2020-2021学年北师大版高中数学必修一课后训练3.4对数及解析

最新（新课标）北师大版高中数学必修一
对数
基础巩固
1．下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( )．
A．100＝1与lg 1＝0
B．
1
3
1
27
3
-
=与
27
11
log
33
=-
C．log39＝2与
1
2
93
=
D．log55＝1与51＝5
2．已知ab＞0，下面四个等式中：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg a
b
＝lg a－lg b；③
2
1
lg lg
2
a a
b b
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
；④lg(ab)＝
1
log10
ab
.
其中正确命题的个数为( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )．A．a＞5或a＜2 B．2＜a＜5
C．2＜a＜3或3＜a＜5 D．3＜a＜4
4．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么
1
2
x-等于( )．
A．1
3
B C D
5．log56·log65的值为( )．
A．0 B．2 C．1 D．lg 5 6．(log58)(log925)(log43)＝( )．
A．3
2
B．2 C．3 D．
2
3
7．若lg a＋lg b＝0(其中a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x)＝b x的图像( )．A．关于直线y＝x对称B．关于x轴对称
C．关于y轴对称D．关于原点对称
8．化简(log43＋log83)(log32＋log92)＝__________.
9．若集合M＝{2，lg a}，则实数a的取值范围是________．
能力提升
10．若a＞0，
2
3
4
9
a ，则
2
3
log a＝________.
11．关于x的方程(lg x)2＋(lg 2＋lg 3)lg x＋lg 2·lg 3＝0的两根为x1，x2，那么lg(x1x2)＝________.
12．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝________.(用a，b表示)
13．已知lg a＋lg b＝2lg(a－2b)，求a
b
的值．
14．计算：
1324
lg 2493
-15．甲、乙两人解关于x 的方程log 2x ＋b ＋c ·log x 2＝0，甲写错了常数b 得两根
14，18
；乙写错了常数c 得两根
1
2
，64.求这个方程的真正根． 16．某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题．
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．
17．已知a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N ＋)，观察下列运算：
a 1·a 2＝log 23·log 34＝
lg 3lg 4
lg 2lg 3
⋅＝2， a 1·a 2·a 3·…·a 6＝log 23·log 34·log 45·…·log 78＝
lg3lg 4lg5lg8
lg 2lg3lg 4lg 7
⋅⋅⋅⋅L ＝3. 当a 1·a 2·…·a k ＝2 011时，k 的值是多少？
参考答案
1．C 点拨：在选项C 中，log 39＝2化成指数式为32
＝9，12
9=3化成对数式为log 93＝
1
2
. 2．B 点拨：由ab ＞0，得a ＞0，b ＞0或a ＜0，b ＜0.若a ＜0，b ＜0，则①②不成立；
若ab ＝1，则④不成立．
3．C 点拨：由对数的概念可知，要使对数log (a －2)(5－a)有意义，需满足20,21,50,a a a ->⎧⎪
-≠⎨⎪->⎩
∴
2＜a ＜3或3＜a ＜5.
4．C 点拨：由已知得log 3(log 2x)＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝8
，12
x
-
=
5．C 点拨：log 56·log 65＝
lg 6lg 5
1lg 5lg 6
⋅=. 6．A 点拨：原式＝
3222lg8lg 25lg 3lg 2lg 5lg 33lg 22lg 5lg 33
lg 5lg 9lg 4lg 5lg 3lg 2lg 52lg 32lg 22
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=. 7．C 点拨：∵lg a ＋lg b ＝lg(ab)＝0，∴ab ＝1.
∴函数f(x)＝a x 与g(x)＝b x
＝1x
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像关于y 轴对称．
8．54
点拨：原式＝2233231115
35log 3log 3log 2log 2log 3log 22326
24⎛⎫⎛⎫++=⋅=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭.
9．(0,100)∪(100，＋∞) 点拨：由集合中元素的互异性可知，lg a ≠2，即a ≠100，又
∵a ＞0，∴实数a 的取值范围是a ＞0且a ≠100.
10．3 点拨：指数式2
3
49a =(a ＞0)化为对数式为42log 93a =，即2
22log 33a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，∴
222log 33a
=，21
log 33
a =， ∴23
11
log 321log 3
3
a
a =
=
=. 11．1lg
6
点拨：设lg x ＝t ，则t 2＋(lg 2＋lg 3)t ＋lg 2·lg 3＝0，设t 1，t 2是t 2
＋(lg 2＋lg 3)t ＋lg 2·lg 3＝0的两根，则有t 1＋t 2＝－(lg 2＋lg 3)＝1lg
6，即lg x 1＋lg x 2＝1lg 6
， ∴lg(x 1x 2)＝1
lg
6
. 12．ab 点拨：log 27＝log 23·log 37＝ab.
13．解：∵lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b)，∴lg ab ＝lg(a －2b)2
.
∴ab ＝(a －2b)2
，a 2
＋4b 2
－5ab ＝0. 2
540a a b b ⎛⎫
-⋅+= ⎪⎝⎭
，
解之，得
=1a b 或=4a b .∵a ＞0，b ＞0，若=1a
b
，则a －2b ＜0， ∴
=1a b (舍去)．∴=4a b
. 14
．解：
1324
lg 2493
-
4
332lg(2)lg =+
lg 4lg =-+
lg
74
=⨯
12
=lg10 12
=
. 15．解：原方程可化为log 2x ＋b ＋c ·
21
log x
＝0， 即(log 2x)2
＋blog 2x ＋c ＝0.
因为甲写错了常数b 得两根
14，18
， 所以c ＝2
211
log log 48
⋅＝log 22－2·log 22－3 ＝(－2)×(－3)＝6.
因为乙写错了常数c 得两根
1
2
，64， 所以b ＝2
21log log 642⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
＝－(log 22－1
＋log 226
)
＝－(－1＋6)＝－5.
故原方程为(log 2x)2
－5log 2x ＋6＝0.解之，得log 2x ＝2或log 2x ＝3.所以x ＝4或x ＝8，
即方程的真正根为x 1＝4，x 2＝8.
16．解：(1)该城市人口总数y 与年份x 的函数关系式为
y ＝100×(1＋1.2%)x
.
(2)10年后该城市人口总数为
y ＝100×(1＋1.2%)10
＝100×1.01210
≈112.7(万人)．
(3)设x 年后该城市人口将达到120万人，
即100×(1＋1.2%)x
＝120(万人)，
∴1.012x
＝
120
100
. ∴x ＝ 1.012
120
log 100
＝log 1.0121.2 ≈15(年)．
17．解：a 1·a 2·…·a k ＝log 23·log 34·…·log (k ＋1)(k ＋2)
lg 3lg 4lg(2)
lg 2lg 3lg(1)k k +=
⋅⋅⋅+L lg(2)
lg 2
k +=
＝log 2(k ＋2)． 由log 2(k ＋2)＝2 011，得2
2 011
＝k ＋2，
∴k ＝22 011
－2.。