江西省2020年高二数学上学期期中试题理(含解析)

高二数学上学期期中试题理（含解析）
一、选择题（本大题共12小题）
1.下列命题正确的是（）
A. 若,则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若,则
2.已知两个等差数列（和）的前n项和分别为A n和B n，且，则=（）
A. B. C. D.
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女
子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（）
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
4.设实数x，y满足约束条件，则z=-3x+y的最小值是（）
A. 1
B.
C.
D.
5.若关于x的不等式|ax-2|＜3的解集为，则a=（）
A. B. 2 C. 3 D.
6.在等比数列{a n}中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，则a8的值为（）
A. 或
B.
C.
D. 或
7.方程x2-2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，3）内，则实数a的取值范围为（）
A. B. 或 C. D.
8.已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则2a-4b的取值范围是（）
A. B. C. D.
9.数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a7=（）
A. B. C. D.
10.数列{a n}满足a1=1，对任意n∈N*都有a n+1=a n+n+1，则=（）
A. B. C. D.
11.已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n为数列{a n}
的前n项和，则的最小值为（）
A. 4
B. 3
C.
D. 2
12.若数列{a n}，{b n}的通项公式分别是，且a n＜b n对任意n∈N*恒成立，则实数a的取
值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题）
13.不等式的解集为______．
14.数列{a n}中，a1=-60，且a n+1=a n+3，则这个数列的前40项的绝对值之和为______．
15.下列结论正确的序号是______．
①当x≥2时，的最小值为2
②当x＞0时，
③当0＜x≤2时，无最大值
④当x＞0且x≠1时，
⑤当时，
16.在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n满足，设，数列{b n}的前n项和
为T n，则满足T n≥6的最小正整数n是______．
三、解答题（本大题共6小题）
17.已知不等式ax2-3x+2＜0的解集为A={x|1＜x＜b}．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）=（2a+b）x-（x∈A）的最小值．
18.已知函数f（x）=|2x+3|+|2x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．
19.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+4，n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=（a2n+2）log3（a n+2），求数列{b n}的前n项和T n．
20.设f（x）=ax2+（1-a）x+a-3．
（1）若不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜a-2（a∈R）．
21.已知数列{a n}满足（1-）（1-）…（1-）=，n∈N*，S n是数列{a n}的前n项的和．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若a p，30，S q成等差数列，a p，18，S q成等比数列，求正整数p，q的值；
（3）是否存在k∈N*，使得为数列{a n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．
22.已知数列{a n}中，a1=1，a2=a，且a n+1=k（a n+a n+2）对任意正整数n都成立，数列{a n}
的前n项和为S n．
（1）若，且S2019=2019，求a；
（2）是否存在实数k，使数列{a n}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a m，
a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k的值；若不存在，请说
明理由；
（3）若，求S n．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A．取a=2，b=-3满足条件，则a2＞b2不成立；
B．由a＞|b|，利用不等式的基本性质可得：a2＞b2，成立；
C．取a=-2，b=1满足条件a2＞b2，则a＞|b|不成立；
D．a2＞b2⇔|a|＞|b|，则＞不成立．
故选：B．
利用不等式的基本性质或取特殊值即可判断出正误．
本题考查了不等式的基本性质、取特殊值法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D
【解析】解：依题意，数列{a n}和{b n}为等差数列，
所以A9==9a5，
同理B9=9b5，
所以====．
故选：D．
因为数列{a n}和{b n}为等差数列，所以A9=9a5，B9=9b5，将转化为即可．
本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项与前n项和的关系，属于基础题．3.【答案】B
【解析】解：设此数列为{a n}，由题意可知为等差数列，公差为d．
则S7=28，a2+a5+a8=15，
则7a1+21d=28，3a1+12d=15，
解得a1=1，d=1．
∴a10=1+9×1=10．
故选：B．
设此数列为{a n}，由题意可知为等差数列，公差为d．利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意作实数x，y满足约束条件平面区域如下，
，
化z=-3x+y为y=3x+z，
从而可得当过点（3，1）时，有最小值，
故z=3x+y的最小值为-3×3+1=-8．
故选：C．
由题意作平面区域，化z=-3x+y为y=3x+z，从而结合图象求最小值．
本题考查了学生的作图能力及线性规划，同时考查了数形结合的思想应用．
5.【答案】C
【解析】解：不等式|ax-2|＜3可化为-3＜ax-2＜3，
即-1＜ax＜5；
当a＞0时，解不等式得-＜x＜，
由不等式的解集为，得a=3；
当a=0时，不等式的解集为R，不满足题意；
当a＜0时，解不等式得＜x＜-，不满足题意；
综上知，a=3．
故选：C．
去掉绝对值，不等式化为-1＜ax＜5，讨论a＞0和a=0与a＜0时，解不等式求得a的值．
本题考查了含有绝对值的不等式解法问题，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵等比数列{a n}中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，
∴a2+a14=5，a2•a14=6，解得a2和a14中，一个等于2，另一个等于3，
故有a2•a14==6，∴a8=±．再根据a8=a2•q6＞0，∴a8=，
故选：B．
由题意利用一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，求得a8的值．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：令f（x）=x2-2ax+1，
∵方程x2-2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，3）内，
∴，∴，
∴1＜a＜，
∴a的取值范围为（1，）．
故选：A．
令f（x）=x2-2ax+1，根据条件可得，然后解出a的范围．
本题考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，考查了数形结合思想和函数思想，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：先根据约束条件画出可行域，
当直线z=2a-4b过点A（，）时，z最小是-7，
当直线z=2a-4b过点B（，）时，z最大是5，
故选：A．
先根据约束条件在坐标系aob中画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2a-4b表示直线在纵轴上的截距，只需求出可行域直线在纵轴上的截距最大最小值即可．
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1）①，
当n≥2时，②，
①-②得a n+1-a n=3a n，
所以，
所以数列{a n}是以3为首项，4为公比的等比数列．
所以．
所以
故选：A．
直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
10.【答案】B
【解析】解：数列{a n}满足a1=1，对任意n∈N*都有a n+1=a n+n+1，
即有n≥2时，a n-a n-1=n，
可得a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）
=1+2+3+…+n=n（n+1），
==2（-），
则=2（1-+-+…+-）
=2（1-）=．
故选：B．
由题意可得n≥2时，a n-a n-1=n，再由数列的恒等式：a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1），运用等差数列的求和公式，可得a n，求得==2（-），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
11.【答案】A
【解析】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，
∴a32=a1a13，
∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，
解得d=2．
∴a n=1+2（n-1）=2n-1．
S n=n+×2=n2．
∴===n+1+-2≥2-2=4，
当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，
故选：A．
a1，a3，a13成等比数列，a1=1，可得：a32=a1a13，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得a n，S n．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．
本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．
12.【答案】C
【解析】解：当n为奇数时，a n=-a，b n=2+，且当n增加时，b n减少；
∴（b n）min=2；
∵a n＜b n对任意n∈N*恒成立
∴-a≤2，即a≥-2；
当n为偶数时，a n=a，b n=2+，且当n增加时，b n增加；
∴（b n）min=2-=；
∵a n＜b n对任意n∈N*恒成立
∴a＜．
综上可得：-2≤a＜．
故选：C．
分n为奇数偶数两种情况各自求出对应的a的取值范围，再综合到一起即可．
本题主要考查分类讨论思想在数列中的应用，以及数列与不等式的综合，属于基础题目．13.【答案】
【解析】解：由得，或，解得，
∴原不等式的解集为．
故答案为：．
可将不等式转化为不等式组为或，解不等式组即可．
本题考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】570
【解析】解：数列{a n}中，a1=-60，且a n+1=a n+3，则a n+1-a n=3（常数），
故数列{a n}是以首项为a1=-60，公差为3的等差数列．
所以a n=-60+3（n-1）=3n-63，
当n=21时，a21=0，
当0＜n≤21，|a n|=-a n，
则S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=-（a1+a2+a3+…+a n）=-=．
当n≥22时，|a n|=a n，
则S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=-a1-a2-…-a21+a22+…+a n，
=-2（a1+a2+…+a21）+（a1+a2+a3+…+a n），
=-，
=630+，
当n=40时，=630-60=570．
故答案为：570
首先利用分类讨论思想的应用求出数列的求和公式，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
15.【答案】②⑤
【解析】解：①当x≥2时，y=单调递增，最小值为x=2时，y=2.5，故不成立；
②当x＞0时，，当x=1时成立，
③当0＜x≤2时，y=，y'=，递增，x=2时，取最大值，故有最大值，
④当x＞0且x≠1时，lg x可能小于0，故不成立，
⑤当时，x＜0，y＜0，而，故利用基本不等式，又x不等于y，故成立．
故答案为：②⑤
分别利用对勾函数y=的单调性和最值，y=x-的单调性，基本不等式判断即可．
考查了对勾函数y=的性质，y=x-的性质，基本不等式的应用，基础题．
16.【答案】10
【解析】解：数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n满足，
整理得，
所以（常数），
所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列．
所以，
则，
所以…=，
所以（n+1）（n+2）≥128，所以当n≥10时，满足条件．
故答案为：10．
首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用对数的运算和裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，对数的计算的应用，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.【答案】解：（1）由题意知：，解得a=1，b=2；
（2）由（1）知a=1，b=2，
∴A={x|1＜x＜2}，，
而x＞0时，，
当且仅当，即时取等号，
而，
∴f（x）的最小值为12．
【解析】本题主要考查一元二次不等式的解集，考查基本不等式的运用，考查利用基本不等式求最值的应用，属于中档题．
（1）利用不等式的解集与方程解的关系，利用韦达定理组成方程组，即可求得结论；（2）利用基本不等式，可求函数的最小值．
18.【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x-1|＜8，
可化为①
或②
或③，
解①得-＜x＜-，解②得-≤x≤，解③得＜x＜，
综合得：-＜x＜，
即原不等式的解集为{x|-＜x＜}．
（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x-1|
≥|（2x+3）-（2x-1）|=4，
当且仅当-≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，
又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，
解得：m≤-或m≥1．
【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，属于中档题．
（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解关于m的不等式，解出即可．
19.【答案】证明：（Ⅰ）数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+4，整理得a n+1+2=3（a n+2），n ∈N*．
即（常数），
所以数列{a n+2}是以3为首项，3为公比的等比数列．
故，
整理得．
（Ⅱ）由于，所以b n=（a2n+2）log3（a n+2）=n•9n，
9②，
①-②得：=，
所以．
【解析】（Ⅰ）首项利用定义得出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用数列的通项公式，求出通项，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）由条件知不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立；
即ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立；
当a=0时，x≥0，显然不能恒成立；
当a≠0时，要使得ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立，
满足，解得a≥；
综上述，实数a的取值范围是[，+∞）．
（2）由条件化简不等式f（x）＜a-2，
得ax2+（1-a）x-1＜0，
①当a=0时，不等式等价于：x-1＜0，∴x＜1，不等式的解集为（-∞，1）；
当a≠0时，方程（x-1）（ax+1）=0有两个实根，1和；
②当a＞0时，1＞，不等式等价于（x-1）（x+）＜0，
∴不等式的解集为（，1）；
③当a＜0时，不等式等价于（x-1）（x+）＞0，
当-1＜a＜0时，1＜，不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）；
当a=-1时，1=，不等式的解集为{x|x≠-1}．
当a＜-1时，1＞，不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）；
【解析】（1）根据条件不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，转化为ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立；分a=0和a≠0两种情况讨论，即可得出结论；
（2）不等式f（x）＜a-2代入化简得ax2+（1-a）x-1＜0，对a的取值进行分类讨论，即可得不等式的解集．
本题考查了一元二次函数恒成立问题，含参数的一元二次不等式解法问题，注意分类讨论的思想方法和数形结合的思想方法的运用，属于中档题．
21.【答案】解：（1）数列{a n}满足（1-）（1-）…（1-）=，①
可得1-=，
可得a1=2，
当n≥2时，（1-）（1-）…（1-）=，②
由①②可得（1-）=，
即有a n-a n-1=1，
可得a n=2+n-1=n+1，n∈N*；
a p，30，S q成等差数列，a p，18，S q成等比数列，
可得a p+S q=60，a p•S q=182=324，
即有p+1+=60，（p+1）•=324，
解得p=5，q=9；
（3）假设存在k∈N*，使得为数列{a n}中的项，
即有，
可令=n+1，
即有（k+1）（k+2）=（n-3）（n+5），
由（k+1）（k+2）为偶数，可得n为大于3的奇数，
即有n=5，k=3；n=15，k=14．
则存在正整数k=3，14，使得为数列{a n}中的项．
【解析】（1）由等式可得a1=2，将n换为n-1，两式相除可得a n-a n-1=1，由等差数列的通项公式可得所求；
（2）运用等差数列求和公式和等差数列、等比数列的中项性质，解方程即可得到所求值；
（3）假设存在k∈N*，使得为数列{a n}中的项，即有，可令=n+1，由两边平方和因式分解，列举即可得到所求值．
本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列、等比数列中项性质，以及方程思想和存在性问题的解法，考查推理能力与计算能力，属于较难题．22.【答案】解：（1）k=，a n+1=（a n+a n+2），∴数列{a n}为等差数列，
∵a1=1，a2=a，∴公差d=a-1，
∴S2019=2019=2019+×（a-1），解得a=1；
（2）设数列{a n}是公比不为1的等比数列，则它的公比q==a，
∴a m=a m-1，a m+1=a m，a m+2=a m+1，任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列，①a n+1为等差中项，则2a m+1=a m+a m+2．
即a m-1+a m+1=2a m，解得a=1，不合题意；
②a m为等差中项，则2a m=a m+1+a m+2，
即2a m-1=a m+1+a m，化简a2+a-2=0，解得a=-2或a=1（舍去）；
③若a m+2为等差中项，则2a m+2=a m+1+a m，
即2a m+1=a m+a m-1，化简得：2a2-a-1=0，解得a=-；
∴k====-．
综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个-；
（3）k=-，则a n+1=-（a n+a n+2），
∴a n+2+a n+1=-（a n+1+a n），a n+3+a n+2=-（a n+2+a n+1）=a n+1+a n，
当n是偶数时，S n=a1+a2+…+a n=（a1+a2）+…+（a n-1+a n）=（a1+a2）=（a+1）．
当n是奇数时，S n=a1+（a2+a3）+…+（a n-1+a n）
=1+（a2+a3）=1+[-（a1+a2）]=1-（a+1）（n≥1），
n=1也适合上式，
综上可得，S n=．
【解析】（1）由题意求得首项为1，公差d=a-1，结合等差数列前n项和公式列方程可得a；
（2）假设存在满足题意的实数k，分类讨论可得k；
（3）k=-，a n+1=-（a n+a n+2），a n+2+a n+1=-（a n+1+a n），a n+3+a n+2=-（a n+2+a n+1）=a n+1+a n，结合题意分类讨论，然后分组求和可得S n．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。