实验四线性系统的根轨迹

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实验四 线性系统的根轨迹
一、实验目的
1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。

2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。

3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。

4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。

二、基础知识及MATLAB 函数
根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。

这个参数一般选为开环系统的增益K 。

课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。

而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。

假设系统的对象模型可以表示为
11210111()()m m m m n n n n
b s b s b s b G s KG s K s a s b s a -+--++++==++++ 系统的闭环特征方程可以写成
01()0KG s +=
对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。

如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。

若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。

绘制系统的根轨迹rlocus （）
MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为:
rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。

rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。

rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。

r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。

[r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向
量k 。

其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。

K 为根轨迹增益，可设定增益范围。

例3-1:已知系统的开环传递函数32(1)()429
s G s K s s s *+=+++，绘制系统的根轨迹的matlab 的调用语句如下:
num=[1 1]; %定义分子多项式
den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式
rlocus (num;den) %绘制系统的根轨迹
grid %画网格标度线
xlabel(‘Real Axis ’),ylabel(‘Imaginary Axis ’) %给坐标轴加上说明 title(‘Root Locus ’) %给图形加上标题名 则该系统的根轨迹如图3-1（a ）所示。

若上例要绘制K 在（1，10）的根轨迹图，则此时的matlab 的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-1（b ）所示。

num=[1 1]; den=[1 4 2 9];
k=1:0.5:10;
rlocus (num;den;k)
1）确定闭环根位置对应增益值K的函数rlocfind（）
在MATLAB中，提供了rlocfind函数获取与特定的复根对应的增益K的值。

在求出的根轨迹图上，可确定选定点的增益值K和闭环根r（向量）的值。

该函数的调用格式为:
[k,r]=rlocfind(num,den)
执行前，先执行绘制根轨迹命令rlocus（num,den），作出根轨迹图。

执行rlocfind命令时，出现提示语句“Select a point in the graphics window”，即要求在根轨迹图上选定闭环极点。

将鼠标移至根轨迹图选定的位置，单击左键确定，根轨迹图上出现“+
”标记，即得到了该点的增益
K和闭环根r的返回变量值。

例3-2:系统的开环传递函数为
2
32
56
()
8325
s s
G s K
s s s
*
++
=
+++
，试求:（1）系统的根轨迹；（2）
系统稳定的K的范围；（3）K=1时闭环系统阶跃响应曲线。

则此时的matlab的调用格式为: G=tf([1,5,6];[1,8,3,25]);
rlocus (G); %绘制系统的根轨迹
[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k和对应的极点r
G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统
step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线
则系统的根轨迹图和闭环系统阶跃响应曲线如图3-2所示。

其中，调用rlocfind（）函数，求出系统与虚轴交点的K值，可得与虚轴交点的K值为0.0264，故系统稳定的K的范围为(0.0264,)
K∈∞。

（a）完整根轨迹图形（b）特定增益范围内的根轨迹图形
图3-1 系统的根轨迹图形
三、实验内容
1．请绘制下面系统的根轨迹曲线
22()(22)(613)K G s s s s s s =
++++ 2(12)()(1)(12100)(10)K s G s s s s s +=
++++ 2(0.051)()(0.07141)(0.0120.11)
K G s s s s s +=+++ 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。

四、实验报告
1．根据内容要求，写出调试好的MATLAB 语言程序，及对应的结果。

2. 记录显示的根轨迹图形，根据实验结果分析根轨迹的绘制规则。

3. 根据实验结果分析闭环系统的性能，观察根轨迹上一些特殊点对应的K 值，确定闭环系统稳定的范围。

4．写出实验的心得与体会。

五、预习要求
1. 预习实验中的基础知识，运行编制好的MATLAB 语句，熟悉根轨迹的绘制函数rlocus()及分析函数rlocfind(),sgrid()。

2. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法，思考当系统参数K 变化时，对系统稳定性的影响。

四：1. 22()(22)(613)
K G s s s s s s =++++ （1）程序代码：
G=tf([1],[1,8,27,38,26]);
rlocus (G);
[k,r]=rlocfind(G)
G_c=feedback(G,1);
step(G_c)
（2）实验结果：
-8-6
-4
-2
02
4
6
8
Root Locus
Real Axis I m a g i n a r y A x i s
selected_point =
-8.8815 + 9.4658i
k =
1.8560e+04
r =
-10.2089 + 8.3108i
-10.2089 - 8.3108i
6.2089 + 8.2888i
6.2089 - 8.2888i
selected_point =
-9.5640 - 7.6273i
k =
1.3262e+04
r =
-9.5400 + 7.6518i
-9.5400 - 7.6518i
5.5400 + 7.6258i
5.5400 - 7.6258i
selected_point =
-0.8436 + 1.1180i
k =
3.6752
r =
-3.1044 + 2.0194i
-3.1044 - 2.0194i
-0.8956 + 1.1669i
-0.8956 - 1.1669i
selected_point =
-0.0095 + 2.1118i
k =
73.9872
r =
-3.9617 + 2.4724i
-3.9617 - 2.4724i
-0.0383 + 2.1409i
-0.0383 - 2.1409i
（3）结果分析：
根轨迹与虚轴有交点，所以在K从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。

由根轨迹图和运行结果知，当0<K<73.9872时，系统总是稳定的。

2(12)
()(1)(12100)(10)K s G s s s s s +=++++
（1）程序代码：
G=tf([1,12],[1,23,242,1220,1000]);
rlocus (G);
[k,r]=rlocfind(G)
G_c=feedback(G,1);
step(G_c)
（2）实验结果：
selected_point =
-11.9076 + 2.6398i
k =
1.3433e+03
r =
0.4698 +10.6207i
0.4698 -10.6207i
-11.9698 + 2.8634i
-11.9698 - 2.8634i
selected_point =
0.0355 + 9.7826i
k =
1.0505e+03
r =
-11.3838 + 2.9674i
-11.3838 - 2.9674i
-0.1162 + 9.9146i
-0.1162 - 9.9146i
（3）结果分析：
根轨迹与虚轴有交点，所以在K 从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。

由
根轨迹图和运行结果知，当0<K<1050.5时，系统总是稳定的。

2(0.051)
()(0.07141)(0.0120.11)K G s s s s s +=+++
（1） 程序代码：
G=tf([0.05,1],[0.0008568,0.01914,0.1714,1,0]);
rlocus (G);
[k,r]=rlocfind(G)
G_c=feedback(G,1);
step(G_c)
（2）实验结果：
selected_point =
-27.6540 + 0.1863i
k =
521.8293
r =
13.9393 +27.9598i
13.9393 -27.9598i
-27.6515
-22.5660
selected_point =
0.0711 + 8.3851i
k =
7.8321
r =
-0.0336 + 8.5173i
-0.0336 - 8.5173i
-11.1359 + 1.4131i
-11.1359 - 1.4131i
（3）结果分析：
根轨迹与虚轴有交点，所以在K从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。

由根轨迹图和运行结果知，当0<K<7.832时，系统总是稳定的.
2.由以上根轨迹图知，根轨迹起于开环极点，终于开环零点。

在复平面上标出系统的开环零极点后,可以根据其零极点数之和是否为奇数确定其在实轴上的分布。

根轨迹的分支数等于开环传递函数分子分母中的最高阶次,根轨迹在复平面上是连续且关于实轴对称的。

当开环传递函数的分子阶次高于分母阶次时,根轨迹有n-m条沿着其渐近线趋于无穷远处。

根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点或者相邻零点之间存在分离点,两条根轨迹分支在复平面上相遇在分离点以某一分离角分开,不在实轴上的部分,根轨迹以起始角离开开环复极点,以终止角进入开环复零点。

有的根轨迹随着K的变化会与虚轴有交点。

在画图时,确定了以上的各个参数或者特殊点后,就可得系统的根轨迹概略图。

4. 本次实验我们首先熟悉了MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式，随后又利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。

课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图，而用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可通过自己添加零极点或者改变根轨迹增益的范围来观测参数变化对特征根位置的影响。

在绘制系统根轨迹的过程中，我们逐渐掌握了用根轨迹分析系统性能的图解方法。

根轨
迹分析法较时域分析法更加方便和直观，它让我们看到了参数变化对系统性能的影响具体方面，让我们理解得更加透彻。