高中数学课件——函数的极值与导数课件
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异面直线所成的角
盐城市第一中学 童 标
复习目标:
①掌握异面直线所成角的概念及求异 面直线所成角的常用方法。 ②掌握求角计算题的步骤：“一作，二证， 三计算”，思想方法是将空间问题转化为 平面问题即“降维”的思想方法。
知识回顾:
(1)定义：
设a、b是异面直线，过空间任一点O引 a //a，b//b，则 a， b所成的锐角(或直角)，叫做异 a 面直线a、b所成的角.
（2）补形法：把空间图形补成 熟悉的或完整的几何体，如正方 体、平行六面体等，其目的在于 易于发现两条异面直线的关系。
(3)、空间向量法
1、建立空间直角坐标系，设出有 关点的坐标
2、也可以不建立空间直角坐标系
两种方法都是运用两向量夹角公式：
cos 〈a,b〉 =
a b ab
注意点：
• 1、异面直线所成角的范围是（0º ，90º ]， 在把异面直线所成的角平移转化为平面三 角形中的角，常用余弦定理求其大小，当 余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不 符合两条异面直线所成角的定义，故其补 角为所求的角，这一点要注意。 • 2、当异面直线垂直时，应用线面垂直的定 义或三垂线定理（或逆定理）判定所成的 角为90º ，也是不可忽视的办法。
(2)：固定AB ，移动 CD ，
D
A
B
C
(3)：同时移动 AB ，CD ，
D E F A N C
M
B
思路二：补形
N D D E M
A
B A C
P
B C
思路三：向量方法
Z D D(0,0, a)
1、建立空间直角坐标系
解:设AD长为a,
B(0, 3a ,0)
A
X
A(0,0,0)
C
B
Y
A(0,0,0), C (
| AB || CD | 10
所以AB与CD所成的角的余弦值为
注意:不能写成
30 10
30 10
2、直接用向量运算 D
解:设AD长为1, AD a
a
A
AB b
b c
C
B
AC c
| AB | 3
10 CD 2
3 a b 0, b c 2
CD AD AC
ac
例3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.
求异面直线AB1与BD1所成角；
D1 C1
B1
A1
线线角 注意90º 的特殊 情形
C
D A B
变题:已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a. O为底面中心，F为DD1中点E在A1B1上,求AF与OE 所成的角
D1 C1
E
A1
B1
F
P
M A E B
N
C
本课小结:
余弦定理 直角三角形
空间角
平面角
线线角
主要抓 平移或 用向量
有关角的计算
一作，二证，三计算
3 3 a, a,0) 2 2
C(
3 3 a, a, a ) 2 2
B(0, 3a,0), D(0,0, a)
AB (0, 3a,0)
3 3 CD ( a, a, a) 2 2
| AB |
3a
| CD |
10 2
3 2 CD AB a 2
则 COS AB CD 30
D1 A1 B1 C1
A1B和B1C所 成的角为60° 和A1B成角为 60°的面对角 线共有 8 条。
D A B
C
A
E M D F C
B
例2、在三棱锥ABCD中AD=BC=2a，E， F分别是AB，CD的中 点EF= ，求 AD和 3a BC所成的角
∠EMF=120º
AD和BC所成的角为60º 切记:别忘了角的范围!!
3 CD AB (a c) b a b c b 2
AB CD 30 COS 10 | AB || CD |
所以AB与CD所成的角的余弦值为
30 10
归纳小结:
（1）平移法：即根据定义，以“运
动”的观点，用“平移转化”的方法， 使之成为相交直线所成的角。
具体地讲是选择“特殊点”作异面直线 的平行线，构作含异面直线所成(或其补角) 的角的三角形，再求之。
D
C
N A O B
例4、如图，在三棱锥D－ABC中， DA⊥平面ABC，∠ACB = 90°， ∠ABD = 30°，AC = BC，求异面 直线AB 与CD所成的角的余弦值。
D
A
B
思路一：平移
（1）固定CD，移动AB ，
AB向前移动
D
A
B
F
E
C
AB向上移动
D
M
A
B
C AB还有其他方向可以移动
巩固练习:
1、在正方体AC1中，M,N分别是 A1A和B1B的中点，求异面直线CM 和D1N所成的角？
D1 A1 M B1 N
C1
D
A B
C
2、若M为A1B1的中点，N为BB1的中点， 求异面直线AM与CN所成的角；
D1 C1
M
A1
B1
N
D A E F B
C
3、空间四边形PABC中，M，N分 别是PB，AC的中点， PA=BC=4，MN=3， 求PA与BC所成的角？
b
a
b
O
(2)范围：
π 0， 2
求异面直线所成的角主要思路:
b
线线角抓平移
a' P
a
预备知识
a=2RsinA
角的知识
A
正弦定理a=2RsinA
S
1 ABC = bc sinA 2
b
c C a B
余弦定理
b c a cosA= 2bc
2 2 2
A c
B a b C
例1、在正方体AC1中，求异面直 线A1B和B1C所成的角
盐城市第一中学 童 标
复习目标:
①掌握异面直线所成角的概念及求异 面直线所成角的常用方法。 ②掌握求角计算题的步骤：“一作，二证， 三计算”，思想方法是将空间问题转化为 平面问题即“降维”的思想方法。
知识回顾:
(1)定义：
设a、b是异面直线，过空间任一点O引 a //a，b//b，则 a， b所成的锐角(或直角)，叫做异 a 面直线a、b所成的角.
（2）补形法：把空间图形补成 熟悉的或完整的几何体，如正方 体、平行六面体等，其目的在于 易于发现两条异面直线的关系。
(3)、空间向量法
1、建立空间直角坐标系，设出有 关点的坐标
2、也可以不建立空间直角坐标系
两种方法都是运用两向量夹角公式：
cos 〈a,b〉 =
a b ab
注意点：
• 1、异面直线所成角的范围是（0º ，90º ]， 在把异面直线所成的角平移转化为平面三 角形中的角，常用余弦定理求其大小，当 余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不 符合两条异面直线所成角的定义，故其补 角为所求的角，这一点要注意。 • 2、当异面直线垂直时，应用线面垂直的定 义或三垂线定理（或逆定理）判定所成的 角为90º ，也是不可忽视的办法。
(2)：固定AB ，移动 CD ，
D
A
B
C
(3)：同时移动 AB ，CD ，
D E F A N C
M
B
思路二：补形
N D D E M
A
B A C
P
B C
思路三：向量方法
Z D D(0,0, a)
1、建立空间直角坐标系
解:设AD长为a,
B(0, 3a ,0)
A
X
A(0,0,0)
C
B
Y
A(0,0,0), C (
| AB || CD | 10
所以AB与CD所成的角的余弦值为
注意:不能写成
30 10
30 10
2、直接用向量运算 D
解:设AD长为1, AD a
a
A
AB b
b c
C
B
AC c
| AB | 3
10 CD 2
3 a b 0, b c 2
CD AD AC
ac
例3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.
求异面直线AB1与BD1所成角；
D1 C1
B1
A1
线线角 注意90º 的特殊 情形
C
D A B
变题:已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a. O为底面中心，F为DD1中点E在A1B1上,求AF与OE 所成的角
D1 C1
E
A1
B1
F
P
M A E B
N
C
本课小结:
余弦定理 直角三角形
空间角
平面角
线线角
主要抓 平移或 用向量
有关角的计算
一作，二证，三计算
3 3 a, a,0) 2 2
C(
3 3 a, a, a ) 2 2
B(0, 3a,0), D(0,0, a)
AB (0, 3a,0)
3 3 CD ( a, a, a) 2 2
| AB |
3a
| CD |
10 2
3 2 CD AB a 2
则 COS AB CD 30
D1 A1 B1 C1
A1B和B1C所 成的角为60° 和A1B成角为 60°的面对角 线共有 8 条。
D A B
C
A
E M D F C
B
例2、在三棱锥ABCD中AD=BC=2a，E， F分别是AB，CD的中 点EF= ，求 AD和 3a BC所成的角
∠EMF=120º
AD和BC所成的角为60º 切记:别忘了角的范围!!
3 CD AB (a c) b a b c b 2
AB CD 30 COS 10 | AB || CD |
所以AB与CD所成的角的余弦值为
30 10
归纳小结:
（1）平移法：即根据定义，以“运
动”的观点，用“平移转化”的方法， 使之成为相交直线所成的角。
具体地讲是选择“特殊点”作异面直线 的平行线，构作含异面直线所成(或其补角) 的角的三角形，再求之。
D
C
N A O B
例4、如图，在三棱锥D－ABC中， DA⊥平面ABC，∠ACB = 90°， ∠ABD = 30°，AC = BC，求异面 直线AB 与CD所成的角的余弦值。
D
A
B
思路一：平移
（1）固定CD，移动AB ，
AB向前移动
D
A
B
F
E
C
AB向上移动
D
M
A
B
C AB还有其他方向可以移动
巩固练习:
1、在正方体AC1中，M,N分别是 A1A和B1B的中点，求异面直线CM 和D1N所成的角？
D1 A1 M B1 N
C1
D
A B
C
2、若M为A1B1的中点，N为BB1的中点， 求异面直线AM与CN所成的角；
D1 C1
M
A1
B1
N
D A E F B
C
3、空间四边形PABC中，M，N分 别是PB，AC的中点， PA=BC=4，MN=3， 求PA与BC所成的角？
b
a
b
O
(2)范围：
π 0， 2
求异面直线所成的角主要思路:
b
线线角抓平移
a' P
a
预备知识
a=2RsinA
角的知识
A
正弦定理a=2RsinA
S
1 ABC = bc sinA 2
b
c C a B
余弦定理
b c a cosA= 2bc
2 2 2
A c
B a b C
例1、在正方体AC1中，求异面直 线A1B和B1C所成的角