多元函数积分学典型习题解答与提示

第七章 多元函数积分学典型习题解答与提示
习 题 7-1
1．（1）2σ=
⎰⎰D
V x yd ； （2）|sin |σ=⎰⎰D
V xy d 。

2．提示：利用σσ=
⎰⎰D
d 。

3．（1）小于零； （2）零； （3）大于零； （4）大于零。

4．（1）利用估值不等式(),σσσ≤
≤⎰⎰D
m f x y d M 易于发现，当(),x y 在边界时，函数
1++x y 取得最小值和最大值，已知01,02≤≤≤≤x y ，故114≤++≤x y ，即1,4==m M ，122σσ==⨯=⎰⎰D
d ，所以()218σ≤++≤⎰⎰D
x y d ；
（2）提示，()()11
max ,,min ,100102
==
==
M f x y m f x y ，200σ=， 故
100
51
原积分2≤≤。

5．（1）0； （2）0； （3）124=I I 。

习 题 7-2
1．（1）3223
a ； （2）9； （3）12； （4）0。

2．（1）8
3；
（2）16
；
（3
）令=
D
I ，
1
022⎡⎤===⎢⎥⎣
⎦
⎰⎰⎰I dx ，
=t ，则2
1,2=-=-x t dx tdt ，
()()()01
2
2
41
82
12415
I t t t dt t
t dt =--=-=
⎰⎰； （4
）2
2
2
22211
arctan ⎤⎤
==⎥⎥++⎣⎦⎣
⎦⎰⎰⎰y y y D y
y y
x dxdy dx dy dy x y x y y
(
)2
1
1
1arctan arctan ln 1424ππ⎤
⎡=
-=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦y dy y y y y
1
ln 2122
=-； （5）
1111
1
1
+-+++----=+⎰⎰⎰⎰
⎰⎰x x
x y
x y
x y x x D
e
dxdy dx e dy dx e dy
1111110
[][]+++-----=+⎰⎰x y x x y x x x e dx e dx
()()0
1
211211
+---=
-+-⎰
⎰x x e e dx e e dx
01
2112110
1122+---⎡⎤⎡⎤
=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x e e x ex e
1
=-e e。

3．
()()()12,=⎰⎰
⎰⎰D
D
f x y dxdy f x f y dxdy ()()12=⎰⎰b
d
a c dx f x f y dy
()()1
2=⎰⎰
b d
a
c
f x dx f y dy 。

4．（1）()()2
2
221
1
,,ππ
=⎰
⎰⎰⎰dx f x y dy dy f x y dx ；
（2）()()1
1
1
,,=⎰⎰⎰⎰x
y
dx f x y dy dy f x y dx ；
（3）
(
)(
)0
,,a
b
dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰；5
（4）区域D 用不等式组表示
D
1111
⎧-≤+⎪⎨-≤≤⎪⎩y x D
02
⎧≤≤⎪⎨
≤≤⎪⎩x y 所以
(
)(
)1
121
10
,,-=⎰
⎰
⎰dx f x y dy dy f x y dx ；
（5）提示：区域D 用不等式组表示
D
101
⎧-≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩x y x D
101
⎧-≤≤⎪⎨
≤≤⎪⎩y x y 故原式(
)10
1,-=
⎰y
dy f x y dx ；
（6）区域D 用不等式组表示
D
22
4≤≤-⎧⎪⎨≤≤⎪⎩x y x
x ， 1D
02
⎧≤⎪⎨≤≤⎪⎩x y ， 2D
24
⎧≤≤⎪⎨
≤≤⎪⎩x y
其中12=+D D D ，
因此
()(
)(
)2
2
4240
2
,,,-=+⎰
⎰⎰x x f x y dy dy f x y dx dy f x y dx 。

5．图略 （1）
()20
cos ,sin π
θθθ⎰⎰a
d f r r rdr ； （2）()2cos 20
2
cos ,sin π
θ
πθθθ-⎰⎰
d f r r rdr ；
（3）
()20
cos ,sin π
θθθ⎰
⎰b
a
d f r r rdr ； （4）()1
2
cos sin 00
cos ,sin π
θθ
θθθ+⎰⎰
d f r r rdr 。

6．（1）
()()sec csc 4
20
4
cos ,sin cos ,sin π
π
θ
θ
πθθθθθθ+⎰
⎰
⎰⎰
d f r r rdr d f r r rdr ；
（2）
()2
2
π
θ⎰⎰R
d f r rdr ； （3）()2sin 2
cos ,sin πθ
θθθ⎰⎰R d f r r rdr 。

7．（1）()632--⎰⎰D
x y dxdy ()200
63cos 2sin π
θθθ=--⎰⎰R
d r r rdr
223
3
23c o s s i n 3π
θθθ⎡⎤=
--⎢⎥⎣
⎦⎰
R
r r r d 223
3
23c o s s i n 3πθθθ
⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
⎰R R R d 2233
20
23s i n c o s 6
3π
θθθπ⎡
⎤
=-+=⎢⎥⎣
⎦R R R
R ； （2
）
()222
20
sin 2[cos sin ]6π
π
π
ππ
θππ==-+=-⎰⎰⎰⎰
D
d r rdr r r r ；
（3）化为极坐标形式， :0,124
π
θ≤≤
≤≤D r ，
注意到tan θ=y x ，则2
2
24224
01
013arctan 2264π
π
θθθπ⎡⎤⎡⎤===
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰D
y r dxdy d rdr x ； （4）变换成极坐标， :0
2,0θπ≤≤≤≤D r ，
)
21
20
21D
d d ππ
θθπ===⎰⎰
⎰10
；
（5）变换成极坐标， :0
2,θπ≤≤≤≤D a r b ，
()
2
22
2
2
2
20
12[]2π
θππ+⎡⎤
===-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰
⎰b
b
x
y r r b a a
a
D
e
dxdy d re dr e e e ；
（6）变换成极坐标， :0
2,1θπ≤≤≤≤D r ， ()
2
222
2
2222
1
11ln ln 2ln 8ln 232
2πθπππ⎡⎤+==-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰
D
r x
y dxdy d r r dr r r 。

习 题 7-3
1．（1）两个曲面的交线 22
2
22⎧=+⎪⎨=-⎪⎩z x y
z x
在xOy 面的投影曲线，就是区域D 的边界曲线，因此，可以从上面两个方程中消去
z 而得到，即221+=x y 。

所以立体体积可以看作两个有同底的曲顶柱体体积之差，一个是以抛物柱面
22z x =-为顶的曲顶柱体，一个是以椭圆抛物面222z x y =+为顶的曲顶柱体，
所以()()()
2
2
2222221D
D
D
V x d x
y d x y d σσσ=
--+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()
1
2421
220
2
1224r r d r rdr d π
π
θθπ⎡⎤
=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰
⎰⎰
； （2）所求体积V 是以区域D 的圆2
2
2
x y R +≤为底，以()z a x y =-+为顶的曲顶柱体
体积，即
()()20
[cos sin ]R
D
V a x y d d a r rdr πσθθθ=--=-+⎰⎰⎰⎰
()()332222
001cos sin cos sin 2323R
a r R r d R a d π
πθθθθθθ⎡⎤⎡⎤=
-+=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎰
⎰ ()23
220
1sin cos 23R R a R a π
θθθπ⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦；
（3）所求体积V 是以区域D 的圆()2
2
2
x a y a -+≤为底，以旋转抛物面()
2
21z x y a
=
+ 为顶的曲顶柱体的体积，即
()
2cos 2cos 22242200
2211114a a D
V x y d d r rdr r d a a a θ
ππ
θππσθθ--⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰
3
4
3
4332
20
2
313
4cos 8cos 84222
a
d a
d a a ππ
ππθθθθπ-
===⨯⨯⨯=⎰
⎰
；
（4）所求体积V 是以区域D 的圆()2
2
11x y -+≤与圆()2
2
2
22x y -+≤所围平面区域
为底，以旋转抛物面2
2
z x y =+为顶的曲顶柱体体积，即
()
4cos 4cos 2
2
3
4
42222cos 0
2
2
2cos 1
120cos 4D
V x
y d d r dr r d d θ
π
π
π
θ
ππθ
θ
σθθθθ--=
+===⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
3145
1204222
ππ=⨯⨯⨯
=。

2．（1）因为D 2
x y x ≤≤，所以D 的面积A 为（设1ρ=）
()
2
11
20
1
6
x x D
A d dx dy x x dx σ===-=
⎰⎰⎰⎰⎰， ()
2
1123
0011662
x x D x xdxdy dx xdy x x dx A =
==-=⎰⎰⎰⎰⎰， ()
2
112400112
6625
x x D y ydxdy dx ydy x x dx A ===-=⎰⎰⎰⎰⎰，
故重心为12,25⎛⎫
⎪⎝⎭
； （2）D 的面积2
2
23
24
a A a a πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（设1ρ=）
2220cos 0212cos cos a a a D x xdxdy d r dr d r dr A A π
ππθθθθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()
33
3320222311cos cos cos 3334226a a a a d d A A ππππθθθθθ⎡⎤⎛⎫=-+=-⨯⨯=-⎢⎥ ⎪
⎝⎭⎣⎦
⎰⎰， 根据对称性，有0y =，故所求重心为,06a ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
； （3
）设密度函数ρ=k 为比例常数）则D 的质量M 为
2220cos 0
22a a a D
M k d r dr d r dr πππθθθ⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()
()3333
3
20222221cos 3233339a a ka ka k d d πππθθθππ⎡⎤⎛⎫=-+=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
⎰⎰，
3320cos 021
2cos cos a a a D
k x d r dr d r dr M
M π
ππθθθθθ⎛⎫=
=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()
444420
22421cos cos cos 44253k a a ka d d M M
πππθθθθθ⎡⎤⎛⎫
=-+=-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎣⎦⎰⎰
()6532a π=-
-，根据对称性，0y =，故重心坐标为()6,0532a
π⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭。

（4）设D ()()sin ,01cos x a t t y a t =-≤≤-
()02t π≤≤，则D 的面积A 为
（设1ρ=）
()22222
22
4
1cos 4sin 2
a
y a
D
t
A dxdy dx dy ydx a t dt a
dt πππ
π
====-=⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
2
420
8sin 3a
tdt a π
π==⎰
，由于D 是关于直线x a π=对称的，故x a π=，
222
00011112a y a D
y ydxdy dx ydy y dx A A A ππ=
==⎰⎰⎰⎰⎰
()()222011cos 1cos 2a t a t dt A
π=
--⎰3
33222
6
00
42sin sin 222
a t a t
dt dt A A
ππ
⎛⎫== ⎪⎝
⎭⎰⎰
3
3
366
220
816165315sin sin 364226
a a a d d a A
A
a π
π
πθθθθπ=
=
=⨯⨯⨯⨯=⎰
⎰ 故重心为5,
6a a π⎛⎫ ⎪⎝⎭
； （5）取坐标系如图7-11，设面密度为ρ，由于重心落在圆心上，
所以12
12
0D D x
D D yd M y M
d ρσρσ
++=
==⎰⎰
⎰⎰
即有
12
1
2
D D D D yd yd yd ρσρσρσ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
2
sin a
a
a
b
d r dr dx ydy π
ρθθρ--=+⎰⎰⎰⎰
320
sin 32a
a
a d
b dx π
ρ
ρ
θθ-=-
⎰
⎰
3
2203
a
ab ρ
ρ=-=
，所以b =
图 7-11 习题 7-3 中 2(5) 示意
O
2
D 1
D
* 习 题 7-4
1．（1）D [ x ^ 3 * y – y ^ 3 * x , x ] 2
3
3x y y -
D [ x ^ 3 * y – y ^ 3 * x , y ]
32x 3xy -
（2）D [ ( 1 + x * y ) ^ y , x ]
21+y
y (1+x y
)- D [ ( 1 + x * y ) ^ y , y ]
y xy (1+xy)+Log[1+xy]1+xy ⎛⎫
⎪⎝⎭
2．（1）D [ x ^ 4 + y ^ 4 – 4 x ^ 2 * y ^ 2 , x , x ]
2212x 8y -
D [ x ^ 4 + y ^ 4 – 4 x ^ 2 * y ^ 2 , y , y ] 228x 12y -+
D [ x ^ 4 + y ^ 4 – 4 x ^ 2 * y ^ 2 , x , y ] 16x y
- （2）D [ y ^ x , x , x ]
x 2y Log[y] D [ y ^ x , y , y ]
2+x
(1+x )x
y -- D [ y ^ x , x , y ]
1+x 1x
y +x y
L o g [y ]
--
+ 3．（1）Integrate [ x * y ^ ( 1 / 2 ) , { x , 0 , 1 } , { y , x ^ 2 , x ^ ( 1 / 2 ) } ]
6
55
（2）Integrate [ x ^ 2 / y ^ 2 , { x , 1 , 2 } , { y , 1 / x , x } ]
9
4
（3）Integrate [ x ^ 2 + y ^ 2 – x , { y , 0 , 2 } , { x , y / 2 , y } ]
13
6
复 习 题 七
1．（1）
4
242
22
131
3
1
()()
D
dxdy dy
dx dx
x y x y x y
⎡⎤
==⎢⎥
---
⎣⎦
⎰⎰⎰⎰⎰
222
11
1
114
[ln|4|][ln|3|]ln
433
dx x x
x x
⎛⎫
=-=---=
⎪
--
⎝⎭
⎰；
（2）
112
00
(1)
x y x y
D
e dxdy e dx e dy e
+==-
⎰⎰⎰⎰；
（3）
2
2
2222
22
000
1
cos()cos()sin()
2
D
x y xy dxdy xdx xy xy dy x xy dx
ππ
==
⎰⎰⎰⎰⎰
2
22
00
1111
sin4(cos4)cos4
2244
x xdx x x xdx
π
ππ
⎡⎤
⎢⎥
==-+
⎢⎥
⎣⎦
⎰⎰
2
111
sin4
2421616
x
π
ππ
⎛⎫
⎪
=-⨯+=-
⎪
⎝⎭
；
（4）
1
1
11122
2
33
000
2222
220
(1)
(1)(1)
D
ydxdy ydy
dx x y dx x y x y
-
⎡⎤
==-++
⎢⎥
⎣⎦++++
⎰⎰⎰⎰⎰
11
0 0
[ln(ln(
dx x x
⎛⎫
=-=+-+⎰
2
[l n2)n(3l l l n l n
3 =-++==
2．（1）据题意作图如图7-12所示，其中
:01
D x
≤≤，11
x y x
-≤≤-
则
11
01
(,)(,)
x
x
D
f x y dxdy dx f x y dy
-
-
=
⎰⎰⎰⎰。

若
12
D D D
=+，其中
1
:01,01
D y x y
≤≤≤≤-；
2
:10,01
D y x y
-≤≤≤≤+
图7-12 复习题七中
2(1)积分区域
则
1
2
(,)(,)(,)D
D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1
1010
1
(,)(,)y
y
dy f x y dx dy f x y dx -+-=
+⎰
⎰
⎰⎰
；
（2）:13,3D x x y x ≤≤≤≤，则
3
31
(,)(,)x
x
D
f x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰
⎰
若 12D D D =+，其中，1:13,1D y x y ≤≤≤≤；21
:39,33
D y y x ≤≤≤≤ 则
1
2
(,)(,)(,)D
D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
3
93
11
1
3
3(,)(,)y y
dy f x y dx dy f x y dx =
+⎰
⎰⎰⎰；
（3）求交点2
2
4y x
y x
⎧=⎪⎨=-⎪⎩
解得(2)，
若2
2
:4D x x y x ≤
≤≤-
，则2
2
4(,)(,)x x D
f x y dxdy f x y dy -=⎰⎰⎰
若 12D D D =+，
其中，1:24,D y x ≤≤≤
；2:02,D y x ≤≤≤
则
422
(,)(,)(,)D
f x y dxdy dy f x y dx dy f x y dx ==+⎰⎰
⎰⎰。

3．（1
）已知:01,D y y x ≤≤≤由y x =
，x =
如图7-13所示，故有
2
:01,D x x y x ≤≤≤≤，
则
1
(,)y dy f x y dx ⎰
2
1
(,)x
x dx f x y dy =⎰⎰；
（2）10
(,)y
e
e dy
f x y dx ⎰⎰
；
（3）
1
20
(,)y
y
dy f x y dx -⎰
⎰
；
x
y
2
y x =y x
=O
图 7-13 复习题七 中 3(1) 积分区域
（4
）已知:0132D y x y ≤≤≤≤-。

即有12D D D =+，如图7-14所示， 其中 2
1:01,0D x y x ≤≤≤≤；
21
:13,0(3)2
D x y x ≤≤≤≤-。

故
1
320
(,)y dy f x y dx -⎰
2
1
1
3
(3)20
1
(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -=+⎰⎰⎰⎰。

4．（1）9； （2）
9
4
； （3）2
2y x y x
⎧=⎪⎨=⎪⎩解得交点(1,1)与(0,0)
，2
:01,D x x y ≤≤≤≤
2
1
1
2
2220
01())2x D
x y dxdy dx x y dy x y y ⎛
+=+=+ ⎝
⎰⎰⎰⎰
51
4201333
22140x x x dx ⎛⎫=+-= ⎪⎝
⎭⎰；
（4）:0,012
D r π
θ≤≤≤≤，如图7-15所示。

1
2
2
220
ln(1)ln(1)D
x y dxdy d r rdr π
θ++=+⎰⎰⎰⎰ (ln 41)4
π
=
-；
（5）:0,124D r π
θ≤≤≤≤，2401arctan arctan(tan )D
y dxdy d rdr x π
θθ=⎰⎰⎰⎰ 2
22
244401001
11332264d rdr r d d ππ
π
πθθθθθθ⎡⎤===⨯=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰；
（6）222
4r ππ≤≤，即2r ππ≤≤，:2,02D r ππθπ≤≤≤≤，
22222
sin sin 2(cos sin )6D
d r dr r r r π
π
π
ππ
θππ==-+=-⎰⎰⎰⎰。

5．（1）立体在xOy 面上之投影区域D 为01,01x y x ≤≤≤≤-，曲顶为22
z x y =+，
图 7-14 复习题七 中 3(4) 积分区域
x
y O
11
图 7-15 复习题七 中 4(4)
积分区域
11112223000011()36x
x V dx x y dy x y y dx --⎡⎤=+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰； （2）立体在xOy 平面上的投影区域:02,042D x y x ≤≤≤≤-，
242222420000(4)[4]x x V dx x dy y x y dx --=
-=-⎰⎰⎰ 2
2040[4(42)(42)]3
x x x dx =---=⎰。

*6．（1）y x x x
=⎧⎨=⎩，x 由0到1，dy dx =，
1(1,1)123(0,0)0011()[()]33
xydx y x dy x x x dx x +-=+-==⎰⎰； （2）2
y x x x
⎧=⎨=⎩，x 由0到1，2dy xdx =，
(1,1)
132(0,0)01()[()2]12
xydx y x dy x x x x dx +-=+-=⎰⎰； （3）2y x y y
⎧=⎨=⎩，y 由0到1，2dx ydy =，
(1,1)
142(0,0)017()[2()]30
xydx y x dy y y y dy +-=+-=⎰⎰； （4）3
y x x x
⎧=⎨=⎩，x 由0到1，23dy x dx =，
(1,1)
1432(0,0)01()[()3]20
xydx y x dy x x x x dx +-=+-=-⎰⎰。

*7．:cos ,sin (02)c x a t y b t t π==≤≤,
()()c
x y dx x y dy ++-⎰ 20[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]a t b t a t a t b t b t dt π
=+-+-⎰ 222220[cos sin sin cos sin cos ]a t t ab t ab t b t t dt π
=--+-⎰ 222220[()sin cos (cos sin )]a b t t ab t t dt π
=-++-⎰ 222222000sin cos 2sin 2022a b ab t ab tdt t ππ
π+=-+==⎰。

*8．:cos ,sin (02)c x a t y a t t π==≤≤，
22()()c x y dx x y dy x y
+--+⎰ 220
(cos sin )(sin )(cos sin )cos a t t a t a t t a t dt a π
+---=⎰ 22220
0(cos sin sin cos cos sin )2t t t t t t dt dt ππ
π=---+=-=-⎰⎰。

*9．2y P x =，1Q x
-=，在整个平面除去0x =（即y 轴）均有定义，且有连续导数 21P y x ∂=∂，21Q x x ∂=∂，所以P Q y x ∂∂=∂∂。

故除去y 轴，2
c ydx xdy x -⎰与路径无关， 取路径ABC ，(2,1)A ，(2,2)B ，(1,2)C 。

AB 为2x y y
=⎧⎨=⎩，y 由1到2，AB 垂直于x 轴，20AB ydx x =⎰； BC 为2y x x =⎧⎨=⎩
， x 由2到1，BC 垂直于y 轴，20BC x dy x -=⎰。

2122212112322c AB BC ydx xdy y dy dx dy dx x x x x -=-+=-+=-⎰
⎰⎰⎰⎰。