的坐标是(),m n ，则AC n =，OC m =，
Q90
AOB
∠=︒，
∴90
AOC BOD
∠+∠=︒，Q90
DBO BOD
∠+∠=︒，∴DBO AOC
∠=∠，
Q90
BDO ACO
∠=∠=︒，∴BDO OCA
~
V V，
∴BD OD OB OC AC OA
==，
Q2
OB OA
=，
∴2
BD m
=，2
OD n
=，
因为点A在反比例函数
1
y
x
=的图象上，则1
mn=，
Q点B在反比例函数
k
y
x
=的图象上，B点的坐标是()
2,2
n m
-，
∴2244
k n m mn
=-⋅=-=-.
故选：D.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.
12．D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
【详解】
解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
故选D.
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．2．
【解析】
【分析】
设第n层有a n个三角形（n为正整数），根据前几层三角形个数的变化，即可得出变化规律“a n＝2n﹣2”，再代入n＝2029即可求出结论．
【详解】
设第n层有a n个三角形（n为正整数），
∵a2＝2，a2＝2+2＝3，a3＝2×2+2＝5，a4＝2×3+2＝7，…，
∴a n＝2（n﹣2）+2＝2n﹣2．
∴当n＝2029时，a2029＝2×2029﹣2＝2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律“a n＝2n﹣2”是解题的关键．
14．1×10﹣1
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：10nm用科学记数法可表示为1×10-1m，
故答案为1×10-1．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15．2
【解析】
【分析】作高线AD，由等腰三角形的性质可知D为BC的中点，即AD为BC的垂直平分线，根据垂径定理，AD过圆心O，由BC的长可得出BD的长，根据勾股定理求出半径，继而可得AD的长，在直角三角形ABD中根据正切的定义求解即可.
试题解析：如图，作AD⊥BC，垂足为D，连接OB，
∵AB=AC，∴BD=CD=1
2
BC=
1
2
×8=4，
∴AD 垂直平分BC ，
∴AD 过圆心O ，
在Rt △OBD 中，OD=222254OB BD -=-=3，
∴AD=AO+OD=8，
在Rt △ABD 中，tan ∠ABC=
84
AD BD ==2， 故答案为2.
【点睛】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、正切的定义等知识，综合性较强，正确添加辅助线构造直角三角形进行解题是关键.
16．45
【解析】
【详解】
试题分析：根据概率的意义，用符合条件的数量除以总数即可，即
1024105
-=. 考点：概率
17．y （2x+3y ）（2x-3y ）
【解析】
【分析】
直接提取公因式y ，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】
4x 2y ﹣9y 3=y(4x 2-9y 2=x(2x+3y)(2x-3y).
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
18．18π
【解析】解：设圆锥的半径为r ，母线长为l .则 222{27
r l l r ππ=-= 解得3
{6r l ==
=3618S rl πππ∴=⨯⨯=侧
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．11a -，2． 【解析】
【分析】
先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可．
【详解】
解：原式()()()()()()21231,1111a a a a a a a ⎡⎤--=-⋅+⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦
()()()22231,11a a a a a --+=
⋅++- 1,1
a =- 当2sin45tan45a =︒+︒22121,2=⨯
+=+时 原式2.2112
===+- 【点睛】
考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键．
20．（1）
12；（2）78 【解析】
分析：（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率公式求． 详解：（1）甲队最终获胜的概率是
12
； （2）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7，
所以甲队最终获胜的概率=78
． 点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．
21．（1）证明见解析；（2）AC=45. 【解析】 【分析】 （1）连接OC ，根据切线的性质得到90OCP ∠=︒，根据垂直的定义得到90DEP ∠=︒，得到COB D ∠=∠，然后根据圆周角定理证明即可；
（2）设O e 的半径为r ，根据余弦的定义、勾股定理计算即可．
【详解】
（1）连接OC ．
∵射线DC 切O e 于点C ，90OCP ∴∠=︒．
DE AP ⊥Q ，90DEP ∴∠=︒，90P D ∴∠+∠=︒，90P COB ∠+∠=︒，COB D ∴∠=∠，由圆周角定理得：2COB A ∠=∠，2D A ∴∠=∠；
（2）由（1）可知：90OCP ∠=︒，COP D ∠=∠，3cos cos 5
COP D ∴∠=∠=
，CH OP ⊥Q ，90CHO ∴∠=︒，设O e 的半径为r ，则2OH r =-，在Rt CHO ∆中，23cos 5OH r HOC OC r -∠===，5r ∴=，523OH ∴=-=，∴由勾股定理可知：4CH =，1028AH AB HB ∴=-=-=． 在Rt AHC ∆中，90CHA =︒∠，由勾股定理可知：2245AC AH CH =+=．
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理以及解直角三角形，掌握切线的性质定理、圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．
22．（1）,,,PEF PCB ADE BCF ；（2）见解析；（3）存在，2
【解析】
【分析】
（1）利用正方形的性质及全等三角形的判定方法证明全等即可；
（2）由（1）可知PEF PCB ∆∆≌，则有EF BC =，从而得到AB EF =，最后利用一组对边平行且相等即可证明；
（3）由（1）可知PEF PCB ∆∆≌，则PF PB =，从而得到PBF ∆是等腰直角三角形，则当PB 最短时，PBF ∆的面积最小，再根据AB 的值求出PB 的最小值即可得出答案．
【详解】
解：（1）Q 四边形ABCD 是正方形，
,45AD DC BC ACD ACB ︒∴==∠=∠=，
,PE AC PB PF ⊥⊥Q ，
90EPC BPF ︒∴∠=∠=，
,45EPF CPB PEC PCE ︒∴∠=∠∠=∠=，
PE PC ∴=，
在PEF ∆和PCB ∆中，
PEF BCP PE PC
EPF CPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()PEF PCB ASA ∴∆∆≌
EF BC DC ∴==
DE CF ∴=
在ADE ∆和BCF ∆中，
90AD BC D BCF DE CF ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
()ADE BCF SAS ∴∆∆≌
故答案为,,,PEF PCB ADE BCF ；
（2）证明：由（1）可知PEF PCB ∆∆≌，
EF BC ∴=，
AB BC =Q
AB EF ∴=
//AB EF Q
∴四边形AEFB 是平行四边形.
（3）解：存在，理由如下：
PEF PCB ∆∆Q ≌
PF PB ∴=
90BPF ︒∠=Q
PBF ∆∴是等腰直角三角形，
PB ∴最短时，PBF ∆的面积最小，
∴当PB AC ⊥时，PB 最短，此时2cos 452222
PB AB =⋅︒=⨯=， PBF ∆∴的面积最小为12222
⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是解题的关键．
23．（1）（1）如图所示见解析；（3）4π+1．
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质得出对应点位置，即可画出图形；
（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出图形；
（3）根据△ABC 扫过的面积等于扇形BCC 1的面积与△A 1BC 1的面积和，列式进行计算即可．
【详解】
（1）如图所示，△A 1BC 1即为所求；
（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；
（3）由题可得，△ABC 扫过的面积=29041413602
π⨯⨯+⨯⨯=4π+1． 【点睛】
考查了利用旋转变换依据平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．求扫过的面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
24．（1）200人，30%,10%m n ==；（2）见解析，036；（3）75万人.
【解析】
【分析】
(1)用A 类的人数除以所占的百分比求出被调查的市民数，再用B 类的人数除以总人数得出B 类所占的百分比m ，继而求出n 的值即可；
(2)求出C 、D 两组人数，从而可补全条形统计图，用360度乘以n 即可得扇形区域D 所对应的圆心角的度数；
(3)用该市的总人数乘以持有A 、B 两类所占的百分比的和即可．
【详解】
(1)本次被调查的市民共有：9045%200÷=(人)， ∴60100%30%200
m =⨯=，145%15%30%10%n =---=； (2)C 组的人数是20015%30⨯=(人)、D 组的人数是20090603020---=(人)， ∴6020100%30%,100%10%200200m n =
⨯==⨯=； 补全的条形统计图如下图所示：
扇形区域D 所对应的圆心角的度数为：
0036010%36⨯=；
(3)()10045%30%75⨯+=(万)，
∴若该市有100万人口，市民认为“工业污染和汽车尾气排放是雾霾天气主要成因”的人数约为75万人.
【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图、统计表，读懂图形，找出必要的信息是解题的关键.
25．（1）证明见解析；（2）15.
【解析】
【分析】
（1）先连接OD ，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE ，推出∠EDB=∠EBD ，∠ODB=∠OBD ，即可求出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）首先证明AC=2DE=20，在Rt △ADC 中，DC=12，设BD=x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+122，在Rt △ABC
中，BC 2=（x+16）2-202，可得x 2+122=（x+16）2-202，解方程即可解决问题．
【详解】
（1）证明：连结OD ，∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵OD=OB ，
∴∠B=∠BDO ，
∵∠ADE=∠A ，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∴∠ODE=90°．
∴DE是⊙O的切线；
（2）连结CD，∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE．
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°．
∴EC是⊙O的切线．
∴DE=EC．
∴AE=EC，
又∵DE=10，
∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，22
201612
-=
设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，
在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，
∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，
∴22
12915
+=.
【点睛】
考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题.
26．（1）证明见解析；（2）BD＝3
【解析】
【分析】
（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出CE CD
BD AB
=，从而求得BD•CD=AB•CE，
由BD=CD，即可求得BD2=AB•CE，然后代入数据即可得到结果．
（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙0的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴AD平分BC，即DB＝DC，
∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙0的切线；
（2）∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△ADB，
∴CE CD BD AB
=，
∴BD•CD＝AB•CE，
∵BD＝CD，
∴BD2＝AB•CE，
∵⊙O半径为3，CE＝2，
∴BD62
⨯＝3
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．
27．3
【解析】
【分析】
利用负整数指数幂、零指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算．
解：原式+8×12﹣﹣ 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。