湖南省长沙四县一市2013届3月联考数学理(附答案)

长沙四县一市2013届3月联考数学（理）试题
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答。

答题前，请在答题卷的密封线
内填写学校、班级、学号、姓名；
2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时
间120分钟。

参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式
1221ˆn i i i n i i x y nx y b
x nx ==-⋅=-∑∑，ˆa y bx =- 方差∑=+=n i i x n x n s 1222)(1 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1. 设集合{02}
A x x =<<，集合2{log 0}
B x x =>，则A B 等于 A ．{}|2x x < B ．{}|x x >0
C ．{}|02x x <<
D ．{}|12x x << 2. “1tan =α”是“)(42Z k k ∈+
=π
πα”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件
3. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，
则其侧视图的面积为
A
． B
． C ．34 D ．1
4.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4
人中既有男生又有女生，则不同的选法共有
A ．140种
B ．120种
C ．35种
D ．34种[
A ．1
B ．12
C ．
D 6. 已知△ABC 的面积为23
，2AC =，o 60=∠BAC ，则=∠ACB
A ．030
B ．060
C ．090
D ．0
150
7. 设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1
23x x x 、、满足 123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是
8. 定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得
()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”． 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”； ②“1
2—伴随函数”至少有一个零点．；③ 2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正
确结论的个数是
A ．1个；
B ．2个；
C ．3个；
D ．0个；
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二：填空题：（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

）
(一)选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9. 在平面直角坐标系中，已知直线l ：cos sin 2ρθρθ+=
（θ为参数）和曲线C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与C 相交于A 、B 两点，则
AB = ．
10. 已知：231x y z ++=,则222x y z ++的最小值是 .
11. 如图，已知5AD =,8DB =
,AO =则圆O 的半径OC 的长为 ．
(二)必做题（12～16题） 12. 若(2)a i i b i -=+，其中a b ∈R 、，i 为虚数单位，则a b +=___________.
y 2
x
13. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的
生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据．根据右表提供的数据，求出
y 关于x 的线性回归
方程为0.70.35y x ∧=+，那么表中t 的值为_ ____. 14. 阅读如右所示的程序框图，若输出y 的值为0，则输入x 的值为
_
15. 已知函数()sin(2)6f x x π=+，其中π[,]6x a ∈-．
（1）当3a π=
时，()f x 的值域是______；
（2）若()f x 的值域是1[,1]
2-，则a 的取值范围是______． 16. 若规定集合12{,,,}n M a a a = *(N )n ∈的子集12{,,,}m i i i a a a *(N )m ∈为M 的第
k 个子集，其中12111222n i i i k ---=+++ ，则
（1）{}137,,a a a 它是集合M 的第 个子集；（2）M 的第211个子集是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，务必在答题纸指定的位置作答。

17. （本小题满分12分）某校举行了“环保知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中随
机抽取部分学生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计，请根据右图频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
（Ⅰ）求a 、b 、c 的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；
（Ⅱ）按成绩分层抽样抽取20人参加社区志愿者活动，并从中指派2名学生担任负责人，记这2名学生中“成绩低于70分”的人数为 ，求 的分布列及期望。

18. （本小题满分12分） 如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC ＝30°，BM ⊥AC 交 AC 于点 M ，EA ⊥平面ABC ，FC//EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1．
（I ）证明：EM ⊥BF ；
（II ）求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．
19. （本小题满分12分）已知数列
{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足2
21n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足
11n n n b a a +=⋅，n *N ∈,n T 为数列{}n b 的前n 项和．
(Ⅰ)求1a 、d 和n T ；
(Ⅱ)若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；
20. （本小题满分13分）如图，有一个以圆心角为60 ，半径为km 3的扇形湖面AOB ．现
欲在弧AB 上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在半径OA 上，点N 、M 在半径OB 上，将该扇形湖面内隔为四个养殖区域．设矩形PNMQ 区域的面积为y ；
（Ⅰ）当 45=∠PO B 时，求矩形PNMQ 的面积；
（Ⅱ）设POB θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式，并求出y 的最大值．
21. （本小题满分13分）已知F 1、F 2是椭圆122
22=+b y a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 22,1(-）在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足02=+M F PM ； （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，一直线l: y=kx+m 与⊙O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、
B. 当λ=⋅OB OA ，且满足433
2≤≤λ时，求△AOB 面积S 的取值范围. 22. （本小题满分13分）已知函数1()()2ln ()f x a x x a x =--∈R ．
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数
()a g x x =-．若至少存在一个0[1,e]x ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的
取值范围．
11分
222133124k k +∴≤≤+ 解得：21
1
2k ≤≤
1
||21
⋅⋅==∆AB S S ABO
421212,
33
2,[,2]
443
32
[,2],()(2)443
u k k u S u S u S S ====+≤≤=∈== 则关于在单调递增 32
46≤≤∴S 12分
22. 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 易求得：2'
22122()(1)ax x a f x a x x x -+=+-=
另解：
设()()()2ln F x f x g x ax x =-=-，定义域为()0,+∞，
()22
ax F x a x x -'=-=.。