用抛物线的两条弦平行的充要条件解题

2021年第13期总第506期
数理化解题研究
因为“ +2y #所以+2周二4.解得k -；，此时，兀二2』二1.
所以？ +丄 + k （兀 + 2y ） -Z +丄+ £（兀 + 2y ） -Z
% y 兀 y 2 兀
+ 1 +2M4.
y
故当%-2,y -1时,Z +丄有最小值2.
% y 解法5
（利用柯西不等式），通过拆项重组或添项等
方法构造符合柯西不等式的形式及条件.
因为 %〉0. y >0,% +2y -4,
所以 4 [-2- + 丄]M 8 ,
V % y 丿
即 2 + 1 M2.%y 当且仅当
・ %,
% + 2y - 4,
即
｛%-2y ，即｛%-2时等号成立.
% + 2y - 4 ,
y - 1
21
故当%-2,y -1时，三+丄有最小值2.
% y
参考文献:
即 0%+t I "%+2y 心（22）2-8.
［1 ］李书恒.高考调研数学（文科）［M ］.石家庄：河北
少年儿童出版社,2020.
［2］于晓闻.追溯错因促进思考拓展思维［J ］.中学数
学教学参考,2020（28） ：62 -64.
［责任编辑:李璟］
用抛物线的两条弦平行的充要条件解题
甘志国
（北京丰台二中100071）
摘 要：笔者发现了抛物线的两条弦平行的一个简洁充要条件，此结论在解题中很方便（比如可大大减少
运算量）.
关键词：抛物线；弦；平行;充要条件
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333（2021） 13 -0003 -03
题1如图1所示，已知椭圆八%4 + y 2 -1,抛物线 M ：y 2 -4%的焦点是F ,动点G 在其准线上.过点G 的直线
与椭圆T 及抛物线M 分别交于四点P ,Q ,A ,B ,且G 是线 段PQ 的中点，过点F 的直线与抛物线M 交于两点C ,D , 且存在AC 〃劝的情形.若直线CD 丄%轴，则直线佔的
方程是 .
解析如图1所示,可设点G （-1丿）.由点G 在椭圆 T 内，得-；< t < ；, £2<
.还可得t H0.否则直线PQ
的方程是% - -1,它与抛物线M 相离,不满足题设.
所以0<t 2< 3.
4
用点差法可证得“椭圆内任意一点（中心除外）是该
收稿日期：2021 -02 -05
作者简介:甘志国（1971 -），男，湖北省竹溪人，研究生，中学正高级教师，特级教师，从事高中数学教学研究. 基金项目：北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”（项目编号：FT2017GD003）.
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数理化解题研究2021年第13期总第506期
图1
椭圆唯一一一条弦的中点”，所以当0<t2<4时，满足点
G(-1,t)是椭圆T的某条弦PQ的中点.
再由点G是椭圆T的弦PQ的中点及点差法,可证得k OG仏二-+，即-叽二-+，仏，因而直线W的
方程是y-t二1(%+1)，即4%-16ty+1612+4-0.
4%-16ty+1612+4-022联立｛可得y2-16ty+161+4 2-4%,
-0,解得y-81±2丿1212-1V12<t2<])
进而可得两点“A(2812-1+811212-1,81+ 21212-1),B(2812-1-811212-1,81-21212-1)”或“A(2812-1-811212-1,81-21212-1),B(2812-1+811212-1,81+21212-1)”
还可求得两点“C(1,2),D(1,-2)”或“C(1,-2), D(1,2)”.
因而,共有下面的四种情形：
(1)由A(28t2-1+8t12t2-1,8t+212t2-1), B(28t2-1-8t12t2-1,8t-212t2-1)[；<t2<]) C(1,2),D(1,-2)，可得A^〃b D o・.・o(2t2+1)1212-1 +(1212-1)+2t2-0(0<12t2-1<8)o t丘0,此时不满足题设.
(2)由A(28t2-1-8t12t2-1,8t-212t2-1), B(28t2-1+8t12t2-1,8t+212t2-1)]；<t2<]) C(1,-2),D(1,2)(即(1)中的两点A,B的坐标互换的同时,两点C,D的坐标也互换),也可得此时不满足题设.
(3)由A(28t2-1+8t12t2-1,8t+212t2-1), B(28t2-1-8t12t2-1,8t-212t2-1)(；<t2<]) C(1,-2),D(1,2),进而可得AC〃BD12+1) 1212-1-1412-1(0<1212-1<8)o t-1,-1,1-
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=:时,可求得两点A(11+4646门
V3，3+2
①当t
B V11-裂卑-2］及直线AB：3%-2/6y+5-0,此时对应的图形如图2所示.
AB：3%+26y+5-0,此时对应
的图形如图3所示.
②当t--1时，可求得两
B V11；%,-2-436及直线
③当t-1-2时，可求
得两点A(81-562,14-
82),B(1,2).由两点B,D
重合知此时不满足题设
“AC〃BD”.
④当t-1-1时，可
图3
求得两点A(1,-2),B(81-562,82-14).由两点A,C 重合知此时不满足题设“AC〃BD”.
综上所述，可得直线AB的方程是3%-26y+5-0或3%+26y+5-0..
(4)四点A(2812-1-811212-1,81-21212-1), B(2812-1+811212-1,81+21212-1) (12<t2<3)，C(1,2),D(1,-2)(即(3)中的两点A,B 的坐标互换的同时，两点C,D的坐标也互换),由(3)的答案可知，此时直线AB的方程也是3%-26y+5-0或3%+26y+5-0.
综上所述，可得直线AB的方程是3%-26y+5-0或3%+26y+5-0.
以上解法运算量较大(还涉及解一元三次方程),下面运用抛物线的两条弦平行的充要条件给出题1的另一种解法(该解法运算量要小不少).
定理1若四点A,B,C,D均在抛物线y2-2p%(p H 0)上，则」AB〃CD O%a+%b二%c+%d.
证明由y A二2p%A,y B二2p%B,可得y A-y B-(y A+
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解题研究
%b)(%a一%b)二2p(%A-%B), AB〃(％A-%B,%a-y B)〃(-a +%B，2P).
同理，可得C力〃(％c+y”2p).
再由四点A,B,C,D不共线，可得
AB//CD o AB//CD o(y A+y B,2p)//(y C+y D,2p)o -A+%B二%C+%D.
推论1若四点A,B,C,D均在抛物线%2二2p%(p H 0)上，则%A-%C二%D-%B o AB〃CD或AD/BC.
证明由定理】，可得-a-%C二%D-%B O(%A-%C 二-D--B或-A--C二-B--D)O(-A+-B二-C+-D或-A+ y D二y B+y C)o AB//CD或AD〃BC.
定理2若四点A,B,C,D均在抛物线%2二2py(p H 0)上，贝V AB//CD o%A+%B二%C+%D.
推论2若四点A,B,C,D均在抛物线%2二2py(p H 0)上，则%A-%C二%D-%B o AB〃CD或AD/BC.
题1的另解如图1所示,可设点G(-1,£).同前面的解法可求得直线PQ的方程是--t二+(%+1)
还可得-a--B二41212-1,%D-%C二4.
由题设AC/BD及推论1,可得-A--B二-D--C.即4J1212-1二4,解得t二土丄.
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由推论1可得丨-A--B=-D--C,即AC/BD或AD/BC(当AD/BC时,把两点C,D的位置互换后也
得AC/BD),所以t的取值范围是忖，-右｝,进而可求得直线AB的方程是3%-26-+5=0或3%+26-+ 5=0.
%2
题2如图1所示，已知椭圆八；+%2=1,抛物线
M：%2=4%的焦点是F,动点G在其准线上.过点G的直线与椭圆T及抛物线M分别交于四点P,Q,A,B,且G是线段PQ的中点，过点F的直线与抛物线M交于两点C,D,且存在AC/BD的情形.
(1)求直线CD的斜率k的取值范围，及点G的纵坐标的取值范围；
(2)若直线心。

丄％轴，求直线AB的方程；
(3)若直线CD的方程是%=my+q,求m的取值范围；
(4)求点G的纵坐标的取值范围.
解析(1)如图1所示,可设点G(-1,t).
由题1的第一种解法,可求得直线PQ的方程是--t
=4t(%+1)，I-A--B丨=4丿1212-1百<t2<¥)可得k H0.
设m二+(m H0)，则过点F的直线CD的方程是%=
my+1.
%=m%+1,“
联立｛2可得--4my-4=0,解得-=2m±(%2=4%,
2丿m2+1.
进而可得I y D-y C=4丿m2+1(m H0).
由题设AC/BD及推论1,可得
-A-%B=-D--C.
即4丿1212—1=4丿m2+1]12<t2<4,m H0)
解得m2=1212-2(0<1212-2<7).
由推论1可得-a--b=I-d--c I,即AC/BD或AD 〃BC(当AD/BC时,把两点C,D的位置互换后也得AC /BD)，所以m2的取值范围是(0,7).
再由m=+(m H0),可求得直线CD的斜率k的取值范围是(-8,-；)U(；,+8).
由0<12t2-2<7,可求得点G的纵坐标t的取值范围是(-；，-:)"；，；).
(2)该问即题1,所以答案是3%-26-+5=0(其对应的图形可以如图2所示)或3%+26-+5=0(其对应的图形可以如图3所示).
(3)在(1)中可得m2的取值范围是(0,7),在(2)中可得m2的取值范围是0,所以m2的取值范围是[0,7).因而m的取值范围是(-7,7).
(4)在(1)中已求得点G的纵坐标t的取值范围是
(-J-(6)U([J；在(2)中(见题1的另解)已求得点G的纵坐标t的取值范围是｛-.所以点G的纵坐标的取值范围是(-['-[[^(l，；).
参考文献：
[1]甘志国.解数学题也要与时俱进[J].数理化解题研究,2020(25)：30-33.
[责任编辑:李璟]
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