福建省四地六校1415学年度高一下学期第二次月考——数

福建省四地六校
2014—2015学年度下学期第二次月考
高一数学试题
“六校联考”
（考试时间：120分钟 总分：150分）
参考公式：
锥体体积公式 柱体体积公式 V=Sh
球的表面积、体积公式
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D.
2. 若直线∥平面，直线，则与的位置关系是 ( )
A 、∥
B 、与异面
C 、与相交
D 、与没有公共点
3．在ABC ∆中，若,24,34,60==︒=AC BC A 则角B 的大小为 （ ）
A ．30°
B ．45°
C ．135°
D ．45°或135°
4．已知R 13x y z x y z ∈--、、，若、、、、
成等比数列，则的值为（ ） A ．－3 B ．±3 C ． D ．
5.如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面
图形的面积是（ ）
A ．
B ．1
C ．
D ．
6．点（a,b ）在直线2x-y+3=0的右下方，则（ ）
A ．2a-b+3<0 B. 2a-b+3>0 C. 2a-b+3=0 D.以上都不成立 7.已知m 、n 为两条不同的直线，、为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若∥，m ∥，则m ∥
B ．若m ⊥，m ⊥，则∥
C ．若⊥，m ⊥，则m ⊥
D ．若m ∥，m ⊥n ，则n ⊥ 8.下列结论正确的是( ) A.当时， B.当时，
C.当时，的最小值为2
D.当时，无最大值
9. 如图，正方体ABCD －中，E ，F 分别为棱AB ，的中点，在平面内且与平面平行的直线( ) A ．不存在 B ．有1条 C ．有2条 D ．有无数条
（第9题图） (第11题图)
n
n
在C 、D 两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°．在水平面上测得∠BCD=120°，C 、D 两地相距600m ，
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。

） 13. 已知，则的取值范围是 . 14．球的表面积为，则球的体积为___________. 15.数列中，则 .
16．如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为的正方体中分离出来的.有如下结论： ①在图中的度数和它表示的角的真实度数都是； ②1111111AC D AC D D C D ∠=∠+∠； ③与所成的角是；
④若，则用图示中这样一个装置盛水，最多能盛的水.
其中正确的结论是 （请填上你所有认为正确结论的序号）.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．, 把答案填在．．．．．答题卷相应位置．．．．．．．． 17．（本小题满分12分）
已知某几何体的正视图、侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形（尺寸如图所示）. （1）在所给提示图中，作出该几何体的直观图； （2）求该几何体的体积.
18. （本小题满分12分）
已知等差数列的首项为a ，公差为b ，且不等式的解集为． （1）求数列的通项公式及前n 项和公式 ； （2）求数列的前n 项和T n
19. （本小题满分12分） 如图，在四面体中，，点分别是的中点． 求证：（1）直线面；
（2）平面面．
20. （本小题满分12分） 已知、、分别是的三个内角、、所对的边 （1）若，试判断的形状．
（2）若，求△ABC 面积的最大值。

21. （本小题满分12分）
如图，设计一个小型正四棱锥形冷水塔，其中顶点在底面的射影为正方形的中心，返水口为的中点，冷水塔的四条钢梁（侧棱）设计长度均为10米。

冷水塔的侧面选用钢板，基于安全与冷凝速度的考量，要求钢梁（侧棱）与底面的夹角落在区间内，如何设计可得侧面钢板用料最省且符合施工要求？
22. （本小题满分14分） 已知函数.
（Ⅰ）求R x x f x f ∈-+),1()(的值；
（Ⅱ）若数列)1()1
(
)2()1()0(}{f n
n f n f n f f a a n n +-++++= 满足， 求数列的通项公式；
（Ⅲ）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
“六校联考”
2014-2015学年下学期第二次月考
高一数学答案
（考试时间：120分钟 总分：150分）
出题人：永安一中 刘光宇 审题人：永安一中 颜秀娜
一、 选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题（每小题4分，共16分） 13、； 14、； 15、46 ； 16、 ①④
17. （Ⅰ）该几何体的直观图如图：┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 （Ⅱ）该几何体是四棱锥，
其底面的面积：，┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 高， ┅┅┅┅┅┅9分
则体积11
4869633
V Sh ==⨯⨯=（体积单位） ┅┅┅┅12分
18.解 ：（Ⅰ）的解集为， 则方程的两根为、． …………1分
利用韦达定理得出．………… 3分 由此知， -------------6分 （Ⅱ）令11111
(1)1
n n n b a a n n n n +=
==-
⋅⋅++…………8分 则12311111111
()1223341
n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++
+=-+-+-+
+-
⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎝⎭⎣⎦
= -----------12分
19.证明：（1）∵分别是的中点． ∴是的中位线，∴，……2分
∵面，面，
∴直线面；…………5分 （2）∵，，∴，……6分 ∵，是的中点，∴……8分 又, ∴⊥面，…………10分 ∵面，∴面面………………12分 20.解：（1）根据余弦定理得，化简得 2分
02cos 2
22<-+=ab
c b a C ，C 为钝角是钝角三角形………………5分
222222cos 23cos 1
2cos 3cos 20(cos 2)(2cos 1)01cos (0,)
2
83
2cos 3
93,101=sin 1224
ABC
A A A A A A A A A a b c bc A
b c bc bc b c S bc A ππ
+=∴+-=∴+-=∴=∈∴=
=+-∴+-=≤=∴≤（2）分
根据余弦定理得：分
根据基本不等式则当且仅当时取等号
分
分
21.（本题12分）
解：依题意，钢梁（侧棱）与底面的夹角．
∴， --------------------------------------------------1分
则OE α=
=， ------------3分
在中，PE ==，---5分
∴14200cos 2S PE BC ⎛⎫
=⨯=
⎪⎝⎭
侧面 ------------------------------------------8分
又，则，----------------------------10分
当且仅当时，取最小值是= -------------11分 此时相应，，．即冷水塔的底面边长应设计为米，高米时，侧面钢板用料最省- -------------------------12分 22.。