幂的运算(易错30题专练)-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略(苏科版)(解析版)

第8章幂的运算（易错30题专练）
一．选择题（共10小题）
1．（2021•射阳县二模）已知一种细胞的直径约为2.13×10﹣4cm，请问2.13×10﹣4这个数原来的数是（）
A．21300B．2130000C．0.0213D．0.000213
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：2.13×10﹣4＝0.000213，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
2．（2021春•广陵区校级期中）下列计算正确的是（）
A．2a+a2＝3a3B．a6+a2＝a3C．（a2）3＝a6D．（3a）2＝3a2
【分析】选项A、B根据同类项的定义以及合并同类项的法则判断即可；
选项C根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项D根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【解答】解：A.2a与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a6与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
D．（3a）2＝9a2，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（2021•建湖县二模）下列计算正确的是（）
A．a5•a2＝a7B．2a+a＝3a2C．（3a3）2＝6a6D．（a2）3＝a5
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a5•a2＝a7，故本选项符合题意；
B.2a+a＝3a，故本选项不符合题意；
C．（3a3）2＝9a6，故本选项不符合题意；
D．（a2）3＝a6，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方．掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（2021•常州）计算（m2）3的结果是（）
A．m5B．m6C．m8D．m9
【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘．据此计算即可．
【解答】解：（m2）3＝m2×3＝m6．
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
5．（2021春•苏州期末）a6÷a3的计算结果是（）
A．a9B．a18C．a3D．a2
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可．
【解答】解：a6÷a3＝a6﹣3＝a3．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．6．（2021•南京）计算（a2）3•a﹣3的结果是（）
A．a2B．a3C．a5D．a9
【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及负整数指数幂的定义计算即可．
【解答】解：（a2）3•a﹣3＝a6•a﹣3＝a6﹣3＝a3．
故选：B．
【点评】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
7．（2021•南京二模）计算（﹣a2）3÷a2的结果是（）
A．﹣a4B．﹣a3C．a4D．a3
【分析】先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：（﹣a2）3÷a2＝（﹣a6）÷a2＝﹣a4．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
8．（2021•兴化市模拟）若m表示任意实数，则下列计算一定正确的是（）A．m2•m3＝m5B．m5÷m＝5C．m2+m2＝m4D．（m2）3＝m5
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．m2•m3＝m5，故本选项符合题意；
B．m5÷m＝m4，故本选项不符合题意；
C．m2+m2＝2m2，故本选项不符合题意；
D．（m2）3＝m6，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
9．（2021春•常熟市期中）下列计算正确的是（）
A．x2+x4＝x6B．2x+3y＝5xy C．x6÷x2＝x3D．（x2）3＝x6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、x2与x4不是同类项，属于不能合并，故本选项不合题意；
B、2x与3y不是同类项，属于不能合并，故本选项不合题意；
C、x6÷x2＝x4，故本选项不合题意；
D、（x2）3＝x6，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
10．（2021春•苏州期末）若a m＝3，a n＝5，则a m+n的值是（）
A．B．C．8D．15
【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则解答即可．
【解答】解：因为a m＝3，a n＝5，
所以a m•a n＝3×5，
所以a m+n＝15，
故选：D．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法．解题的关键是掌握同底数幂的乘法的运算法则．二．填空题（共10小题）
11．（2021•姑苏区一模）计算：a2•a2＝a4．
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【解答】解：a2•a2＝a2+2＝a4．
故答案为：a4．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
12．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知流感病毒的直径为0.00000008米，数据0.00000008用科学记数法可以表示为8×10﹣8．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00000008＝8×10﹣8．
故答案为：8×10﹣8．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
13．（2021春•灌云县期末）一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×109，则原数中“0”的个数为7个．
【分析】将科学记数法表示的数转化为原数，即可求出0的个数．
【解答】解：∵8.15×109＝8150000000，
∴原数中有7个0，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查科学记数法与原数的转化，解题的关键在于先求出原数．14．（2021春•丹阳市期末）如果2m＝3，2n＝5，那么2m﹣n的值为．【分析】逆向运算同底数幂的除法法则计算即可．同底数幂相除，底数不变，指数相减．【解答】解：∵2m＝3，2n＝5，
∴2m﹣n＝2m÷2n＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．15．（2021•玄武区二模）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m，我国某物理研究所已研制出直径为0.5nm的碳纳米管，用科学记数法表示0.5nm是5×10﹣10m．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.5nm＝0.5×10﹣9m＝5×10﹣10m，
故答案为：5×10﹣10．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，表示时关键要确定a的值以及n的值．
16．（2021•金坛区模拟）计算：m3÷m＝m2．
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可．
【解答】解：m3÷m＝m3﹣1＝m2，
故答案为：m2．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记同底数幂的除法法则是解答本题的关键．17．（2021春•亭湖区校级期末）3m＝12，3n＝6，3m﹣n＝2．
【分析】逆向运用同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：因为3m＝12，3n＝6，
所以3m﹣n＝3m÷3n＝12÷6＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
18．（2021春•金坛区期末）若2x÷4y＝8，则2x﹣4y+2＝8．
【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则求解即可．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【解答】解：∵2x÷4y＝2x÷22y＝2x﹣2y＝8＝23，
∴x﹣2y＝3，
∴2x﹣4y+2
＝2（x﹣2y）+2
＝2×3+2
＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．19．（2021春•常州期末）已知a+3b﹣2＝0，则4a×82b＝16．
【分析】由a+3b﹣2＝0可得a+3b＝2，再根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则把所求式子变形求解即可．
【解答】解：∵a+3b﹣2＝0，
∴a+3b＝2，
∴4a×82b＝22a×26b＝22a+6b＝22（a+3b）＝24＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．20．（2021春•海陵区校级期末）若3x+2y﹣3＝0，则8x•4y等于8．
【分析】把8x•4y都改为底数为2的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由3x+2y﹣3＝0得出3x+2y＝3整体代入即可．
【解答】解：∵3x+2y﹣3＝0，
∴3x+2y＝3，
∴8x•4y
＝23x•22y
＝23x+2y
＝23
＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，掌握幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•广陵区校级月考）计算：
（1）；
（2）（﹣2x2）2+x3•x﹣x5÷x．
【分析】（1）分别根据负整数指数幂的定义，有理数的乘方的定义以及任何非零数的零次幂定义1计算即可；
（2）分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则化简后，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）
＝﹣3+9﹣1
＝5；
（2）（﹣2x2）2+x3•x﹣x5÷x
＝4x4+x4﹣x4
＝4x4．
【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的加减混合运算以及同底数幂的
乘除法以及积的乘方，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．
22．（2020春•江都区月考）简便计算：
（1）（﹣8）2020×（﹣0.125）2019；
（2）（a﹣b）10÷（b﹣a）3÷（b﹣a）3．
【分析】（1）根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
（2）根据同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝82020×（﹣0.125）2019
＝
＝
＝（﹣1）2019×8
＝（﹣1）×8
＝﹣8；
（2）原式＝（b﹣a）10÷（b﹣a）3÷（b﹣a）3
＝（b﹣a）10﹣3﹣3
＝（b﹣a）4．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
23．（2021春•盐都区月考）（1）已知4x＝2x+2，求x的值；
（2）若a2n＝3，，求（﹣ab）2n．
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则可得4x＝22x，据此可得方程2x＝x+2，解方程即可求出x的值；
（2）积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
【解答】解：（1）因为4x＝22x＝2x+2，
所以2x＝x+2，
解得x＝2；
（2）因为a2n＝3，，
所以（﹣ab）2n＝a2n•b2n＝a2n•（b n）2＝＝3×＝．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
24．（2021春•东台市月考）（1）已知a m＝2，a n＝3，求a m+n和a3m﹣2n的值．（2）已知3×9m×27m＝326，求m的值．
【分析】（1）分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则求解即可．
【解答】解：（1）∵a m＝2，a n＝3，
∴a m+n＝a m•a n＝2×3＝6，a3m﹣2n＝（a m）3÷（a n）2＝23÷32＝；
（2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝326，
∴1+2m+3m＝26，
解得m＝5．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
25．（2019春•常熟市期末）计算：
（1）（﹣）﹣2+（﹣1）2×70﹣（）﹣1；
（2）4a2b•（﹣3ab2）+（﹣2ab）3．
【分析】（1）首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．（2）首先计算乘方，再算乘法，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）（﹣）﹣2+（﹣1）2×70﹣（）﹣1
＝4+1﹣3
＝2；
（2）4a2b•（﹣3ab2）+（﹣2ab）3
＝﹣12a3b3﹣8a3b3
＝﹣20a3b3．
【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，负整数指数幂、零指数幂的运算方法，以及有理数的混合运算的方法，要熟练掌握．
26．（2019春•江宁区校级月考）规定数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果a c＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）请根据上述规定填空：（3，81）＝4，（5，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2．
（2）小华在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用这种方法，证明这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）．
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据同底数幂的乘法的法则，结合定义计算．
【解答】解：（1）34＝81，（3，81）＝4，
50＝1，（5，1）＝0，
2﹣2＝0.25，（2，0.25）＝﹣2，
故答案为：4；0；﹣2；
（2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，
则3x＝4，3y＝5，
∴3x+y＝3x•3y＝20，
∴（3，20）＝x+y，
∴（3，4）+（3，5）＝（3，20）．
【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．
27．（2021春•广陵区校级期中）（1）若x m＝2，x n＝3．求x m+2n的值．
（2）若2×8x×16x＝222，求x的值．
【分析】（1）根据幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算；
（2）根据幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算．
【解答】解：（1）因为x m＝2，x n＝3，
所以x m＝2，x2n＝9，
所以x m•x2n＝18，
x m+2n＝18；
（2）因为2×8x×16x＝222，
所以2×23x×24x＝222，
所以21+3x+4x＝222，
所以1+3x+4x＝22，
所以7x＝21，
所以x＝3．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法
则是解题的关键．
28．（2021秋•南安市期中）已知10x＝a，5x＝b，求：
（1）50x的值；
（2）2x的值；
（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）
【分析】（1）根据积的乘方的法则计算；
（2）根据积的乘方（商的乘方）的法则计算；
（3）根据积的乘方的法则计算．
【解答】解：（1）50x＝10x×5x＝ab；
（2）2x＝＝＝；
（3）20x＝＝＝．
【点评】本题考查了积的乘方，解题的关键是能够熟练的运用积的乘方的法则．29．（2020•贵阳模拟）小松学习了“同底数幂的除法”后做这样一道题：若（2x﹣1）2x+1＝1，求x的值．小松解答过程如下：解：∵1的任何次幂为1，∴2x﹣1＝1，即x＝1，故（2x﹣1）2x+1＝13＝1，∴x＝1．老师说小松考虑问题不全面，聪明的你能帮助小松解决这个问题吗？请把他的解答补充完整．
【分析】分别利用零指数幂的性质和有理数的乘方运算分别讨论得出答案．
【解答】解：（2x﹣1）2x+1＝1，
分三种情况：
①当2x﹣1＝1时，x＝1，
此时（2x﹣1）2x+1＝13＝1，符合题意；
②当2x+1＝0，x＝，
此时（2x﹣1）2x+1＝（﹣2）0＝1，符合题意；
③当x＝0时，原式＝（﹣1）1＝﹣1，不合题意．
综上所述：x＝1或x＝．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质和有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．30．（2020春•吴中区期末）已知关于x、y的方程组（m为常数）．（1）计算：x2﹣4y2＝8m（用含m的代数式表示）；
（2）若（a2）x÷（a y）3＝a6（a是常数a≠0），求m的值；
（3）若m为正整数，满足0＜n≤|x﹣y|的正整数n有且只有8个，求m的值．
【分析】（1）利用平方差公式直接代入可解答；
（2）先化简已知等式可得：2x﹣3y＝6，再解方程组可得x和y的值，代入2x﹣3y＝6中，可得m的值；
（3）根据（2）中计算的x和y的值计算x﹣y，代入0＜n≤|x﹣y|，根据正整数n有且只有8个，可解答．
【解答】解：（1）x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y）＝4×2m＝8m，
故答案为：8m；
（2）∵（a2）x÷（a y）3＝a6（a是常数a≠0），
∴a2x÷a3y＝a6，
a2x﹣3y＝a6，
∴2x﹣3y＝6⑤，
，
①+②得：2x＝2m+4，
x＝m+2③，
①﹣②得：4y＝2m﹣4，
y＝m﹣1④，
把③④代入⑤得：2（m+2）﹣3（m﹣1）＝6，
解得：m＝﹣2；
（3）由（2）知：，
∴x﹣y＝m+2﹣（m﹣1）＝m+3，
∵0＜n≤|x﹣y|，
∴0＜n≤||，
∵正整数n有且只有8个，
∴8≤|m+3|＜9，
∴8≤m+3＜9或﹣9＜m+3≤﹣8，
∴10≤m＜12，﹣24＜m≤﹣22，
∵m为正整数，
∴m＝10或11．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，幂的乘方，平方差公式，解二元一次方程组，解不等式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．。