2024年高考复习数学知识点+题型05+4类比较函数值大小关系解题技巧

题型054类比较函数值大小关系解题技巧
（构造函数、两类经典的超越不等式、泰勒不等式、不等
式放缩合集）
技法01构造函数比较函数值大小关系解题技巧
（2022·全国·统考高考真题）
例1．设0.110.1e ,ln 0.99
a b c ===-，，则（）
A ．a b c
<<B ．c b a
<<C ．c a b
<<D ．a c b
<<【法一】分析法
假设待证法比较大小→构造函数
假设a b <成立，即0.1
0.11
0.1e
0.9e 1ln 0.90.109
<
⇔<⇔+<令0.9x =，则等价证明：ln (1)0x x +-<，即证：ln 1x x <-（原式得证，略）假设a c <成立，即0.10.10.1e ln 0.90.1e ln 0.90<-⇔+<令0.1x =，则等价证明：e ln(1)0x x x +-<，(0,1)x ∈，证明略所以函数()e ln(1)x g x x x =+-在21)x ∈单调递增，
所以(0.1)(0)g g >，即：0.10.1e ln 0.90+>，所以假设a c <不成立，即a c >，
综上所述：c a b <<，故选：C 【法二】构造法
设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x
'
=
-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，
所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1((0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110
ln ln 0.999
>=-，即b c >，
所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以1
1011e 109
<，
故a b <，
设()e ln(1)(01)x
g x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11
x x
x g x x x x -+'=+=
--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，
当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，
11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，
所以当01x <<时，()0h x <，
所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.
（2023·河北·统考模拟预测）1．设ln102ln100a =-，1
51
b =，tan 0.02
c =，则（）
A ．a c b
>>B ．b c a >>C ．c b a
>>D ．c a b
>>（2023·福建福州·模拟预测）2．1
,ln1.1,tan 0.111
a b c =
==，则（）
A ．c<a<b
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．a b c
<<（2023·福建·二模）
3．设11
4
2112e 1,e 1,sin tan 44a b c ⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭
，则（
）
A ．b a c >>
B ．b c a >>
C ．a b c
>>D ．a c b
>>技法02两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧
知识迁移
1x e x ≥+，e e x x ≥，1
1ln 1x x x -＃-，ln e
x x ≤
例2．已知991001101,,ln 100100
a b e c -=
==,则,,a b c 的大小关系为（）
A.a b c <<
B.a c b <<
C.c a b <<
D.b a c
<<99100
9911100100e
-
>-
+=1011011ln 1100100100c =<-=
【答案】C
（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）4．已知()ln 1e a =+，e b =2e
3
c =，则（）A ．b a c
>>B ．a c b
>>C ．b c a
>>D ．c b a
>>（2023·河南开封·统考模拟预测）
5．已知13a =，13e 1b =-，4
ln 3
c =，则（
）
A ．a b c
<<B ．a c b
<<
C ．c<a<b
D ．b<c<a
（2023·江西赣州·统考模拟预测）6．已知3ln 2
a =，2
3b =，12e c -=，则（
）
A ．a b c
<<B ．b<c<a
C ．c a b
<<D ．a c b
<<技法03泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧
知识迁移
常见函数的泰勒展开式：
（1）()231e 1e 1!2!3!!1!
n n x
x
x x x x x n n θ+=++++++
+ ，其中()01θ<<；（2）()()231ln 112!3!!n
n n x x x
x x R n -+=-+-+-+ ，其中()()1
1111!1n n n n x R n x θ++⎛⎫=- ⎪
++⎝⎭
；
（3）()()35211sin 13!5!21!k k n x x x x x R k --=-+-+-+- ，其中()()
211cos 21!k k
n x R x k θ+=-+；（4）()()24221cos 112!4!22!k k n x x x x R k --=-+-+-+- ，其中()()21cos 2!
k
k n x
R x k θ=-；（5）
21
1()1n n x x x o x x
=+++++- ；（6）2
2(1)(1)1()2!
n
n n x nx x o x -+=++
+；（7）()35
22tan 315n x x x x o x =+++⋅⋅⋅+；
（8()2311112816
n
x x x o x =+-++⋅⋅⋅+．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
e 1x x ≥+，()21e 102x
x x x ≥++
≥，()31
sin 06
x x x x ≥-≥，2
1cos 12
x x ≥-
，ln 1≤-x x ，1e x x -≥，()31
tan 0
3
x x x x ≥+≥112x ≤+，()ln 1x x +≤．
3．常见函数的泰勒展开式：
结论1ln(1)(1)x x x +≤>-．结论2ln 1(0)x x x ≤->．结论3
1
1ln x x
-
≤（0x >）．结论4()1ln ln 11111x x x x x x x
<⇒<+++-
+．结论51x x e +≤；()1
11x
e x x ≤
<-；
()()ln 111x x x x x
≤+≤>-+．结论61()x e x x R ≥+∈；结论71()x e x x R -≥-∈结论
8()1
11x e x x
≥<-．结论9
()1
11x e x x
≤>-．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）
例3．设0.10.1e =a ，19
b =，ln 0.9
c =-则（）
A ．a b c
<<B ．c b a
<<C ．c a b
<<D ．a c b
<<泰勒公式法：因为20.1
0.110.1 1.1052
e ≈++=，所以0.1
10.10.11050.111119e b ≈<==，所以a b
<因为
2
3
11
()()1011
111199ln 0.9ln ln(1)0.0060.1059992
3916221879
c a =-==≈-+
=-+≈-=<所
以c a
<综上所述：c a b <<故选：C
（2022·全国·统考高考真题）
7．已知3111
,cos 4sin 3244
a b c =
==，则（）
A ．c b a >>
B ．b a c
>>C ．a b c
>>D ．a c b
>>（2021·全国·统考高考真题）
8．设2ln1.01a =，ln1.02b =，
1c =-．则（）
A ．a b c
<<B ．b<c<a
C ．b a c
<<D ．c<a<b
（2023春·湖北·高三统考期末）
9．已知1a =，3
ln
2
b =，1sin 2
c =，则（
）
A ．b a c <<
B ．b c a <<
C ．a c b
<<D ．c b a
<<技法04不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧
知识迁移
πsin tan ,0,2x x x x ⎛⎫
<<∈ ⎪
⎝⎭
ln (1)x x
>，ln 1)x x ><<，
11
ln ()(1)2x x x x <
->，11ln ()(01)2x x x x
>-<<，213ln 2(1)22x x x x >-+->，213
ln 2(01)
22x x x x <-+-<<2(1)ln (1)1x x x x ->
>+，2(1)
ln (01)1
x x x x -<<<+放缩程度综合
21112(1)13
1()ln 21(01)
2122
x x x x x x x x x
x --
<-<<
<-+-<-<<+
21132(1)11
12ln ()1(12)
2212
x x x x x x x x x x --<-+-<<<-<-<<+21312(1)11
21ln ()1(2)
2212
x x x x x x x x x x --+-<-<<<-<->+
1
1e (1)1x x x x
+<<
<-，11e (1)1x x x x <+<>-（2022·全国·统考高考真题）
例4-1．设0.110.1e ,ln 0.99
a b c ===-，，则（）
A ．a b c
<<B ．c b a
<<C ．c a b
<<D ．a c b
<<放缩法
因为1
1e (1)1x
x x x
+<<
<-，所以0.1
0.1111
1.1e 0.110.1e 0.110.110.19
a b <<
⇒<=<⨯==--，即a b <因为11
ln ()(1)2x x x x
<
->，所以10110919
ln 0.9ln
)0.1192910180
c a =-=<=<<，即c a <综上所述：c a b <<，故选：C （2022·全国·统考高考真题）
例4-2．已知3111
,cos 4sin 3244
a b c =
==，则（）A ．c b a
>>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b
>>
【法一】：不等式放缩一
因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫
∈< ⎪⎝⎭
，
取18x =得：2
211131cos 12sin 1248832
⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a
>1114sin cos
444ϕ⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭
，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ=
=
当11
4sin cos 44
+142πϕ+=，及124πϕ=-
此时1sin cos
4ϕ==1cos sin 4ϕ==故1cos
4=
11sin 4sin 44<=<，故b c <所以b a >，所以c b a >>，故选A
【法二】不等式放缩二
因为
14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫
∈<< ⎪⎝⎭
，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；
因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得2
211131
cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以
c b a >>．
故选：A ．
（2023·全国·校联考模拟预测）10．设1718a =
，1
cos 3b =，13sin 3
c =，则下列正确的是（）
A ．b a c
>>B ．b c a
>>C ．c a b
>>D ．c b a
>>（2023·云南大理·统考一模）
11．已知 1.6a =，0.6e b =，1ln1.6c =+，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）
A ．c b a
>>B ．a b c
>>C ．b c a
>>D ．b a c
>>（2023·福建·校联考模拟预测）12．设221a =
，1sin 10b =，11
ln 10
c =，则下列正确的是（）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a
<<D ．c b a
<<
参考答案：
1．D
【分析】依题意1ln 150a ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，151b =，1tan 50c =，令()()tan ln 1f x x x =-+，()0,1x ∈利
用导数说明函数的单调性，即可判断a 、c ，再令()ln 1h x x x =--+，()0,1x ∈，利用导数说明函数的单调性，即可判断a 、b ，即可得解.【详解】因为10251
1ln102ln100ln
ln ln 110050
50a ⎛
⎫=-===+ ⎪⎝⎭
，151b =，1tan 0.02tan 50c ==，
令()()tan ln 1f x x x =-+，()0,1x ∈，
则()()222222cos sin 1111cos cos 1cos 11cos x x x x
f x x x x x x x
++-'=-=-=+++，
令()2
1cos m x x x =+-，则()12cos sin 1sin 20m x x x x '=+=+≥，
所以()m x 在()0,1上单调递增，()()00m x m >=，
所以()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1上单调递增，所以()()00f x f >=，则()()0.02tan 0.02ln 10.020f =-+>，即1tan 0.02ln 150⎛
⎫>+ ⎪⎝⎭
，即c a >，
令()ln 1h x x x =--+，()0,1x ∈，则()11
10x h x x x
-'=-+=
<，所以()h x 在()0,1上单调递减，则()()10h x h >=，
则505050ln
10515151h ⎛⎫
=--+> ⎪⎝⎭
，即50501ln 1515151->-=，即511ln 5051>，所以a b >，综上可得c a b >>.故选：D
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是根据式子的特征构造函数()()tan ln 1f x x x =-+，()0,1x ∈，()ln 1h x x x =--+，()0,1x ∈，利用导数说明函数的单调性，结合临界点的函数
值，从而判断函数值的正负，达到比较大小的目的.2．D
【分析】令()()ln 11
x
f x x x =+-
+，利用导数研究函数的单调性可得到()()0.100f f >=，即可判断a 、b 的大小关系；构造函数()()ln 1h x x x =+-判断ln1.1b =与0.1的大小，构造函数()tan m x x x =-判断0.1与tan0.1c =大小，从而可判断b 、c 大小．
【详解】令()()ln 11
x f x x x =+-
+，()1,x ∈-+∞，则()()()2211111x f x x x x +'=-=++，所以当0x >时()0f x ¢>，即()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()0.100f f >=，即()0.1
ln 0.1100.11
+->+，即1ln1.111>，即b a >，
令()()ln 1h x x x =+-，则()1111
x
h x x x -'=
-=++，在π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '<，则()h x 为减函数，
∴()()00h x h <=，即()ln 1x x +<；
令()tan m x x x =-，π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则()2110cos m x x '=-
>，故()m x 在π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
为减函数，
∴()()00m x m <=，即tan x x <；
∴()πln 1tan ,0,2x x x x ⎛⎫
+<<∈ ⎪⎝⎭
，
令0.1x =，则()ln 0.110.1tan0.1+<<，即0.1b c <<，∴b c <，所以a b c <<．故选：D ．
【点睛】结论点睛：常用的不等式：πsin tan 02
x x x x ⎛⎫
<<<< ⎪⎝
⎭
，()()ln 10x x x +<>，
()2ln 10x x x x x ≤-≤->，e 1x x ≥+，()e e 0x x x x ≥>>，()2e 0x x x >>.
3．A 【分析】
作差法判断a 、b 的大小，构造函数()
()2e 1sin tan x
f x x x =---,利用导数的单调性判断a 、
c 的大小.
【详解】
2
1
11112
424
2e 12e 1e 2e 1e 10,
b a ⎛⎫⎛⎫-=---=-⋅+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
b a ∴>，
又14112e 1sin tan 44a c ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭
，所以令()
()2e 1sin tan x f x x x =---，π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则21()2e cos cos x f x x x '=⋅--，令21()2e cos cos x g x x x
=⋅--，则32sin ()2e sin cos x x g x x x '=⋅+-
，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,2e 2,sin 0x x ⋅>>,33ππsin sin ,cos cos 66x x <>，
所以33π2sin
2sin 62πcos cos 6x x <=，故()0g x '>,故()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭
上是增函数，又∵(0)0g =，∴当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()()0f x g x '=>,故()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭
上是增函数，故1()(0)04
f f >=,即a c >，故b a c >>.
故选:A.
【点睛】
本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量x 就有了函数的形式，如在本题中
14112e 1sin tan 44a c ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，将14视为变量可以构造函数()()2e 1sin tan x f x x x =---.4．D
【分析】
构造函数()ln(1),0f x x x x =+->，利用导函数讨论其单调性和最值，可得ln(1)x x +<，从而可得1ln(1e)1e +<+，11e 211e e e
+<<，即可比较,a b 的大小关系，再利用作差法比较,b c 大小关系.
【详解】令()ln(1),0f x x x x =+->，则1()1011x f x x x
-'=-=<++，所以函数()f x 在()0,∞+单调递减，且(0)0f =，
所以()0f x <，即ln(1)x x +<，令1e x =，则有11ln(1)e e
+<，所以11ln(1)ln e 1e e ++<+，即1ln(1e)1e
+<+，又由11ln(1e e +<，可得11e 211e e e
+<<，
所以()ln 1e +<a b <，又因为222
4e 4e e=e(1)099c b -=->，所以b c <，综上可得c b a >>，
故选：D.
5．C
【分析】
构造()()e 101x f x x x =--<<，利用导数判断其单调性可比较,a b 的大小关系.构造
()()()ln 101g x x x x =+-<<，利用导数判断其单调性可比较,a c 的大小关系.【详解】13a =，13e 1b =-，41ln ln 133c ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
，设()()e 101x f x x x =--<<，
所以()e 10x f x '=->，
所以()f x 在()0,1上单调递增，所以()()00f x f >=，即()e 101x x x -><<.所以1
31e 13
->，即a b <.设()()()ln 101g x x x x =+-<<，
则()11011x g x x x
-'=-=<++，所以()g x 在()0,1上单调递减，所以()()00g x g <=，即()()ln 101x x x +<<<.所以11ln 133
⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即c a <.所以c<a<b .
故选:C.
6．D
【分析】
构造函数()()ln 11f x x x x =-->，()()e 10x x g x x --=>，利用导数分析这两个函数的单调
性，可得出a 、12的大小，12e -、23的大小，利用不等式的基本性质可得出12e -、12的大小关系，由此可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.
【详解】令()ln 1f x x x =--，其中1x >，
则()1110x f x x x
-'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，故当1x >时，()()10f x f >=，则ln 1x x <-，所以331ln
1222a =<-=，
因为02<<，则1
21e
2
c -==>，当0x >时，证明e 1x x >+，令()e 1x g x x =--，其中0x >，则()e 10x g x '=->，
所以函数()g x 在()0,∞+上为增函数，故当0x >时，()()00g x g >=，
所以当0x >时，e 1x x >+，则1
2
13122e >+=，所以122e 3-<，所以12312ln e 223
-<<<，因此a c b <<.故选：D.
7．A 【分析】由14tan 4
c b =结合三角函数的性质可得c b >;构造函数()()21cos 1,0,2f x x x x ∞=+
-∈+,利用导数可得b a >,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当π0,,tan 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14
c b =>，故1c b >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2
f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->，
所以b a >，所以c b a >>，故选A
[方法二]：不等式放缩因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭
，取18x =得：2
211131cos 12sin 1248832
⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a
>1114sin cos 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且sin ϕϕ=
当114sin cos 44
+142πϕ+=，及124πϕ=-
此时1sin cos 4ϕ==
1cos sin 4ϕ==
故1cos 4
=11sin 4sin 44<=<，故b c <所以b a >，所以c b a >>，故选A
[方法三]：泰勒展开
设0.25x =，则2310.251322a ==-，24
10.250.25cos 1424!
b =≈-+，241sin 10.250.2544sin 1143!5!4
c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A.[方法四]：构造函数因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2
f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭
,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．
[方法五]：
【最优解】不等式放缩因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭
，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭
放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
8．B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a ,b 的大小作出判定，对于a 与c ，b 与c 的大小关系，将0.01换成x ,分别构造函数
()()
2ln 11f x x =+,()()ln 121g x x =+，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f (0)=0,g (0)=0即可得出a 与c ，b 与c 的大小关系.
【详解】[方法一]：
2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，
所以b a <；
下面比较c 与,a b 的大小关系.
记()()2ln 11f x x =+，则()00f =，()
2121x f x x -='=+，由于()()
2
214122x x x x x x +-+=-=-
所以当0<x <2时，()21410x x +-+>()1x >+，()0f x ¢>，所以()f x 在[]0,2上单调递增，
所以()()0.0100f f >=，即2ln1.011>，即a c >；
令()()ln 121g x x =+，则()00g =，()
212212x g x x -=
+'，由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时，()214120x x +-+<，
所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即
ln1.021<，即b <c ；
综上，b<c<a ，
故选：B.
[方法二]：
令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=--> ⎪⎝⎭
()
()221-01x f x x =+'-<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()
10,f f b c <=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=-+<< ⎪⎝⎭
()()()21303x x g x x --+'=
>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增
()10,g g a c =∴综上，b<c<a ，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
9．B
【分析】
通过构造()e 1,01x m x x x =--≤≤，()()ln 1,01n x x x x =+-≤≤，()sin ,01p x x x x =-≤≤三
个函数，将三个数与12进行比较，得到a b ＞，a c ＞；
再通过构造()()ln 1sin f x x x =+-，π06
x <<
，通过二次求导的方法比较b 和c 的大小即可得到答案.
【详解】
先比较a 和b 的大小：
构造()e 1,01x m x x x =--≤≤，则()e 10x m x '=-≥对01x ≤≤恒成立，则()m x 在[]0,1单调递增，
此时()()e 100x m x x m =--≥=，当且仅当0x =时取等，
所以111022m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
＞，则121a =>；构造()()ln 1,01n x x x x =+-≤≤，
则()11011
x n x x x -'=-=≤++对01x ≤≤恒成立，则()n x 在[]0,1单调递减，此时()()()ln 100n x x x n =+-≤=，当且仅当0x =时取等，所以131ln 0222n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
＜，则31ln 22b =<；构造()sin ,01p x x x x =-≤≤，
则()cos 10p x x '=-≤对01x ≤≤恒成立，则()p x 在[]0,1单调递减，
此时()()00p x p ≤=，当且仅当0x =时取等，所以111sin 0222p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
＜，则11sin 22c =<；则a b ＞，a c ＞；
下面比较b 和c 的大小：
设()()ln 1sin f x x x =+-，π06
x <<，()11cos cos cos 11x x x f x x x x
--'=-=++，设()1cos cos g x x x x =--，π06x <<
，()()()sin cos sin 1sin cos g x x x x x x x x =--=+-'，
易知()g x '在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()11062ππ62
g x g '⎛⎫⎛⎫<=+- ⎪ ⎪⎭'⎝⎭⎝，所以()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，()()00g x g <=，即()0f x '<在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，则()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，由1π0,26⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1002f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即31ln sin 22<，则b c <.综上b<c<a ，
故选：B
【点睛】
方法点睛：本题考查通过导数的综合运用.比大小问题要熟悉各类常见的放缩，找出结构的相同之处，通过构造函数，运用导数这一工具，对数据进行大小的比较.
10．D
【分析】先利用导数证明当π(0,)2
x ∈时，tan sin x x x >>，再分别利用作商，作差比较法可判断a ，b ，c 大小.
【详解】先来证明当π(0,)2
x ∈时，tan sin x x x >>.令()tan f x x x =-，π(0,)2x ∈，则()221cos 0cos x f x x
-'=>，所以函数()f x 在π(0,)2
上单调递增，可得()()00f x f >=，即得tan x x >；令()sin g x x x =-，π(0,)2
x ∈，则()1cos 0g x x '=->，所以函数()g x 在π(0,2
上单调递增，可得()()00g x g >=，即得sin x x >；所以当π(0,)2
x ∈时，tan sin x x x >>.因为,0,0a b c >>>，由13sin
133tan 13cos 3c b ==，因为1π(0,)32∈，所以11tan 33>，则13tan 13>，所以c b >，又171cos 183a b -=-2171(12sin 18
6=--2211112sin 2()0618618=-<⨯-=，所以a b <，所以c b a >>.
故选：D.
11．D
【分析】
利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，从而确定,,a b c 的大小关系.
【详解】令()e 1x f x x =--，则()e 1x f x '=-，0x >，有()0f x ¢>.
故函数()f x 在()0,∞+单调递增，故()()0.600f f >=，
即0.6e 10.6->，所以0.6e 1.6>，即b a >，
令()ln 1g x x x =+-，则()111x g x x x
-'=-=，1x >，有()0g x '<.故函数()g x 在()1,+∞单调递减，故()()1.610g g <=，即ln1.61 1.60+-<，
所以ln1.61 1.6+<，即a c >.
综上：b a c >>.
故选：D
12．B
【分析】根据题意，由π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2cos 12
sin ,x x x x <>-，然后构造函数求导，即可判断.【详解】对π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，，因为sin y x x =-，则cos 10y x '=-<，即函数sin y x x =-在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，且0x =时，0y =，则sin 0x x -<，即sin x x <；当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2cos 12
x x x ϕ=-+，则()sin x x x ϕ'=-+，且当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，sin x x <，则()0x ϕ'>，所以函数()x ϕ在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭
，单调递增，则()()00ϕϕ>=x ，即
2cos 12
x x >-，先考虑函数()()sin ln 1f x x x =-+，[]01x ∈，，则()()()()()()()
2221121211cos 101212121x x x x x x x f x x x x x x '+-+---+=->--==>++++.故()10010f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭
，从而b c >.再考虑函数()()21ln 1
x g x x x -=-+，[)1,x ∞∈+，则()()()()()()
22
222141140111x x x g x x x x x x x '+--=-==≥+++.故()111010g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11211111210ln ln 011101021110
⎛⎫- ⎪⎝⎭-=->+，故c a >.综上，b c a >>，
故选：B.。