高中数学 第一章 坐标系 三 2 直线的极坐标方程教学案

2．直线的极坐标方程
[对应学生用书P8]
1．直线的极坐标方程
(1)若直线经过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
(2)当直线l 过极点，即ρ0＝0时，l 的方程为θ＝α.
(3)当直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴时，l 的方程为ρcos_θ＝a . (4)当直线l 过点M (b ，π
2)且平行于极轴时，l 的方程为：ρsin_θ＝b .
2．图形的对称性
(1)若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称．
(2)若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π
2所在直线对称．
(3)若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点对称．
[对应学生用书P8]
[例1] 求从极点出发，倾斜角是π
4的射线的极坐标方程．
[思路点拨] 将射线用集合表示出来，进而用坐标表示．
[解] 设M (ρ，θ)为射线上任意一点(如图)，则射线就是集合
P ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫M ⎪⎪⎪
∠xOM ＝
π4
将已知条件用坐标表示，得
θ＝π
4
(ρ≥0)． ①
这就是所求的射线的极坐标方程．方程中不含ρ，说明射线上点的极坐标中的ρ，无论取任何正值，θ的对应值都是π
4
.
求直线的极坐标方程，首先应明确过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α的直线极坐标方程的求法．另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程．
1．求过A ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4且垂直于极轴的直线的方程．
解：如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)，∵A ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4，
∴|OH |＝2sin π
4＝ 2.
在Rt △OMH 中， |OH |＝|OM |cos θ，
∴2＝ρcos θ，即ρcos θ＝2，
∴过A ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4且垂直于极轴的直线方程为ρcos θ＝ 2.
2．设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，求直线l 的极坐
标方程．
解：设P (ρ，θ)为直线上任意一点(如图)． 则∠α＝π3－π6＝π
6，
∠β＝π－⎝
⎛⎭
⎪⎫π3－θ＝2π3
＋θ，
在△OPA 中，有ρ
sin
π6
＝
2
2π
3
＋
θ，
即ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－θ＝1.
[例2] 在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1，求点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线l
的距离．
[思路点拨] 将极坐标问题转化为直角坐标问题． [解] 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6的直角坐标为(3，－1)．
直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1可化为 ρsin θ·cos π6－ρcos θ·sin π
6＝1，
即直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋2＝0. ∴点P (3，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离为
d ＝
|3＋3＋2|1＋－3
2
＝3＋1.
故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离为3＋1.
对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．
3．(广东高考)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2
θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线
C 1和C 2的交点的直角坐标为________．
解析：由ρsin 2
θ＝cos θ⇒ρ2
sin 2
θ＝ρcos θ⇒y 2
＝x ，又由ρsin θ＝1⇒y ＝1，
联立⎩⎪⎨
⎪
⎧
y 2
＝x ，y ＝1
⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝1.
故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
4．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4到这条直线的距离
是________．
解析：点A ⎝
⎛⎭⎪⎫2，7π4的直角坐标为(2，－2)．
直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22， 即ρsin θ·cos π4＋ρcos θ·sin π4＝2
2的直角坐标方程为
22x ＋22y ＝2
2
，即x ＋y ＝1. ∴点A (2，－2)到直线x ＋y －1＝0的距离为
d ＝
|2－2－1|
1＋1
＝
2
2
， 故点A (2，7π4)到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：2
2
[对应学生用书P9]
一、选择题
1．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1
D ．ρsin θ＝1
解析：设P (ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcos θ＝1，即为此直线的极坐标方程．
答案：C
2．7cos θ＋2sin θ＝0表示( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆
D ．双曲线
解析：两边同乘以ρ得：7ρcos θ＋2ρsin θ＝0. 即7x ＋2y ＝0，表示直线． 答案：A
3．极坐标方程cos θ＝2
2
(ρ≥0)表示的曲线是( ) A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线
解析：∵cos θ＝
22
， ∴θ＝±π
4＋2k π(k ∈Z )．
又∵ρ≥0， ∴cos θ＝2
2
表示两条射线． 答案：D
4．过点A (5,0)和直线θ＝
π
4
垂直的直线的极坐标方程是( ) A ．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝
522
B ．ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝
522
C ．ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋θ＝5 D ．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝
522
解析：因为直线θ＝π
4即直线y ＝x ，
所以过点A (5,0)和直线θ＝
π
4
垂直的直线方程为 y ＝－x ＋5，其极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4
＋θ＝
522
.
答案：A 二、填空题
5．把极坐标方程ρcos(θ－π
6)＝1化为直角坐标方程是___________________．
解析：将极坐标方程变为32ρcos θ＋12ρsin θ＝1，化为直角坐标方程为32x ＋12
y ＝1，即3x ＋y －2＝0.
答案：3x ＋y －2＝0
6．若直线ρsin(θ＋π4)＝2
2与直线3x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.
解析：直线极坐标方程化为22ρsin θ＋22ρcos θ＝2
2
，即为x ＋y －1＝0，由题意知3
k
＝－1，∴k ＝－3.
答案：－3
7．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.
解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝a 2
，C 1
与x 轴的交点坐标为(
22，0)，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22
. 答案：
2
2
三、解答题
8．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程． 解：由题意知，直线的直角坐标方程为y －3＝2(x ＋2)， 即：2x －y ＋7＝0.
设M (ρ，θ)为直线上任意一点，
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直角坐标方程 2x －y ＋7＝0得：2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0， 这就是所求的极坐标方程．
9．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ： ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ＜2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2
＝ρcos θ＋ρsin θ， 则圆O 的直角坐标方程为：x 2
＋y 2
－x －y ＝0，
直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.
(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，
将两方程联立得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
－x －y ＝0，
x －y ＋1＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝1.
即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫1，π2，即为所求．
10．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝3
1－2cos θ，过极点作直线与它交于A 、B 两点，
且|AB |＝6.
求直线AB 的极坐标方程．
解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1.
A (ρ1，θ1)，
B (ρ2，θ1＋π)，
ρ1＝3
1－2cos θ1，ρ2＝
3
1－θ1＋π
＝
3
1＋2cos θ1
.
|AB |＝|ρ1＋ρ2| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1， ∴
11－4cos 2
θ1＝±1，∴cos θ1＝0或cos θ1＝±2
2
故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2，θ＝π4或θ＝3π
4
.。