汤阴县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

汤阴县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列命题中正确的是（ ）
A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题
B ．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x ≠0”
C ．“
”是“
”的充分不必要条件
D ．命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“
”
2． 函数f （x ）=﹣lnx 的零点个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3． 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.15
4． 已知两点M （1，），N （﹣4，﹣），给出下列曲线方程： ①4x+2y ﹣1=0；
②x 2+y 2
=3；
③+y 2=1；
④
﹣y 2
=1．
在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④
5． 已知函数()21
11
x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
6． 若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则f （
）=（ ）
A ．2或0
B ．0
C ．﹣2或0
D ．﹣2或2
7．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即()2
a>），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总X N a（0
~100,
人数的1
，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（）
10
（A）400 （B ）500 （C）600 （D）800
8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（）
A．0°B．45°C．60°D．90°
9．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么（）
A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点
B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点
C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点
D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点
10．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为
A[]
B[]
C[]
D[
]
12．设定义在R 上的函数f （x ）对任意实数x ，y ，满足f （x ）+f （y ）=f （x+y ），且f （3）=4，则f （0）+f （﹣3）的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣4 C ．0
D ．4
二、填空题
13．设,y x 满足约束条件2110y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则3z x y =+的最大值是____________．
14．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且2
6121a a a =∙，则数列12n n S -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
项中 的最大值为_________. 15
．
= ．
16．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ． 17．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x 3+3x ﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称； ②对∀x ，y ∈R ．若x+y ≠0，则x ≠1或y ≠﹣1； ③若实数x ，y 满足x 2+y 2=1
，则
的最大值为
；
④若△ABC 为锐角三角形，则sinA ＜cosB ．
⑤在△ABC 中，BC=5，G ，O 分别为△ABC
的重心和外心，且
•
=5，则△ABC 的形状是直角三角形．
18．设不等式组表示的平面区域为M ，若直线l ：y=k （x+2）上存在区域M 内的点，则k 的取值范
围是 ．
三、解答题
19．设函数f （x ）
=lnx+，k ∈R ．
（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线x ﹣2=0垂直，求k 值； （Ⅱ）若对任意x 1＞x 2＞0，f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2恒成立，求k 的取值范围；
（Ⅲ）已知函数f（x）在x=e处取得极小值，不等式f（x）＜的解集为P，若M={x|e≤x≤3}，且M∩P≠∅，求实数m的取值范围．
20．已知函数f（x）=．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（）=﹣f（x）．
21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AB=2，
（1）证明：BC1∥平面A1CD；
（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；
（3）求三棱锥A1﹣DEC的体积．
22．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中a＜c，f（A）=，且a=，b=，求△ABC
的面积．
23．已知曲线C的极坐标方程为4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系；
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．
24．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．
汤阴县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】 D
【解析】解：若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为假命题，故A 不正确； 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy ≠0，则x ≠0”，故B 不正确；
“”⇒“+2k π，或，k ∈Z ”，
“”⇒“
”，
故“
”是“
”的必要不充分条件，故C 不正确；
命题“∀x ∈R ，2x
＞0”的否定是“”，故D 正确．
故选D ．
【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
2． 【答案】B
【解析】解：函数f （x ）=﹣lnx 的零点个数等价于
函数y=与函数y=lnx 图象交点的个数， 在同一坐标系中，作出它们的图象：
由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1 故选B
3． 【答案】B
【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，
∴所求概率为
．
故选B ．
4． 【答案】 D
【解析】解：要使这些曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|，需曲线与MN 的垂直平分线相交．
MN 的中点坐标为（﹣，0），MN 斜率为=
∴MN 的垂直平分线为y=﹣2（x+），
∵①4x+2y ﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．
②x 2+y 2=3与y=﹣2（x+），联立，消去y 得5x 2
﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN 的
垂直平分线有交点，
③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y 得9x 2
﹣24x ﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN 的垂直平分线
有交点，
④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y 得7x 2
﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN 的垂直平分线有
交点， 故选D
5． 【答案】A 【解析】
试题分析：由已知得()2112x f x x x -==-，则()21
'f x x
=，所以()'11f =． 考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 6． 【答案】D
【解析】解：由题意：函数f （x ）=2sin （ωx+φ），
∵f （
+x ）=f （﹣x ），
可知函数的对称轴为x=
=
，
根据三角函数的性质可知，
当x=
时，函数取得最大值或者最小值．
∴f（）=2或﹣2 故选D．
7．【答案】A 【解析】
P（X≤90）＝P（X≥110）＝1
10
，P（90≤X≤110）＝1－1
5
＝4
5
，P（100≤X≤110）＝2
5
，1000×2
5
＝400. 故选A.
8．【答案】C
【解析】解：连结A1D、BD、A1B，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，
∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，
∵A1D=A1B=BD，
∴∠DA1B=60°．
∴CD1与EF所成角为60°．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9．【答案】B
【解析】解：∵F（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），
∴F'（x）=f'（x）﹣f′（x0）
∴F'（x0）=0，
又由a＜x0＜b，得出
当a＜x＜x0时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＜0，
当x0＜x＜b时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＞0，
∴x=x0是F（x）的极小值点
故选B．
【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于0，反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值．
10．【答案】A
【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
11．【答案】B
【解析】当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；
当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。

∴当x＞0时，。

∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：。

故实数a的取值范围是。

12．【答案】B
【解析】解：因为f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=y=0，
则f（0）+f（0）=f（0+0）=f（0），
所以，f（0）=0；
再令y=﹣x，
则f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，
所以，f （﹣x ）=﹣f （x ）， 所以，函数f （x ）为奇函数． 又f （3）=4，
所以，f （﹣3）=﹣f （3）=﹣4， 所以，f （0）+f （﹣3）=﹣4． 故选：B ．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法的运用，判定函数f （x ）为奇函数是关键，考查推理与运算求解能力，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】73
【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点12,
33A ⎛⎫
⎪⎝⎭
处取得最大值为73.
考点：线性规划． 14．【答案】 【解析】
考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及
1,,,,
n n
a a d n S五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用,而
1
,a d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 15．【答案】2．
【解析】解：=2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
16．【答案】﹣2．
【解析】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，
得，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
17．【答案】：①②③
【解析】解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；
对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；
对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线
的斜率，其最大值为，③正确；
对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，
即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，
则cosB＜cos（﹣A），
即cosB＜sinA，故④不正确．
对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，
∵=|，
由
则，
即
则
又BC=5
则有
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C为钝角．
则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．
故答案为：①②③
18．【答案】．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，
直线y=k（x+2）过定点D（﹣2，0），
由图象可知当直线l经过点A时，直线斜率最大，当经过点B时，直线斜率最小，
由，解得，即A（1，3），此时k==，
由，解得，即B（1，1），此时k==，
故k的取值范围是，
故答案为：
【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的公式的计算，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由条件得f′（x）=﹣（x＞0），
∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，
∴此切线的斜率为0，
即f′（e）=0，有﹣=0，得k=e；
（Ⅱ）条件等价于对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2恒成立…（*）
设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减．
由h′（x）=﹣﹣1≤00在（0，+∞）上恒成立，得k≥﹣x2+x=（﹣x﹣）2+（x＞0）恒成立，
∴k≥（对k=，h′（x）=0仅在x=时成立），
故k的取值范围是[，+∞）；
（Ⅲ）由题可得k=e，
因为M∩P≠∅，所以f（x）＜在[e，3]上有解，
即∃x∈[e，3]，使f（x）＜成立，
即∃x∈[e，3]，使m＞xlnx+e成立，所以m＞（xlnx+e）min，
令g（x）=xlnx+e，g′（x）=1+lnx＞0，所以g（x）在[e，3]上单调递增，
g（x）min=g（e）=2e，
所以m＞2e．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查函数的单调性的运用，考查不等式存在性和恒成立问题的解决方法，考查运算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵1+x2≥1恒成立，∴f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）；
（2）∵f（﹣x）===f（x），
∴f（x）为偶函数；
（3）∵f（x）=．
∴f（）===﹣=﹣f（x）．
即f（）=﹣f（x）成立．
【点评】本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性的判断，比较基础．
21．【答案】
【解析】（1）证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，
由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，
∴DF∥BC1，
∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD；…
（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．
DF=BC1==1，A1D==，A1F=A1C=1．
在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，
∵∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=，
∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；…
（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，
∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==1．
∴=﹣S△BDE﹣﹣=
∴三棱锥C﹣A1DE的体积V=…
【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线BC1和A1D所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵由图象可知，T=4（﹣）=π，
∴ω==2，
又x=时，2×+φ=+2kπ，得φ=2kπ﹣，（k∈Z）
又∵|φ|＜，
∴φ=﹣，
∴f（x）=sin（2x﹣）…6分
（Ⅱ）由f（A）=，可得sin（2A﹣）=，
∵a＜c，
∴A为锐角，
∴2A﹣∈（﹣，），
∴2A﹣=，得A=，
由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：7=3+c2﹣2，即：c2﹣3c﹣4=0，
∵c＞0，∴解得c=4．
∴△ABC的面积S=bcsinA==…12分
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识的应用，属于基本知识的考查．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36得4x2+9y2=36，
化为；
（Ⅱ）设P（3cosθ，2sinθ），
则3x+4y=，
∵θ∈R，∴当sin（θ+φ）=1时，3x+4y的最大值为．
【点评】本题考查了椭圆的极坐标方程、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由，得，
即﹣1＜x＜1，即定义域为（﹣1，1），
则f（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣[log a（1+x）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），
则f（x）为奇函数．
（Ⅱ）当0＜a＜1时，由f（x）＞0，
即log a（1+x）﹣log a（1﹣x）＞0，
即log a（1+x）＞log a（1﹣x），
则1+x＜1﹣x，
解得﹣1＜x＜0，
则不等式解集为：（﹣1，0）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本题的关键．。