一阶数列通项公式求法

一阶数列通项公式求法
概念
不妨将数列递推公式中同时含有 a n 和a n+1 的情况称为一阶数列，显然，等差数列的递推式为 a n = a n-1 + d , 而等比数列的递推式为 a n = a
*q ；这二者可看作是一阶数列的特例。

故可定义一阶递归数列 n-1
形式为：a(n+1) = A *a n + B ········☉ , 其中A和B 为常系数。

那么，等差数列就是A=1 的特例，而等比数列就是B=0 的特例。

若干求法思路
基本思路与方法：复合变形为基本数列（等差与等比）模型；叠加消元；连乘消元
思路一：原式复合（等比形式）
可令 a(n+1) - ζ = A * (a n - ζ )········① 是原式☉变形后的形式，即再采用待定系数的方式求出ζ的值，整理①式后得a(n+1) = A*an +ζ - A*ζ , 这个式子与原式对比可得，
ζ - A*ζ = B
即解出ζ = B / (1-A)
回代后，令 bn= an - ζ ,那么①式就化为 b(n+1) =A* b n , 即化为了一个以（a1-ζ )为首项，以A为公比的等比数列，可求出bn的通项公式，进而求出 {an} 的通项公式。

思路二：消元复合（消去B）
由a(n+1) = A *a n + B ········☉ 有
a n = A* a(n-1) +B ··········◎
☉式减去◎式可得 a(n+1) - a n = A *（ a n - a(n-1））······③ 令 bn = a(n+1) - an 后，③式变为 bn = A* b(n-1) 等比数列，可求出 bn 的通项公式，接下来得到 a n - a(n-1) = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数）的式子，进而使用叠加方法可求出 an
编辑本段二阶数列通项公式求法
概念
类比一阶递归数列概念，不妨定义同时含有a(n+2) 、a(n+1)、an的递推式为二阶数列，而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。

为方便变形，可以先如此诠释二阶数列的简单形式：
a(n+2) = A * a(n+1) +B * a n , （同样，A，B常系数）
求法
基本思路类似于一阶，只不过，在复合时要注意观察待定系数和相应的项
原式复合：令原式变形后为这种形式 a(n+2) - ψ * a(n+1) = ω(a(n+1) - ψ*an)
将该式与原式对比，可得
ψ + ω = A 且 -（ψ*ω）= B
通过解这两式可得出ψ与ω的值，
令bn=a(n+1) - ψ*an, 原式就变为 b(n+1) = ω * bn 等比数列，可求出bn 通项公式bn = f (n) ，
即得到 a(n+1) - ψ*an = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数), 而这个式子恰复合了一阶数列的定义，即只含有a(n+1)和an 两个数列变项，从而实现了“降阶”，化“二阶”为“一阶”，进而求解。