定量分析中的误差及有效数字答案

思考题
1. 指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，应该用什么方法减免？
(1) 砝码被腐蚀；
答：引起系统误差(仪器误差)，采用校准砝码、更换砝码。

(2) 天平的两臂不等长；
答：引起系统误差(仪器误差)，采用校正仪器(天平两臂等长)或更换仪器。

(3) 容量瓶和移液管不配套；
答：引起系统误差(仪器误差)，采用校正仪器(相对校正也可)或更换仪器。

(4) 试剂中含有微量的被测组分；
答：引起系统误差(试剂误差)，采用空白试验，减去空白值。

(5) 天平的零点有微小变动；
答：随机(偶然)误差。

(6) 读取滴定管体积时最后一位数字估计不准；
答：随机(偶然)误差。

采用读数卡和多练习，提高读数的准确度。

(7) 滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液；
答：过失，弃去该数据，重做实验。

(8) 标定HCl 溶液用的NaOH 标准溶液中吸入CO2。

答：系统误差(试剂误差)。

终点时加热，除去CO2，再滴至稳定的终点(半分钟不褪色)。

2. 判断下列说法是否正确
(1) 要求分析结果达到0.2%的准确度，即指分析结果的相对误差为0.2%。

(2) 分析结果的精密度高就说明准确度高。

(3) 由试剂不纯造成的误差属于偶然误差。

(4) 偏差越大，说明精密度越高。

(5) 准确度高，要求精密度高。

(6) 系统误差呈正态分布。

(7) 精密度高，准确度一定高。

(8) 分析工作中，要求分析误差为零。

(9) 偏差是指测定值与真实值之差。

(10) 随机误差影响测定结果的精密度。

(11) 在分析数据中，所有的“0”均为有效数字。

(12) 方法误差属于系统误差。

(13) 有效数字中每一位数字都是准确的。

(14) 有效数字中的末位数字是估计值，不是测定结果。

(15) 有效数字的位数多少，反映了测量值相对误差的大小。

(16) 有效数字的位数与采用的单位有关。

(17) 对某试样平行测定多次，可以减少系统误差。

(18) Q检验法可以检验测试数据的系统误差。

答：(1) 对；(2) 错；(3) 错；(4) 错；(5) 对；(6) 错；(7) 错；(8) 错；(9) 错；(10) 对；(11) 错；(12) 对；
(13) 错；(14) 对；(15) 对；(16) 错；(17) 错；(18) 错
3. 单选题
(1) 准确度和精密度的正确关系是……………………..……………………………………………….( )
(A) 准确度不高，精密度一定不会高(B) 准确度高，要求精密度也高
(C) 精密度高，准确度一定高(D) 两者没有关系
(2) 从精密度好就可判断分析结果准确度的前提是…………………..……………………………….( )
(A) 偶然误差小(B) 系统误差小(C) 操作误差不存在(D) 相对偏差小
(3) 以下是有关系统误差叙述，错误的是………………………………...…………………………….( )
(A) 误差可以估计其大小(B) 误差是可以测定的
(C) 在同一条件下重复测定中，正负误差出现的机会相等(D) 它对分析结果影响比较恒定
(4) 测定精密度好，表示………….…………………………………..………………………………….( )
(A) 系统误差小(B) 偶然误差小(C) 相对误差小(D) 标准偏差小
(5) 下列叙述中错误的是…………….……………………………………..…………………………….( )
(A) 方法误差属于系统误差(B) 系统误差具有单向性
(C) 系统误差呈正态分布(D) 系统误差又称可测误差
(6) 下列因素中，产生系统误差的是………………………………………….………………………….( )
(A) 称量时未关天平门(B) 砝码稍有侵蚀
(C) 滴定管末端有气泡(D) 滴定管最后一位读数估计不准
(7) 下列情况所引起的误差中，不属于系统误差的是……..………………..………………………….( )
(A) 移液管转移溶液后残留量稍有不同(B): 称量时使用的砝码锈蚀
(C) 天平的两臂不等长(D) 试剂里含微量的被测组分
(8) 下述说法不正确的是……..…..………………..…………………….……………………………….( )
(A) 偶然误差是无法避免的(B) 偶然误差具有随机性
(C) 偶然误差的出现符合正态分布(D) 偶然误差小，精密度不一定高
(9) 下列叙述正确的是……….…………………..……………………………………………………….( )
(A) 溶液pH为11.32，读数有四位有效数字(B) 0.0150g试样的质量有4位有效数字
(C) 测量数据的最后一位数字不是准确值
(D) 从50mL滴定管中，可以准确放出5.000mL标准溶液
(10) 分析天平的称样误差约为0.0002克，如使测量时相对误差达到0.1%，试样至少应该称……….( )
(A) 0.1000克以上(B) 0.1000克以下(C) 0.2克以上(D) 0.2克以下
(11) 精密度的高低用（）的大小表示………………………..………………………………………….( )
(A) 误差(B) 相对误差(C) 偏差(D) 准确度
(12) 分析实验中由于试剂不纯而引起的误差属于…………………..…………….……………..…….( )
(A): 系统误差(B) 过失(C) 偶然误差(D)方法误差
(13) 四次测定结果：0.3406、0.3408、0.3404、0.3402，其分析结果的平均值为……………………….( )
(A) 0.0002 (B) 0.3405 (C) 0.059% (D) 0.076%
(14) 配制一定摩尔浓度的NaOH溶液时，造成所配溶液浓度偏高的原因是…..…………………….( )
(A) 所用NaOH固体已经潮解(B): 向容量瓶倒水未至刻度线
(C) 有少量的NaOH溶液残留在烧杯中(D) 用带游码的托盘天平称NaOH固体时误用“左码右物”
(15) 四次测定结果：55.51、55.50、55.46、55.49、55.51，其分析结果的平均偏差为………..………….( )
(A) 55.49 (B) 0.016 (C) 0.028 (D) 0.008
(16) 托盘天平读数误差在2克以内，分析样品应称至( )克才能保证称样相对误差为1% 。

…..…….( )
(A) 100克(B) 200克(C) 150克(D) 50克
(17) 滴定时，不慎从锥形瓶中溅失少许试液，是属于…………………….……..…………………….( )
(A) 系统误差(B) 偶然误差(C) 过失(D) 方法误差
(18) 绝对偏差是指单项测定与( )的差值。

…………………….……………..…..…………………….( )
(A) 真实值(B): 测定次数(C) 平均值(D) 绝对误差
(19) 要求滴定分析时的相对误差为0.2%，50mL滴定管的读数误差约为0.02毫升，滴定时所用液体体积至少要( )亳升。

…………………………………………………….……………..…..…………………….( )
(A) 15毫升(B) 10毫升(C) 5毫升(D) 20毫升
(20) 四次测定结果：20.01、20.03、20.04、20.05，其分析结果的变异系数(相对标准偏差)为………….( )
(A) 0.013% (B) 0.017% (C) 0.085% (D) 20.03%
(21) 四次测定结果：20.01、20.03、20.04、20.05，其分析结果的标准偏差为…………….…………….( )
(A) 0.013 (B) 0.065 (C) 0.017 (D) 0.085
(22) pH＝4.230有( )位有效数字。

………………………………………….…..…..…………………….( )
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
(23) 增加测定次数可以减少…………………………………………………...…..…………………….( )
(A) 系统误差(B) 过失(C) 操作误差(D) 偶然误差
答案：(1) B；(2) BD；(3) C；(4) B；(5) C；(6) B；(7) A；(8) D；(9) C；(10) C；(11) C；(12) A；(13) B；
(14) B；(15) B；(16) B；(17) C；(18) C；(19) B；(20) C；(21) C；(22) B；；(23) D
4. 多选题
(1) 下列情况引起的误差，属于系统误差的有………………..……………...…..…………………….( )
(A) 砝码腐蚀(B)天平零点稍有变动
(C) 读取滴定管读数时，最后一位数字估测不准
(D) 以含量约98%的金属锌作为基准物质标定EDTA的浓度
(2) 提高分析结果准确度的方法是………………..…………………………...…..…………………….( )
(A) 做空白试验(B) 增加平行测定的次数(C) 校正仪器(D 使用纯度为98%的基准物
(E) 选择合适的分析方法
(3) 系统误差产生的原因有………………………….………………………...…..…….……………….( )
(A) 仪器误差(B) 方法误差(C) 偶然误差(D) 试剂误差(E) 操作误差
(4) 准确度的高低用( )大小来表示。

…………………………………….……..………………….( )
(A) 相对偏差 (B) 相对误差 (C) 标准偏差 (D) 绝对误差 (E) 平均偏差 答案：(1) AD ；(2) ABCE ；(3) ABDE ；(4) B, D
5. 甲乙二人同时分析一矿物试样中含硫量，每次称取试样3.5g ，分析结果报告为：
甲：0.042%，0.041% 乙：0.04099%，0.04201% 。

习 题
1. 如果分析天平的称量误差为±0.2mg ，拟分别称取试样0.1g 和1g 左右，称量的相对误差各为多少？这些结果说明了什么问题？
【解】因分析天平的称量误差为±0.2mg 。

故读数的绝对误差E a ＝±0.0002g
相对误差：
%2.0%1001000.00002.01.0±=⨯±=
g
g
g r E
%02.0%1000000.10002.01±=⨯±=g
g g
r E 这说明，两物体称量的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。

也就是说，当被测定的量较大时，相对误差就比较小，测定的准确程度也就比较高。

2. 滴定管的读数误差为±0.02mL 。

如果滴定中用去标准溶液的体积分别为2mL 和20mL 左右，读数的相对误差各是多少？从相对误差的大小说明了什么问题？
【解】因滴定管的读数误差为±0.02mL ，故读数的绝对误差E a ＝±0.02mL
相对误差：
%1%100202.02±=⨯±=
mL
mL
mL r E
%1.0%1002002.020±=⨯±=mL
mL mL r E
这说明，量取两溶液的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。

也就是说，当被测定的量较大时，测量的相对误差较小，测定的准确程度也就较高。

3. 已知某标准样品中含KBr 的分数w (KBr)＝0.5356，甲、乙两人的分析结果为：甲：0.5316、0.5320、0.5318；乙：0.5335、0.5336、0.5338。

分别计算甲、乙两人测定的平均值、绝对误差、相对误差和平均偏差，并比较其准确度和精密度。

【解】甲：平均值：(0.5316 + 0.5320 + 0.5318)/3＝0.5318； 绝对误差：0.5318－0.5356＝-0.0038 相对误差：-0.0038/0.5356＝-0.709%
平均偏差：[(0.5318-0.5316)+(0.5320-0.5318)+(0.5318-0.5318)/3＝0.0001333 乙：平均值：(0.5335 + 0.5336 + 0.5338)/3＝0.5336； 绝对误差：0.5336－0.5356＝-0.002
相对误差：-0.002/0.5356＝-0.373%
平均偏差：[(0.5336-0.5335)+(0.5336-0.5336)+(0.5338-0.5336)/3＝0.0001000
误差越小，准确度越高，偏差越小，精密度越高。

由两人实验结果的误差和偏差计算结果来看，乙无论是绝对误差、相对误差或平均偏差都比甲的要小，由此说明，乙的实验结果比甲的实验结果的准确度高，精密度也高。

4. 测定铁矿石中铁的质量分数(以32O Fe W 表示)，5次结果分别为：67.48%，67.37%，67.47%，67.43%和67.40%。

计算：(1) 平均偏差；(2) 相对平均偏差；(3) 标准偏差；(4) 相对标准偏差；(5) 极差。

解：（1）%43.675
%40.67%43.67%47.67%37.67%48.67=++++=x
∑=+++==-
%04.05
%03.0%04.0%06.0%05.0||1i d n d
（2）%06.0%100%
43.67%
04.0%100=⨯=
⨯=-
-
x
d d r （3）%05.01
5%)03.0(%)04.0(%)06.0(%)05.0(12
2222=-+++=
-=
∑n d
S i
（4）%07.0%100%
43.67%05.0%100=⨯=⨯=-
x
S S r
（5）R ＝x max －x min ＝67.48%－67.37%＝0.11%
5. 某分析人员测定试样中铜的质量分数，共测定4次，得平均值为0.1831，s ＝0.0010，计算置信度为90%和99%的置信区间。

【解】n ＝4，x (平均)＝0.1831，s ＝0.0010，查表t (90%)＝2.353，t (99%)＝5.841
置信度为90%时，置信区间：0012.01831.04
0010.0353.21831.0±=⨯±=⋅±=n
s t x μ
置信度为99%时，置信区间：0029.01831.04
0010.0841.51831.0±=⨯±=⋅±=n
s t x μ
6. 测定分析纯NaCl 中Cl 的含量，先测定两次，测得的质量分数为0.6061和0.6058；再测定三次的数据为0.6063、0.6064和0.6057。

分别以两次测定和以五次测定的数据来计算平均值的置信区间(95%置信度)。

【解】两次测定：平均值＝(0.6061 + 0.6058)/2＝0.6060
t ＝12.706
00022.01
2)6060.06058.0()6060.06061.0(2
2=--+-=s
置信区间：0020.06060.02
00022.0706.126060.0±=⨯±=⋅±=n
s t x μ
五次测定：平均值＝(0.6061 + 0.6058 + 0.6063 + 0.6064 + 0.6057)/5＝0.6061
t ＝12.706
00022.01
2)6060.06058.0()6060.06061.0(2
2=--+-=
s
置信区间：0020.06060.02
00022.0706.126060.0±=⨯±=⋅±=n
s t x μ
7. 测定石灰中铁的质量分数（%），4次测定结果为：1.59，1.53，1.54和1.83。

(1) 用Q 检验法判断第四个结果应否弃去？(2) 如第5次测定结果为1.65，此时情况有如何(P 均为90%)？ 【解】(1) 8.053
.183.159.183.11
1=--=--=-x x x x Q n n n 计
由表7.2查得，n ＝4，P ＝90%时，Q 表＝0.76，因Q 计>Q 表，故1.83这一数据应弃去。

(2) 6.053
.183.165.183.11
1=--=--=-x x x x Q n n n 计
由表7.2查得，n ＝5，P ＝90%时，Q 表＝0.64，因Q 计算 ＜ Q 表，故1.83这一数据应保留。

8. 用K 2Cr 2O 7基准试剂标定Na 2S 2O 3溶液的浓度(mol·L －
1)，4次结果为：0.1029，0.1056，0.1032和
0.1034。

(1) 用格鲁布斯法检验上述测定值中有无可疑值(P ＝95%)；(2) 比较置信度为90%和95%时平均值的置信区间，计算结果说明了什么？
【解】(1) 1038.04
1056.01034.01032.01029.0=+++=-
x
0011.01
40018.00004.00006.00009.012
2222
=-+++=-=∑n d
s i
82.00011
.01029.01038.011
=-=-=-
s x x G 计
64.10011
.01038.01056.042
=-=-=-
s x x G 计
查表7.3得，n ＝4，P ＝95%时，G 表＝1.46，G 计1 ＜ G 表，G 计2 ＞ G 表，故0.1056这一数据应舍去。

(2) 1032.03
1034.01032.01029.0=++=-
x
00025.01
30002.00003.01
2
22=-+=
-=
∑n d
s i
当P ＝90%，f ＝2，查7.1表得：t ＝2.92 因此
0004.01032.03
00025
.092.21032.0,1±=⨯
±=±=-
n
s t x f
p μ
当P ＝95%，f ＝2，查7.1表得：t ＝4.30 因此
0006.01032.03
00025
.030.41032.0,2±=⨯
±=±=-
n
s t x f
p μ
由两次置信度高低可知，置信度越大，置信区间越大。

9. 用电位滴定法测定铁精矿中铁的质量分数(%)，6次测定结果如下：
60.72 60.81 60.70 60.78 60.56 60.84
(1) 用格鲁布斯法检验有无应舍去的测定值(P ＝95%)；
(2) 已知此标准试样中铁的真实含量为60.75%，问上述测定方法是否准确可靠(P ＝95%)？ 【解】(1) %74.606
%84.60%56.60%78.60%70.60%81.60%72.60=+++++=-
x
%10.01
6%10.0%18.0%04.0%04.0%07.0%02.01
2
222222=-+++++=
-=
∑n d
s i
8.1%
10.0%56.60%74.6011=-=-=-
s x x G
0.1%
10.0%74.60%84.6062=-=-=-
s x x G
查表7.3得，n ＝6，P ＝95%时，G 表＝1.82，G 计1 ＜ G 表，G 计2 ＜ G 表，故无舍去的测定值。

(2) 24.06%
10.0|%75.60%74.60|||=⋅-=⋅-=-
n s T x t 计
查表7.1得，f ＝5，P ＝95%时，t 表＝2.57，t 计 ＜ t 表，说明上述方法准确可靠。

10. 已知某清洁剂有效成分的质量分数标准值为54.46%，测定4次所得的平均值为54.26%，标准偏差为0.05%。

问置信度为95%时，平均值与标准值之间是否存在显著性差异? 【解】根据84%
05.0|%46.54%26.54|||=⋅-=⋅-=-
n s T x t x
计
查表7.1得，f ＝3，P ＝95%时，t 表＝3.18，t 计 ＞ t 表，说明平均值与标准值之间存在显著性差异。

11. 某药厂生产铁剂，要求每克药剂中含铁48.00mg.对一批药品测定5次，结果为(mg·g －
1)：47.44，
48.15，47.90，47.93和48.03。

问这批产品含铁量是否合格(P ＝95%)？ 【解】 89.475
03.4893.4790.4715.4844.471=++++==∑-
i x n x
27.015)14.0()04.0()01.0()26.0()45.0(2
2222=-++++=s
91.0527
.0|00.4889.47|||=⋅-=⋅-=-
n s T x t 计
查表7.1得，f ＝4，P ＝95%时，t 表＝2.78，t 计 ＜ t 表，说明这批产品含铁量合格。

12. 有甲乙两个分析人员用同一分析方法测定某样品中CO 2含量，测到的结果分别为： 甲：14.7%、14.8%、15.2%、15.6% 乙：14.6%、15.0%、15.2%
试问甲、乙两个人测定的结果是否一致(置信度为95%)。

【解】甲：%1.154
%6.51%5.51%8.41%7.41=+++=甲x ， %41.012=-=
∑n d
s i
甲
乙：%9.144
%2.51%.051%6.41=++=乙x ， %31.01
2=-=
∑n d
s i
乙
%37.02
340031.0)13(0041.0)14(2
)1()1(2
22
2=-+⨯-+⨯-=
-+-+-=
乙甲乙
乙甲甲n n s n s n s
71.03
43
40037.0149.0151.0=+⨯⨯-=
+-=
乙
甲乙甲乙
甲计算n n n n s
x x t
查表7.1得，f ＝5，P ＝95%时，t 表＝2.57，t 计 ＜ t 表，说明甲、乙两个人测定的结果是一致的。

13. 分别用硼砂和碳酸钠两种基准物标定某HC1溶液的浓度(mol·l －
1)，结果如下：
用硼砂标定 1x ＝0.1017，s 1＝3.9×10－
4，n 1＝4
用碳酸钠标定 2x ＝0.1020，s 2＝2.4×10－
4，n 2＝5
当置信度为0.90时，这两种物质标定的HC1溶液浓度是否存在显著性差异？ 【解】n 1＝4，1x ＝0.1017，s 1＝3.9×10－
4
n 2＝5，2x ＝0.1020，s 2＝2.4×10－
4
64.2)104.2()109.3(2
42422
2
1=⨯⨯==--s s F 计 当P ＝90%时，由表7.4查出F (3,4)表＝6.59，因F 计 ＞ F 表，说明此时未表现s 1与s 2有显著性差异(P ＝90%)。

14. 根据有效数字的运算规则进行计算：
(1) 213.64 + 4.4 + 0.3244 ＝？ (2) 0.0853×2.605×73.48 ÷148.9＝？
(3) (6.325×0.38) + 3.78×10－
4－(0.04164×0.00367)＝？
(4) pH ＝2.20，[H +]＝？ (5)
?100100
3348.13034
.121)49.1850.25(08082.0=⨯⨯⨯
-⨯
【解】(1) 213.64 + 4.4 + 0.3244 ＝ 213.6 + 4.4 + 0.3＝218.3
(2) 0.0853×2.605×73.48 ÷148.9＝0.0853×2.60×73.5÷149＝0.109 (3) (6.325×0.38) + 3.78×10－
4－(0.04164×0.00367)
＝(6.3×0.38) + 3.78×10－
4－(0.0416×0.00367)
＝ 2.4 + 3.78×10－4
+ 1.53×10－
4
＝2.4
(4) pH ＝12.20，[H +]＝6.3×10－13
mol·L
－1
(5)
4
.17100100
34.131021.101.70808.010*******.130
.121)49.1850.25(08082.0100100
3348.13034.121)49.1850.25(08082.02
=⨯⨯⨯⨯
⨯=⨯⨯⨯
-⨯=
⨯⨯⨯
-⨯。