2021版53A浙江版数学教师用书4.3三角恒等变换试题部分

4.3三角恒等变换探考情悟真题【考情探究】
考点内容解读
5年考情
预测热度考题示例考向关联考点
两角和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角
差的余弦公式.
2.能利用两角差的余弦公式导出
两角差的正弦、正切公式.
3.能利用两角差的余弦公式导出
两角和的正弦、余弦、正切公
式,会用二倍角的正弦、余弦、
正切公式,了解它们的内在联系.
2018浙江,18,14分
两角差的
余弦公式
任意角的三角函数
的定义、诱导公式
★★☆
2016浙江,16,14分二倍角公式解三角形
2015浙江,16,14分二倍角公式正弦定理
简单的三角恒等变换能利用两角和与差的三角函数
公式以及二倍角公式进行简单
的三角恒等变换.
2017浙江,18,14分二倍角公式三角函数的性质
★★★
2016浙江,10,6分三角恒等变换
分析解读 1.对本节内容的考查仍以容易题和中等难度题为主.
2.主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及运用上述公式进行简单的恒等变换(例:2016浙江,10).
3.对三角恒等变换的考查往往与解三角形、向量知识综合在一起.
4.预计2021年高考试题中,三角恒等变换仍是考查的重点,复习时应高度重视.
破考点练考向
【考点集训】
考点一两角和与差的三角函数
1.(2019浙江台州中学一模,2)计算:sin5°cos55°-cos175°sin55°的结果是()
A.-1
2B.1
2
C.-√3
2
D.√3
2
答案D
2.(2018浙江杭州二中期中,15)若α满足sin(α+20°)=cos(α+10°)+cos(α-10°),则tanα=. 答案√3
考点二简单的三角恒等变换
1.(2019课标全国Ⅱ理,10,5分)已知α∈(0,π
2
),2sin2α=cos2α+1,则sinα=()
A.1
5B.√5
5
C.√3
3
D.2√5
5
答案B
2.(2019浙江镇海中学期中,7)已知sin(π
6-α)=-√2
3
,则cos2α+√3sin2α=()
A.10
9B.-10
9
C.-5
9
D.5
9
答案 A
3.(2020届山东夏季高考模拟,14)已知cos (α+π6)-sin α=4√3
5
,则sin (α+
11π
6
)= .
答案 -45
4.(2020届浙江镇海中学期中,18)已知f(x)=sin x 2
·(cos x 2
+sin x 2
)+a 的最大值为√2
2
.
(1)求实数a 的值; (2)若f (α
+π4)+f (α-π4)=√2
3,求√2sin (2α-π
4)+11+tanα
的值. 解析 本题考查三角恒等变换以及三角函数式的求值;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.
(1)f(x)=sin x
2cos x 2+sin 2x 2+a=12(2sin x 2cos x 2)+12(1-cos x)+a=12sin x-12cos x+a+12=√22sin (x -π4)+a+12,当x=2kπ+3π4(k ∈Z)时,sin (x -π4
)=1, f(x)取得最大值为√2
2
+a+12,结合条件,可知a=-12
.
(2)√2sin (2α-π
4)+11+tanα=sin2α-cos2α+11+sinαcosα
=
2sinαcosα+sin 2α-cos 2α+sin 2α+cos 2α
cosα+sinαcosα=2sin αcos α①,
由(1)知f(x)=√2
2
sin (x -π4
),
则f (α+π4
)=√2
2
sin α, f (α-π4
)=-√2
2
cos α,
结合条件,可知sin α-cos α=2
3
, 又因为sin 2α+cos 2α=1, 所以
2sin αcos α=5
9②,由①②得√2sin (2α-π
4)+11+tanα=59
.
炼技法 提能力 【方法集训】
方法1 三角函数式的化简方法
1.已知
tan α=2 018tan π
2 018,则sin (α+2 017π
2 018)sin (α+π2 018)
=( )
A.-1
B.1
C.-2 017
2 019
D.
2 017
2 019
答案 C 2.化简
(1+sinθ+cosθ)·(sin θ
2-cos θ
2)
√2+2cosθ
(0<θ<π)= .
答案 -cos θ
3.(2020届浙江绍兴一中期中,18)已知函数f(x)=cos x(msin x+cos x),且满足f (π4
)=1.
(1)求m 的值;
(2)若x ∈[0,π4
],求f(x)的最大值和最小值,并求出相应的x 的值.
解析 本题考查三角恒等变换以及三角函数式的化简、三角函数最值的求法;考查数学运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.
(1)f (π4
)=cos π4
(msin π4
+cos π4
)=
√22
(
√2
2m +
√2
2
)=1⇒m=1.
(2)f(x)=cos x(sin x+cos x)=12
sin 2x+12
cos 2x+12=√22
sin (2x +π4
)+12
,因为x ∈[0,π4
], 所以2x+π4
∈[π4,
3π
4
], 因此当2x+π4=π4或2x+π4=3π4
时, f(x)min =1,此时x=0或x=π4
. 当2x+π4=π2
时, f(x)max =
√2+1
2
,此时x=π8
.
方法2 三角函数式的求值方法
1.(2019浙江台州中学一模,15)已知α,β为锐角,tan α=43
,cos(α+β)=-√5
5
,则cos 2α= ,tan(α-β)= .
答案 -725;-2
11
2.(2019安徽江南十校联考改编,14)已知sinα·cosα1+3cos 2α=1
4
,且
tan(α+β)=13
,其中β∈(0,π),则β的值为 .
答案
3π4
3.(2020届浙江慈溪期中,16)已知α∈(0,π
2
)且
tan 2α=4
3,则tan (α+π
4)tan (α-π4)
的值等于 .
答案 -9
方法3 利用辅助角公式解决问题的方法
1.(2019浙江诸暨期末,18)已知函数f(x)=-2√3sin 2x+2sin xcos x. (1)求函数f(x)在区间[0,π2
]上的值域; (2)设α∈(0,π),f (α
2)=1
2-√3,求cos α的值.
解析 (1)f(x)=-2√3·
1-cos2x
2+sin 2x =sin 2x+√3cos 2x-√3 =2sin (2x +π3
)-√3, ∵x ∈[0,π2],∴2x+π3∈[π3,4π
3
], ∴sin (2x +π3
)∈[-√3
2
,1],
∴f(x)∈[-2√3,2-√3].
(2)∵f(α
2)=2sin(α+π
3
)-√3=1
2
-√3,
∴sin(α+π
3)=1
4
.
又∵α∈(0,π),∴α+π
3∈(π
3
,4π
3
),
∴α+π
3必在第二象限,∴cos(α+π
3
)=-√15
4
,
∴cosα=cos[(α+π
3)-π
3
]
=cos(α+π
3)cosπ
3
+sin(α+π
3
)sinπ
3
=-√15
4×1
2
+1
4
×√3
2
=√3-√15
8
.
2.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,18)已知f(x)=2√3cos2x+sin2x-√3+1(x∈R).
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)当x∈[-π
4,π
4
]时,求f(x)的值域.
解析由题可知f(x)=sin2x+√3(2cos2x-1)+1=sin2x+√3cos2x+1=2sin(2x+π
3
)+1.
(1)令2kπ-π
2≤2x+π
3
≤2kπ+π
2
,k∈Z,
即2kπ-5π
6≤2x≤2kπ+π
6
,k∈Z,
∴kπ-5π
12≤x≤kπ+π
12
,k∈Z,
∴函数f(x)的单调增区间为[kπ-5π
12,kπ+π
12
](k∈Z).
(2)∵x∈[-π
4,π
4
],∴2x+π
3
∈[-π
6
,5π
6
],
∴sin(2x+π
3)∈[-1
2
,1],∴f(x)∈[0,3].
3.(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地联考,18)已知平面向量a=(√3
2
sinx,cosx),b=(cos x,0),函数f(x)=|2a+b|(x∈R).
(1)求函数f(x)图象的对称轴;
(2)当x∈(0,π
2
)时,求f(x)的值域.
解析本题考查平面向量的模的求法、三角恒等变换、辅助角公式的应用;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.
(1)2a+b=(√3sin x+cos x,2cos x),
f(x)=|2a+b|=√(√3sinx+cosx)2+(2cosx)2=√2sin(2x+π
6
)+4(x∈R).
由2x+π
6=kπ+π
2
,k∈Z,得x=kπ
2
+π
6
,k∈Z,故函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ
2
+π
6
,k∈Z.
(2)因为x∈(0,π
2),所以2x+π
6
∈(π
6
,7π
6
),
所以sin (2x +π6
)∈(-12
,1],
可得f(x)∈(√3,√6],即f(x)的值域为(√3,√6].
【五年高考】
A 组 自主命题·浙江卷题组
(2016浙江,10,6分)已知2cos 2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= . 答案 √2;1
B 组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 两角和与差的三角函数
1.(2018课标全国Ⅲ理,4,5分)若sin α=1
3
,则cos 2α=( ) A.89 B.79 C.-79 D.-89
答案 B
2.(2016课标全国Ⅱ,9,5分)若cos (π4-α)=35
,则sin 2α=( ) A.725 B.15 C.-15 D.-725
答案 D
3.(2019江苏,13,5分)已知
tanαtan (α+π4)=-2
3
,则sin (2α+π4
)的值是 .
答案
√2
10
4.(2017课标全国Ⅰ文,15,5分)已知α∈(0,π2
),tan α=2,则cos (α-π4
)= . 答案
3√10
10
考点二 简单的三角恒等变换
1.(2017课标全国Ⅲ文,4,5分)已知sin α-cos α=43
,则sin 2α=( ) A.-79 B.-29
C.29
D.79
答案 A
2.(2016四川,11,5分)cos 2π8-sin 2π8
= . 答案
√2
2
C 组 教师专用题组
考点一两角和与差的三角函数
1.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()
A.-√3
2B.√3
2
C.-1
2D.1
2
答案D
2.(2015重庆,9,5分)若tanα=2tanπ
5,则
cos(α-3π10)
sin(α-π5)
=()
A.1
B.2
C.3
D.4答案C
3.(2017江苏,5,5分)若tan(α-π
4)=1
6
,则tanα=.
答案7
5
4.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=1
7
,则tanβ的值为. 答案3
考点二简单的三角恒等变换
1.(2017山东文,4,5分)已知cos x=3
4
,则cos2x=()
A.-1
4B.1
4
C.-1
8D.1
8
答案D
2.(2015四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.
答案√6
2
3.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),a∥b,
所以-√3cos x=3sin x.
若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.
于是tan x=-√3
3
.
又x∈[0,π],所以x=5π
6
.
(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-√3)=3cos x-√3sin x=2√3cos(x+π
6
).
因为x∈[0,π],所以x+π
6∈[π
6
,7π
6
],
从而-1≤cos(x+π
6)≤√3
2
.
于是,当x+π
6=π
6
,即x=0时,f(x)取到最大值3;
当x+π
6=π,即x=5π
6
时,f(x)取到最小值-2√3.
【三年模拟】
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2020届浙江杭州二中开学考,3)已知cos(π
6-α)=2
3
,则cos(5π
3
+2α)的值为()
A.5
9B.1
9
C.-1
9D.-5
9
答案C
2.(2018浙江绍兴一中新高考调研卷五,5)已知△ABC,有关系式tan C(sin2B-sin A)=cos2B+cos A成立,则△ABC为()
A.等腰三角形
B.∠A=60°的三角形
C.等腰三角形或∠A=60°的三角形
D.等腰直角三角形
答案C
3.(2020届浙江五校十月联考,9)在△ABC中,已知sinA
sinB +cos C=0,tan A=√2
4
,则tan B=()
A.√2
B.2√2
C.√2
3D.√2
2
答案D
二、填空题(每空3分,共12分)
4.(2020届浙江名校协作体开学联考,12)设函数f(x)=cos2x-sin x,则f(5π
6
)=,若f(x)≥0,则实数x的取值范围是.
答案0;[2kπ-7π
6,2kπ+π
6
](k∈Z)
5.(2020届浙江之江教育联盟联考,14)已知函数f(x)=sin2x-sin2(x-π
6
),x∈R,则f(x)的最小正周期为,单调递增区间为.
答案π;[-π
6+kπ,π
3
+kπ](k∈Z)
三、解答题(共90分)
6.(2020届浙江金丽衢十二校联考,18)设函数f(x)=sin x+cos x,x∈R.
(1)求f(x)·f(π-x)的最小正周期;
(2)求函数g(x)=sin3x+cos3x的最大值.
解析本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.
(1)f(x)·f(π-x)=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=-cos2x.
所以最小正周期T=2π
2
=π.
(2)g(x)=sin3x+cos3x=(sin x+cos x)(1-sin xcos x),
令sin x+cos x=t,则t∈[-√2,√2],所以sin x·cos x=t2-1
2
,
所以g(t)=t(1-t2-1
2)=t·3-t2
2
=3t-t
3
2
,g'(t)=3-3t
2
2
,
即g(t)在[-√2,-1]上单调递减,在[-1,1]上单调递增,在[1,√2]上单调递减,所以g(t)max=g(1)=1.
7.(2019浙江三校联考,18)已知函数f(x)=6cos2ωx
2
+√3sinωx-3(ω>0)的图象上相邻两对称轴之间的距离为4.
(1)求ω的值及f(x)的单调增区间;
(2)若f(x0)=6√3
5,且x0∈(2
3
,14
3
),求f(x0+1)的值.
解析(1)f(x)=3cosωx+√3sinωx=2√3sin(ωx+π
3
).
由题意得T=8,所以ω=2π
8=π4 ,
所以f(x)=2√3sin(πx
4+π
3
).
令-π
2+2kπ≤πx
4
+π
3
≤π
2
+2kπ,k∈Z,
解得-10
3+8k≤x≤2
3
+8k,k∈Z.
所以f(x)的单调增区间为[-10
3+8k,2
3
+8k],k∈Z.
(2)由(1)知f(x0)=2√3sin(πx0
4+π
3
)=6√3
5
,
即sin(πx0
4+π
3
)=3
5
,
因为x0∈(2
3,14 3
),
所以πx0
4+π
3
∈(π
2
,3π
2
),
所以cos(πx0
4+π
3
)=-4
5
.
所以f(x0+1)=2√3sin(πx0
4+π
4
+π
3
)
=2√3[sin(πx0
4+π
3
)cosπ
4
+cos(πx0
4
+π
3
)sinπ
4
]
=2√3×(3
5×√2
2
-4
5
×√2
2
)=-√6
5
.
8.(2019浙江杭州高级中学期中,18)已知函数f(x)=cos2x+√3cos xcos(x+π
2
).
(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值;
(2)若f(x0)=-1
10,x0∈(π
12
,π
3
),求cos2x0的值.
解析(1)f(x)=-sin(2x-π
6)+1
2
.易知当sin(2x-π
6
)=-1时,f(x)取得最大值,此时2x-π
6
=-π
2
+2kπ,k∈Z,故x=-π
6
+kπ,k∈Z,所以当x=-π
6
+kπ,k∈Z
时,f(x)max=3
2
.
(2)因为f(x0)=-sin(2x0-π
6)+1
2
=-1
10
,
所以sin(2x0-π
6)=3
5
.
因为x0∈(π
12,π3 ),
所以2x0-π
6∈(0,π
2
),
故cos(2x0-π
6)=4
5
.
所以cos2x0=cos[(2x0-π
6)+π
6
]=cos(2x0-π
6
)cosπ
6
-sin(2x0-π
6
)sinπ
6
=4√3-3
10
.
9.(2019浙江高考数学仿真卷(二),18)已知函数f(x)=-√3sin2x-2cos2x+1.
(1)求函数f(x)的振幅和单调递增区间;
(2)在△ABC中,C为锐角,满足sin2C+2sin2A=1,若f(C)=1
2
,求cos2A的值.解析(1)f(x)=-√3sin2x-cos2x
=-2sin(2x+π
6
),
∴f(x)的振幅为2.
令π
2+2kπ≤2x+π
6
≤3π
2
+2kπ(k∈Z),
则π
6+kπ≤x≤2π
3
+kπ(k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为[π
6+kπ,2π
3
+kπ](k∈Z).
(2)∵sin2C+2sin2A=1,
∴sin2C=1-2sin2A=cos2A=sin(π
2
+2A),
∴2C=π
2+2A或2C+2A+π
2
=π,所以C-A=π
4
或C+A=π
4
.
∵C为锐角,∴2C+π
6∈(π
6
,7π
6
),∵f(C)=1
2
,
∴-2sin(2C+π
6)=1
2
,
∴sin(2C+π
6)=-1
4
,
∴2C+π
6∈(π,7π
6
),
∴C∈(5π
12,π2 ),
∴C-A=π
4,此时cos(2C+π
6
)=-√15
4
,
∴cos 2A=cos [2(C -π4)]=cos (2C -π2
)=sin 2C =sin [(2C +π6)-π6]=sin (2C +π6)cos π6-cos (2C +π6)sin π6
=-14×√32
-(-√15
4
)×12=
√15-√3
8
.
10.(2019浙江高考信息优化卷(一),18)已知函数f(x)=2√3sin ωxsin (ωx +π
2
)-2sin 2ωx+1(ω>0),且f(x)的最小正周期为π. (1)求ω的值以及f(x)在区间[0,π3
]上的值域; (2)若f(α)=
2√5
5
,且α∈[π6,π2
],求cos 2α的值.
解析 (1)f(x)=2√3sin ωxcos ωx+cos 2ωx=√3sin 2ωx+cos 2ωx=2sin (2ωx +π6
),∵T=2π
2ω
=π,∴ω=1, ∴f(x)=2sin (2x +π6
), ∵x ∈[0,π3
],∴2x+π6
∈[π6,5π
6], ∴sin (2x +π6
)∈[12
,1], ∴f(x)∈[1,2].
(2)易知f(α)=2sin (2α+π6
)=2√5
5
⇒sin (2α+π6
)=√5
5
,
∵α∈[π6,π
2
],∴2α+π6
∈[π2,7π
6
], ∴cos (2α+π6
)=-2√5
5
, ∴cos 2α=cos [(2α+π6
)-π6
]=cos (2α+π6
)cos π6
+sin (2α+π6
)sin π6=
√5-2√15
10
.
11.(2020届浙江Z20联盟开学联考,18)已知函数f(x)=cos 2x+√3sin xcos x. (1)求f (π3
)的值;
(2)若f (α
2
)=1310
,α∈(0,π3
),求cos α的值.
解析 本题考查简单的三角恒等变换;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养. (1)因为f(x)=cos 2x+√3sin xcos x=1+cos2x 2+√32sin 2x=1
2
+sin (2x +π6
),
所以f (π3
)=12
+sin (
2π3+π6)=12+sin 5π6=12+1
2
=1. (2)由f (α2
)=1310,α∈(0,π
3
),得sin (α+π6
)=45
,cos (α+π6
)=35
, 所以cos α=cos (α+π6-π6
)=cos (α+π6
)cos π6
+sin (α+π6
)·sin π6=3√3+4
10
.。