(易错题)初中数学九年级数学下册第一单元《反比例函数》检测题(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，A 、B 是函数1y x =的图像上关于原点对称的任意两点，BC //x 轴，AC //y 轴，ABC 的面积记为S ，则（ ）
A ．1S =
B ．2S =
C ．24S <<
D ．4S = 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为()1,1-，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线8y x
=
上，过点C 作//CE x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为（ ）
A ．85
B ．235
C ．2.3
D ．5
3．已知反比例函数k y x =
的图像过点(2,3)-，那么下列各点也在该函数图像上的是（ ） A ．(2,3) B ．(2,3)-- C ．(1,6) D ．(6,1)- 4．如图，菱形ABCD 的边AD 与x 轴平行，A 、B 两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=3x
的图象经过A 、B 两点，则菱形ABCD 的面积是（ ）
A ．2
B ．4
C ．2
D ．2
5．已知电压U 、电流I 、电阻R 三者之间的关系式为：U IR =（或者U I R
=），实际生
活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．若点()()()1231,,1,,3,A y B y C y -在反比例函数6y x =的图像上，则123,,y y y 的大小关系是（ ）
A ．123y y y <<
B ．132y y y <<
C ．321y y y <<
D ．213y y y << 7．一次函数y ＝kx ﹣k 与反比例函数y ＝k x
在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．
8．当0x <时，反比例函数2y x
=-的图象（ ） A ．在第一象限，y 随x 的增大而减小 B ．在第二象限，y 随x 的增大而增大
C ．在第三象限，y 随x 的增大而减小
D ．在第四象限，y 随x 的增大而减小 9．如图，直线y ＝x +2与y 轴交于点A ，与直线y ＝﹣3x +10交于点B ，P 是线段AB 的中点，已知反比例函数y ＝k x
的图象经过点P ，则k 的值为( )
A ．1
B ．3
C ．6
D ．8
10．已知点11(,)x y ，22(,)x y 均在双曲线1y x =-
上，下列说法中错误的是（ ） A ．若12x x =，则12y y =
B ．若12x x =-，则12y y =-
C ．若120x x <<，则12y y <
D ．若120x x <<，则12y y >
11．已知1(3A -，1)y 、1(2
B -，2)y 、3(1,)
C y 是一次函数3y x b =-+的图象上三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )
A ．123y y y <<
B ．213y y y <<
C ．312y y y <<
D ．321y y y << 12．如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴和y 轴上与双曲线18y x
=恰好交于BC 的中点E ，若2OB OA =，则ABO S △的值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．12
D ．16
第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明
参考答案
二、填空题
13．已知函数3(2)m y m x -=-是反比例函数，则m =_________．
14．如图，A 、B 两点在双曲线()30y x x
=>，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，已知1S =阴影，则12S S +=______．
15．函数25(1)n y n x -=+是反比例函数，且图象位于第二、四象限内，则n =____． 16．如图，一次函数1y k x b =+的图象过点()0,4A ，且与反比例函数()20k y x x
=
>的图象相交于B 、C 两点，若2BC AB =，则12k k ⋅的值为______．
17．下列y 关于x 的函数中，y 随x 的增大而增大的有_____．（填序号）
①y ＝﹣2x+1，②y 1x =，③y ＝（x+2）2+1（x ＞0），④y ＝﹣2（x ﹣3）2﹣1（x ＜0） 18．已知，点P （a ，b ）为直线3y x =-与双曲线2y x =-
的交点，则11b a -的值等于__．
19．如图，平面直角坐标系中，等腰Rt ABC ∆的顶点.A B 分别在x 轴、y 轴的正半轴, 90,ABC =∠CA x ⊥轴, 点C 在函数()0k y x x
=>的图象上.若2,AB =则k 的值为_____．
20．如图，菱形ABCD 顶点A 在函数y=
4x
（x>0）的图像上，函数y=k x （k>4，x>0）的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB=4，∠ADC=150°，则k=______。

三、解答题
21．在同一平面直角坐标系中，设一次函数1y mx n =+（m ，n 为常数，且
0,m m n ≠≠-）与反比例函数2m n y x
+=． （1）若1y 与2y 的图象有交点()1,5，且4n m =，
①求：m 、n 的值；
②当15y ≥时，2y 的取值范围；
（2）若1y 与2y 的图象有且只有一个交点，求m n 的值． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax+b （a≠0）的图象与反比例函数
k y x
=
（k≠0，x ＞0）的图象相交于A （1，5），B （m ，1）两点，与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，连接OA ，OB ．
（1）求反比例函数k y x
=
（k≠0，x ＞0）和一次函数y ＝ax+b （a≠0）的表达式； （2）求△AOB 的面积． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠与反比例函数
()0m y m x
=≠的图像交于点()3,1A ，且过点()1,3B --．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图像直接写出当m kx b x
+>时，x 的取值范围． 24．如图，直线y mx n =+与双曲线k y x
=相交于()1,2,(2,)A B b -两点，与x 轴交于点E ，与y 轴相交于点C ．
（1）求m n ，的值；
（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求ABD ∆的面积；
（3）在坐标轴上是否存在异于D 点的点,P 使得PAB DAB S S ∆∆=?若存在，直接写出Р点坐标；若不存在，说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 在函数y ＝k x
（x ＞0）的图象上（点B 的横坐标大于点A 的横坐标），点A 的坐标为(2，4)，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，连接OA ，AB ．
（1）求k 的值．
（2）若点D 为OC 中点，求四边形OABC 的面积．
26．如图，一次函数1y x =+的图象与反比例函数k y x
=
的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数1y x =+的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数k y x
=图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点(0,5)，且与反比例函数k y x
=
的图象没有公共点．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
设A 点的坐标是（a ，b ），则根据函数的对称性得出B 点的坐标是（﹣a ，﹣b ），求出AC ＝2b ，BC ＝2a ，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出ab ＝1，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：设A 点的坐标是（a ，b ），则根据函数的对称性得出B 点的坐标是（﹣a ，﹣b ）， 则AC ＝2b ，BC ＝2a ，
∵A 点在y ＝
1x 的图象上， ∴ab ＝1， ∴
ABC 的面积S ＝12BC AC ⨯⨯ ＝1222
a b ⨯⨯ ＝2ab
＝2×1
＝2，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义等知识点，能求出ab ＝1是解此题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
证明()△△DHA CGD AAS ≅，()△△ANB DGC AAS ≅得到：
1AN DG AH
===，而11AH m =--=，解得2m =-，即可求解；
【详解】
设点8,D m m ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， 如图所示，过点D 作x 轴的垂线交CE 于点G ，过点A 作x 轴的平行线DG 于点H ，过点A 作AN x ⊥轴于点N ，
∵90GDC DCG ∠+∠=︒，90GDC HDA ∠=∠=︒，
∴HDA GCD ∠=∠，
又AD CD =，90DHA CGD ∠=∠=︒，
∴()△△DHA CGD
AAS ≅，
∴HA DG =，DH CG =， 同理可得：()△△ANB DGC
AAS ≅， ∴1AN DG AH
===， 则点8,
1G m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，CG DH =， 11AH m =--=，
解得：2m =-， 故点()2,5G --，()2,4D --，()2,1H
-， 则点8,55E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，25GE =， ∴223555CE CG GE DH GE =-=-=-
=． 故答案选B ．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，准确分析计算是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
先根据反比例函数
k
y
x
=经过点（-2，3）求出k的值，再对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：∵反比例函数
k
y
x
=经过点（-2，3），
∴k=-2×3=-6．
A、∵2×3=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵1×6=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
D、∵6×（-1）=-6，∴此点在函数图象上，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】
如图，作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵反比例函数y=3
x
的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，
∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），∴AH=3﹣1=2，BH=3﹣1=2，
由勾股定理得，AB=22
2222
+=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=22，
∴菱形ABCD的面积=BC×AH=42，
故选A．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出
A 的坐标、点
B 的坐标是解题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
在实际生活中，电压U 、电流I 、电阻R 三者之中任何一个不能为负，依此可得结果．
【详解】
A 图象反映的是U I R
=
，但自变量R 的取值为负值，故选项A 错误；B 、C 、D 选项正确，不符合题意．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了现实生活中函数图象的确立，注意自变量取值不能为负是解答此题的关键． 6．B
解析：B
【分析】
根据反比例函数的解析式分别代入求解，把123,,y y y 的值求解出来，再进行比较，即可得到答案．
【详解】
解：∵点()()()1231,,1,,3,A y B y C y -在反比例函数6y x =
的图像上， ∴1166y -==-，2166y ==，33
62y ==， 即：132y y y <<，
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了与反比例函数有关的知识点，能根据已知条件求出未知量是解题的关键，再比较大小的时候注意符号．
7．C
解析：C
【分析】
分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A.∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k ＞0
∴0k -<
∴一次函数y kx k =-的图象经过一、三、四象限．
故本选项错误；
B.∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k 0<
∴一次函数y kx k =-的图象经过一、二、四象限． 故本选项错误；
C.∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k 0< ∴0k ->
∴一次函数y kx k =-的图象经过一、二、四象限． 故本选项正确；
D.∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k 0< ∴0k ->
∴一次函数y kx k =-的图象经过一、二、四象限． 故本选项错误． 故选：C 【点睛】
本题考查的是反比例函数、一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k 的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
8．B
解析：B 【分析】 反比例函数2
y x
=-中的20k =-<，图像分布在第二、四象限；利用0x <判断即可． 【详解】 解：
反比例函数2
y x
=-
中的20k =-<， ∴该反比例函数的图像分布在第二、四象限；
又
0x <，
∴图象在第二象限且y 随x 的增大而增大．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查的是反比例函数的性质，对于反比例函数()0k
y k x
=
≠，（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．
9．B
解析：B 【分析】
先求出直线y ＝x +2与坐标轴的交点A 坐标，再由两条直线解析式构成方程组，解方程组求得B 点坐标，进而求得中点P 的坐标，问题就迎刃而解了． 【详解】
解：直线y ＝x +2中，令x ＝0，得y ＝2，
解2310y x y x =+⎧⎨
=-+⎩得2
4
x y =⎧⎨=⎩，
∴B (2，4)，
∵P 是线段AB 的中点， ∴P (1，3)， 把(1,3)P 代入k
y x
=中，得3k =， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了两条直线的相交问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法．本题的关键是求出P 点坐标．
10．D
解析：D 【分析】
先把点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）代入双曲线1
y x
=-，用y 1、y 2表示出x 1，x 2，据此进行判断． 【详解】
∵点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在双曲线1
y x
=-上， ∴11
1y x =-
，221y x =-．
A 、当x 1=x 2时，-
11x =-2
1x ，即y 1=y 2，故本选项说法正确；
B 、当x 1=-x 2时，-11x =2
1
x ，即y 1=-y 2，故本选项说法正确；
C 、因为双曲线1
y x
=-
位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当0＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2，故本选项说法正确；
D 、因为双曲线1
y x
=-
位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，故本选项说法错误； 故选：D ． 【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
11．C
解析：C 【分析】
分别计算自变量为1
3-，1
2
-和1时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】
1(3A -，1)y 、1
(2B -，2)y 、3(1,)C y 是一次函数3y x b =-+的图象上三点， 11y b ∴=+，23
2
y b =
+，33y b =-+． 3
312
b b b -+<+<
+， 312y y y ∴<<．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了一次函数的性质．
12．C
解析：C 【分析】
过点B 作x 轴的平行线，过点A ，C 分别作y 轴的平行线，两线相交于M ，N ，证明△ABM ≌△BCN ，可得BN=AM=2a ，CN=BM=a ，所以点C 坐标为（2a ，a ），BC 的中点E 的坐标为（a ，1.5a ），把点E 代入双曲线18
y x
=可得a 的值，进而得出S △ABO 的值． 【详解】
如图，过点B 作x 轴的平行线，过点A ，C 分别作y 轴的平行线，两线相交于M ，N ，
∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ， ∴∠ABM=90°-∠CBN=∠BCN ， ∵∠M=∠N=90°， ∴△ABM ≌△BCN （AAS ）， ∵OB=2OA ， ∴设OA=a ，OB=2a ， 则BN=AM=2a ，CN=BM=a ，
∴点C 坐标为（2a ，a ）， ∵E 为BC 的中点，B （0，2a ）， ∴E （a ，1.5a ）， 把点E 代入双曲线18
y x
=
得1.5a 2=18，a 2=12， ∴S △ABO =
1
2
a•2a=12， 故选：C ． 【点睛】
此题考查反比例函数k 的几何意义，三角形全等的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形表示出点E 的坐标．
二、填空题
13．-2【分析】让x 的指数为-1系数不为0列式求值即可【详解】依题意得且解得故答案为：-2【点睛】考查反比例函数的定义；反比例函数解析式的一般形式y ＝（k≠0）也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式特别
解析：-2 【分析】
让x 的指数为-1，系数不为0列式求值即可． 【详解】
依题意得31m -=-且20m -≠， 解得2m =-． 故答案为：-2． 【点睛】
考查反比例函数的定义；反比例函数解析式的一般形式y ＝k
x
（k≠0），也可转化为y=kx -1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
14．4【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义求出S1+S 阴影和S2+S 阴影求出答案【详解】解：∵AB 两点在双曲线上∴S1+S 阴影=3S2+S 阴影=3∴S1+S2=6-2=4故答案为：4【点睛】本题考查的
解析：4 【分析】
根据反比例函数系数k 的几何意义，求出S 1+S 阴影和S 2+S 阴影，求出答案． 【详解】
解：∵A 、B 两点在双曲线3
y x
=上， ∴S 1+S 阴影=3，S 2+S 阴影=3， ∴S 1+S 2=6-2=4，
故答案为：4． 【点睛】
本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
15．-2【分析】根据反比例函数的定义与性质解答即可【详解】根据反比函数的解析式y=（k≠0）故可知n+1≠0即n≠-1且n2－5=-1解得n=±2然后根据函数的图像在第二四三象限可知n+1<0解得n<-
解析：-2． 【分析】
根据反比例函数的定义与性质解答即可. 【详解】
根据反比函数的解析式y=k
x
（k≠0），故可知n+1≠0，即n≠-1， 且n 2－5=-1，解得n =±2，
然后根据函数的图像在第二、四三象限， 可知n+1<0，解得n<-1, 所以可求得n=-2. 故答案为：-2 【点睛】
本题考查反比例函数的定义与性质，熟记定义与性质是解题的关键.
16．﹣3【分析】由题意可设一次函数的解析式为y ＝k1x+4然后联立两个函数的解析式可得等式k1x2+4x ﹣k2＝0进而可根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣x1x2＝﹣再由可得点C 的横坐标是点B 横坐标的
解析：﹣3 【分析】
由题意可设一次函数的解析式为y ＝k 1x +4，然后联立两个函数的解析式可得等式k 1x 2+4x ﹣k 2＝0，进而可根据根与系数的关系得出x 1+x 2＝﹣
1
4
k ，x 1x 2＝﹣21k k ，再由2BC AB 可得
点C 的横坐标是点B 横坐标的3倍，不妨设x 2＝3x 1，然后对上述的两个式子整理变形即得结果． 【详解】
解：∵一次函数y ＝k 1x +b 的图象过点A （0，4）， ∴一次函数的解析式为y ＝k 1x +4， 由k 1x +4＝
2
k x
，得k 1x 2+4x ﹣k 2＝0， 设上述方程的两个实数根为x 1、x 2，则x 1+x 2＝﹣1
4
k ， x 1x 2＝﹣21k k ，
∵BC ＝2AB ，
∴点C 的横坐标是点B 横坐标的3倍，不妨设x 2＝3x 1，
∴x 1+x 2＝4x 1＝﹣1
4k ，x 1x 2＝3x 12
＝﹣21k k ，
∴2
21113k
k k ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭
，整理得：k 1k 2＝﹣3．
故答案为﹣3． 【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握上述知识、掌握求解的方法是关键．
17．③④【分析】根据一次函数二次函数反比例函数的性质即可一一判断【详解】解：y 随x 的增大而增大的函数有③④故答案为③④【点睛】本题主要考查一次函数二次函数反比例函数的性质解决本题的关键是熟练掌握一次函数
解析：③④ 【分析】
根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质即可一一判断. 【详解】
解：y 随x 的增大而增大的函数有③④， 故答案为③④． 【点睛】
本题主要考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质，解决本题的关键是熟练掌握一次函数,二次函数,反比例函数图像性质.
18．-【分析】将点P 分别代入两函数解析式得到：b ＝a ﹣3b ＝﹣进而得到a ﹣b ＝3ab ＝﹣2将其代入求值即可【详解】∵点P （ab ）为直线y ＝x ﹣3与双曲线y ＝﹣的交点∴b ＝a ﹣3b ＝﹣∴a ﹣b ＝3ab ＝﹣
解析：-3
2
【分析】
将点P 分别代入两函数解析式得到：b ＝a ﹣3，b ＝﹣2
a
，进而得到a ﹣b ＝3，ab ＝﹣2．将其代入求值即可． 【详解】
∵点P （a ，b ）为直线y ＝x ﹣3与双曲线y ＝﹣
2
x
的交点， ∴b ＝a ﹣3，b ＝﹣
2a
， ∴a ﹣b ＝3，ab ＝﹣2．
∴
1b ﹣1a ＝a b ab -＝32
-＝﹣3
2． 故答案是：﹣3
2
． 【点睛】
考查了反比例函数与一次函数的交点，解题关键是是得到a ﹣b ＝3，ab ＝﹣2．
19．4【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC 的值根据等面积法求出OA 的值OA 和AC 分别是点C 的横纵坐标又点C 在反比例函数图像上即可得出答案【详解】∵△ABC 为等腰直角三角形AB=2∴BC=2解得
解析：4 【分析】
根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC 的值，根据等面积法求出OA 的值，OA 和AC 分别是点C 的横纵坐标，又点C 在反比例函数图像上，即可得出答案. 【详解】
∵△ABC 为等腰直角三角形，AB=2
∴BC=2，
AC =
=11
22BC AB OA AC ⨯⨯=⨯⨯ 11
2222
OA ⨯⨯=⨯⨯
解得：
∴点C 的坐标为
又点C 在反比例函数图像上 ∴
4k =
= 故答案为4. 【点睛】
本题考查的是反比例函数，解题关键是根据等面积法求出点C 的横坐标.
20．【分析】连接OCAC 过A 作AE ⊥x 轴于点E 延长DA 与x 轴交于点F 过点D 作DG ⊥x 轴于点G 得OAC 在第一象限的角平分线上求得A 点坐标进而求得D 点坐标便可求得结果【详解】连接OCAC 过A 作AE ⊥x 轴于点
解析：【分析】
连接OC ，AC ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，延长DA 与x 轴交于点F ，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，得O 、A 、C 在第一象限的角平分线上，求得A 点坐标，进而求得D 点坐标，便可求得结果． 【详解】
连接OC ，AC ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，延长DA 与x 轴交于点F ，过点D 作DG ⊥x 轴于点
G ，
∵函数y=
k
x
（k ＞4，x ＞0）的图象关于直线AC 对称， ∴O ，A ，C 三点在同直线上，且∠COE=45°， ∴OE=AE ，
不妨设OE=AE=a ，则A （a ，a ），
∵点A 在在反比例函数y=4
x
（x ＞0）的图象上， ∴a 2=4，
∴a=±2(负值舍去)， ∴a=2， ∴AE=OE=2，
∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC=150°， ∴∠BAD=30°，
∴∠OAF=∠CAD=1
2
∠BAD=15°， ∵∠OAE=∠AOE=45°， ∴∠EAF=30°，
∴AF=
30AE cos ︒43，EF=AEtan30°23
， ∵AB=AD=4，AE ∥DG ，
∴AF FE AE DF FG DG ==4323
233434+
FG DG
= 解得，FG=23
2+
,DG=232 ∴EG=FG-FE=23223
=2，
∴OG=OE+EG=2+2=4， ∴D （4，232），
∵D 点D 在函数y=
k
x
的图象上， ∴k=4×（2）
故答案为： 【点睛】
本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，菱形的性质，解直角三角形，关键是确定A 点在第一象限的角平分线上．
三、解答题
21．（1）①1,4m n ==；②205y <≤；（2）12
m n =- 【分析】
（1）①将点()1,5代入一次函数解析式得5m n +=，结合4n m =，即可求出m 、n 的值；
②由①已经得到一次函数和反比例函数的解析式，根据15y ≥求出x 的取值范围，再根据反比例函数的性质求出2y 的取值范围；
（2）根据题意，1y 与2y 的图象有且只有一个交点，即方程m n
mx n x
+=+有且只有一解，根据根的判别式即可求出结果． 【详解】
（1）①把()1,5代入1y mx n =+，得5m n +=， ∵4n m =， ∴1,4m n ==；
②由①得：1254,y x y x
=+=， ∴当15y ≥时，45x +≥， ∴1≥x ， ∵反比例函数25
y x
=
在第一象限内y 随着x 的增大而减小， ∴当1≥x 时，2y 的取值范围是205y <≤； （2）令
m n
mx n x
+=+， 得2
()0mx nx m n +-+=，
由题意得，2
2
Δ4()(2)0n m m n m n +=+=+=即20m n +=， ∴
12
m n =-．
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数，以及一元一次方程根的判别式，解题的关键是掌握函数解析式的求解方法，理解函数图象的交点对应方程的解． 22．（1）5
y x
=，6y x =-+；（2）12 【分析】
（1）将点A （1，5）代入k
y x
=
（k≠0，x ＞0）,得到k 的值及反比例函数解析式；再将将点B （m ，1）代入反比例函数，得点B 坐标；将点A （1，5），B （5，1）代入y ＝ax+b ，通过求解二元一次方程组，即可得到答案；
（2）结合一次函数6y x =-+，得点D 坐标；再由△AOB 的面积＝△BOD 的面积-△AOD 的面积，经计算即可得到答案． 【详解】
（1）将点A （1，5）代入k
y x
=
（k≠0，x ＞0） 得：51
k =
解得：k ＝5
∴反比例函数的表达式为：5y x
= 将点B （m ，1）代入5y x
= 得：m ＝5 ∴点B （5，1）
将点A （1，5），B （5，1）代入y ＝ax+b 得5
51
a b a b +=⎧⎨
+=⎩
解得：1
6
a b =-⎧⎨
=⎩
∴一次函数表达式为：6y x =-+； （2）由一次函数6y x =-+可知：D （0，6） ∴△AOB 的面积＝△BOD 的面积-△AOD 的面积11
65611222
=⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】
本题考查了反比例函数、一次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解． 23．（1）y ＝
3
x ，y ＝x ﹣2；（2）当﹣1＜x ＜0或x ＞3时，kx +b ＞m x
．
【分析】
（1）先把A 点坐标代入m y x =
中求出m 得到反比例函数解析式，然后利用待定系数法即可求一次函数解析式；
（2）结合函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：（1）∵反比例函数()0m y m x =
≠的图象过点A （3，1）， ∴m ＝3×1＝3，
∴反比例函数的表达式为y ＝3x
； ∵一次函数y ＝kx +b 的图象过点A （3，1）和B （﹣1，﹣3），
∴313k b k b +=⎧⎨-+=-⎩
，解得12k b =⎧⎨=-⎩， ∴一次函数的表达式为y ＝x ﹣2；
（2）当﹣1＜x ＜0或x ＞3时，kx +b ＞
m x ． 【点睛】
本题考查了利用待定系数法求函数的解析式以及反比例函数与一次函数的交点等知识，属于常考题型，正确理解题意、掌握解答的方法是关键．
24．（1）1,1m n =-=；（2）3；（3）P 点坐标为（-1，0）或（3，0）或（0，3）
【分析】
（1）利用待定系数法求出m ，n 的值；
（2）根据关于x 轴对称的点的坐标特征求出点D 的坐标，利用三角形面积公式计算即可；
（3）分点P 在x 轴上和点P 在y 轴上两种情况，利用三角形面积公式计算即可．
【详解】
（1）∵点A （-1，2）在双曲线k y x =
上， ∴-12
k =， 解得，2k =-，
∴反比例函数解析式为：2y x =-
， ∵(2,)B b ∴212
b =-=-， 则点B 的坐标为（2，-1），
把()1,2,(2,1)A B --代入y mx n =+得：
122m n m n -=+⎧⎨=-+⎩
， 解得11m n =-⎧⎨=⎩
； （2）对于y=-x+1，当x=0时，y=1，
∴点C 的坐标为（0，1），
∵点D 与点C 关于x 轴对称，
∴点D 的坐标为（0，-1），
∴△ABD 的面积=12
×2×3=3； （3）对于y=-x+1，当y=0时，x=1，
∴直线y=-x+1与x 轴的交点坐标为（0，1），
当点P 在x 轴上时，设点P 的坐标为（a ，0），
S △PAB=12×|1-a|×2+12
×|1-a|×1=3， 解得，a=-1或3，
此时P 点坐标为（-1，0）或（3，0）
当点P 在y 轴上时，设点P 的坐标为（0，b ），
S △PAB=12×|1-b|×2+12
×|1-b|×1=3， 解得，b=-1或3，
∵D （0，-1）
∴此时P 点坐标为（0，3）
∴P 点坐标为（-1，0）或（3，0）或（0，3）．
【点睛】
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
25．（1）8；（2）10
【分析】
（1）将点A 的坐标为（2，4）代入y=kx （x ＞0），可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点B 的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
【详解】
解：（1）将点A 的坐标为（2，4）代入y ＝
k x
（x ＞0）， 可得k ＝xy ＝2×4＝8，
∴k 的值为8；
（2）∵k 的值为8，
∴函数y ＝k x 的解析式为y ＝8x
． ∵D 为OC 中点，OD ＝2，
∴OC ＝4． ∴点B 的横坐标为4．将x ＝4代入y ＝
8x ． 可得y ＝2．
∴点B 的坐标为（4，2）．
∴S 四边形OABC ＝S △AOD +S 四边形ABCD ＝1124(24)222
⨯⨯+⨯+⨯＝10．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象上点的特征和四边形的面积，运用数形结合思想是解答此题的关键．
26．（1）6y x =
；（2）(2,3),(3,2)--；（3）25y x =-+（答案不唯一） 【分析】
（1）将x=2代入一次函数，求出其中一个交点是(2,3)，再代入反比例函数k y x =即可解答；
（2）先求出平移后的一次函数表达式，联立两个函数解析式得到一元二次方程260x x --=即可解答；
（3）设一次函数为y=ax+b （a≠0），根据题意得到b=5，联立一次函数与反比例函数解析式，得到2560ax x +-=，若无公共点，则方程无解，利用根的判别式得到25240a ∆=+<，求出a 的取值范围，再在范围内任取一个a 的值即可．
【详解】
解：（1）∵一次函数1y x =+的图象与反比例函数k y x
=的图象的一个交点的横坐标是2，
∴当2x =时，3y =，
∴其中一个交点是(2,3)．
∴236k =⨯=．
∴反比例函数的表达式是6y x
=．
（2）∵一次函数1y x =+的图象向下平移2个单位，
∴平移后的表达式是1y x =-． 联立6y x
=及1y x =-，可得一元二次方程260x x --=， 解得12x =-，23x =．
∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为(2,3),(3,2)--
（3）设一次函数为y=ax+b （a≠0），
∵经过点(0,5)，则b=5，
∴y=ax+5，
联立y=ax+5以及6y x
=
可得：2560ax x +-=， 若一次函数图象与反比例函数图象无交点， 则25240a ∆=+<，解得：2524a <-
， ∴25y x =-+（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数图象交点问题以及函数图象平移问题，解题的关键是熟悉函数图象上点的特征，第（3）问需要先确定a 的取值范围．。