椭圆的简单几何性质公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
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a
(e越靠近于1越扁)
a、b、c关系
c2 a2 b2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
第12页
例1已知椭圆方程为
它长轴长是9：x2+2105。y短2轴=长2是2：5, 6 。
第14页
练习：已知椭圆 x2 (m 3) y2 m(m 0) 离心率
e 3 ,求m值及椭圆长轴和短轴长、焦点坐
2
标、顶点坐标。
第15页
例2 求适合下列条件椭圆原则方程
⑴通过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２：１两部分，且通过点
P 3 2, 4
第1页
知识储备案 ：
1.椭圆定义:
到两定点F1、F2距离之和为常数（不小于|F1F2 |）动
点轨迹叫做椭圆。
2.椭圆原则方程是：
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
当焦点在Y轴上时
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
3.椭圆中a,b,c关系是:
c2 a2 b2
第2页
y
B2
A1
ba
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
第6页
3、椭圆顶点
x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
令 x=0，得 y=？，阐明椭圆与 y轴交点？
令 y=0，得 x=？阐明椭圆与 x轴交点？
*顶点：椭圆与它对称轴四 个交点，叫做椭圆顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆长轴和
A1
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
第8页
4、椭圆离心率e(刻画椭圆扁平程度量)
离心率：椭圆焦距与长轴长比：
叫做椭圆离心率。
[1]离心率取值范围： 0<e<1
e c a
[2]离心率对椭圆形状影响： 1）e 越靠近 1，c 就越靠近 a，从而 b就越小，椭
c2 a2 b2
第11页
原则方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b e c (0<e&
找出a、b、c所表示线段。 B1
△B2F2O叫椭圆特性三角形。
第3页
二、椭圆
x2 a2
y2 b2
1简朴几何性质
1、范围：
问题1：指出A1 、A2 、B1、B2 坐标？ 问题2：指出椭圆上点横坐标范围？ 问题3：指出椭圆上点纵坐标范围？ 结论：椭圆中 -a ≤ x ≤a, -b ≤ y ≤b. 椭圆落在x=± a, y= ± b构y 成矩形中
焦距是： 8
4
。 离心率等于： 5 。
焦点坐标是： (0, 4) 。顶点坐标是： (3, 0) 。
外切矩形面积等于：
60 。
解题关键：1、将椭圆方程转化为原则
方程
x2 y 2 1明确a、b
25 9
2、拟定焦点位置和长轴位置
第13页
书本例题 例5 电影放映灯泡反射面是旋转椭圆面一部分。过对
称轴截口BAC是椭圆一部分，灯丝位于椭圆一个焦点上， 片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出光线，通过旋 转椭圆面反射后集中到另一个焦点。已知 BC F1F2 ,| F1B | 2.8cm,| F1F2 | 4.5cm. 建立适当坐标系， 求截口BAC所在椭圆方程。
Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ④两顶点坐标为（0，±6），且通过点（5，4） ⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
2. 已知椭圆一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴 两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆原则方 程。
第17页
例3：(1)椭圆
x2 a2
第10页
原则方程
范围 对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c关
系
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成
中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b e c a
y2 b2
1(a
b
0)
左焦点
F1(c, 0),
A(a, 0), B(0, b)是两个顶点，假如到直线AB距
b
离为 7 ，则椭圆离心率e=
.
(3)设M为椭圆
x2 a2
y2 b2
上1 一点，
F1、F2为椭圆焦
点， 假如 MF1F2 75 , MF2F1 15 ，求椭圆离心率。
第18页
小结：
本节课我们学习了椭圆几种简朴几何性质：范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 理解了研究椭圆几种基本量a，b，c，e及顶点、焦 点、对称中心及其互相之间关系，这对我们处理椭 圆中相关问题有很大帮助，给我们以后学习圆锥曲 线其它两种曲线扎实了基础。在解析几何学习中， 我们更多是从方程形式这个角度来挖掘题目中隐含 条件，需要我们结识并纯熟掌握数与形联系。在本 节课中，我们利用了几何性质，待定系数法来求解 椭圆方程，在解题过程中，准确表达了函数与方程 以及分类讨论数学思想。
B2
A1
F1
b
oc
a A2 F2
B1
第4页
2、椭圆对称性
x
x
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
第5页
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（心3对）称把。x换成-x，同时把y换成-yy方程不变，图象关于原点成中
(-a，0) F1
短轴。
a、b分别叫做椭圆长半轴 长和短半轴长。
y
B2 (0,b)
b
oc
a A2(a，0) F2
B1 (0,-b)
第7页
依据前面所学相关知识画出下列图形
（1） x2 y2 1 25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
第19页
(4)P为椭圆 x2 y2 则∠F1PF2最4大值3是
1上任意一点，F1、F2是焦点， .
第20页
圆就越扁
2）e 越靠近 0，c 就越靠近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 线又是 什么？
[3]e与a,b关系:
e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
第9页
问：对于椭圆C1
: 9x2
y2
36与椭圆C2：1x62
y2 12
2,
C 更接近于圆的是
。 2
解： ⑴办法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点坐
标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
办法二：利用椭圆几何性质，以坐标轴为对称轴椭圆与坐标轴交点就是椭圆顶
点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴一个端点
，故a＝3，b＝2，因此椭圆原则方程为 x2 y2 1
⑵ x2 y2 1 或 100 64
94
y2 x2 1 100 64
⑶ x2 y2 1
36 32
或
y2 x2 1 145 290
4
9
注：待定系数法求椭圆原则方程环节： ⑴定位； ⑵定量
第16页
练习：
1. 依据下列条件，求椭圆原则方程。
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，通过P(-2,0)，
(e越靠近于1越扁)
a、b、c关系
c2 a2 b2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
第12页
例1已知椭圆方程为
它长轴长是9：x2+2105。y短2轴=长2是2：5, 6 。
第14页
练习：已知椭圆 x2 (m 3) y2 m(m 0) 离心率
e 3 ,求m值及椭圆长轴和短轴长、焦点坐
2
标、顶点坐标。
第15页
例2 求适合下列条件椭圆原则方程
⑴通过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２：１两部分，且通过点
P 3 2, 4
第1页
知识储备案 ：
1.椭圆定义:
到两定点F1、F2距离之和为常数（不小于|F1F2 |）动
点轨迹叫做椭圆。
2.椭圆原则方程是：
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
当焦点在Y轴上时
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
3.椭圆中a,b,c关系是:
c2 a2 b2
第2页
y
B2
A1
ba
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
第6页
3、椭圆顶点
x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
令 x=0，得 y=？，阐明椭圆与 y轴交点？
令 y=0，得 x=？阐明椭圆与 x轴交点？
*顶点：椭圆与它对称轴四 个交点，叫做椭圆顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆长轴和
A1
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
第8页
4、椭圆离心率e(刻画椭圆扁平程度量)
离心率：椭圆焦距与长轴长比：
叫做椭圆离心率。
[1]离心率取值范围： 0<e<1
e c a
[2]离心率对椭圆形状影响： 1）e 越靠近 1，c 就越靠近 a，从而 b就越小，椭
c2 a2 b2
第11页
原则方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b e c (0<e&
找出a、b、c所表示线段。 B1
△B2F2O叫椭圆特性三角形。
第3页
二、椭圆
x2 a2
y2 b2
1简朴几何性质
1、范围：
问题1：指出A1 、A2 、B1、B2 坐标？ 问题2：指出椭圆上点横坐标范围？ 问题3：指出椭圆上点纵坐标范围？ 结论：椭圆中 -a ≤ x ≤a, -b ≤ y ≤b. 椭圆落在x=± a, y= ± b构y 成矩形中
焦距是： 8
4
。 离心率等于： 5 。
焦点坐标是： (0, 4) 。顶点坐标是： (3, 0) 。
外切矩形面积等于：
60 。
解题关键：1、将椭圆方程转化为原则
方程
x2 y 2 1明确a、b
25 9
2、拟定焦点位置和长轴位置
第13页
书本例题 例5 电影放映灯泡反射面是旋转椭圆面一部分。过对
称轴截口BAC是椭圆一部分，灯丝位于椭圆一个焦点上， 片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出光线，通过旋 转椭圆面反射后集中到另一个焦点。已知 BC F1F2 ,| F1B | 2.8cm,| F1F2 | 4.5cm. 建立适当坐标系， 求截口BAC所在椭圆方程。
Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ④两顶点坐标为（0，±6），且通过点（5，4） ⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
2. 已知椭圆一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴 两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆原则方 程。
第17页
例3：(1)椭圆
x2 a2
第10页
原则方程
范围 对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c关
系
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成
中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b e c a
y2 b2
1(a
b
0)
左焦点
F1(c, 0),
A(a, 0), B(0, b)是两个顶点，假如到直线AB距
b
离为 7 ，则椭圆离心率e=
.
(3)设M为椭圆
x2 a2
y2 b2
上1 一点，
F1、F2为椭圆焦
点， 假如 MF1F2 75 , MF2F1 15 ，求椭圆离心率。
第18页
小结：
本节课我们学习了椭圆几种简朴几何性质：范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 理解了研究椭圆几种基本量a，b，c，e及顶点、焦 点、对称中心及其互相之间关系，这对我们处理椭 圆中相关问题有很大帮助，给我们以后学习圆锥曲 线其它两种曲线扎实了基础。在解析几何学习中， 我们更多是从方程形式这个角度来挖掘题目中隐含 条件，需要我们结识并纯熟掌握数与形联系。在本 节课中，我们利用了几何性质，待定系数法来求解 椭圆方程，在解题过程中，准确表达了函数与方程 以及分类讨论数学思想。
B2
A1
F1
b
oc
a A2 F2
B1
第4页
2、椭圆对称性
x
x
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
第5页
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（心3对）称把。x换成-x，同时把y换成-yy方程不变，图象关于原点成中
(-a，0) F1
短轴。
a、b分别叫做椭圆长半轴 长和短半轴长。
y
B2 (0,b)
b
oc
a A2(a，0) F2
B1 (0,-b)
第7页
依据前面所学相关知识画出下列图形
（1） x2 y2 1 25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
第19页
(4)P为椭圆 x2 y2 则∠F1PF2最4大值3是
1上任意一点，F1、F2是焦点， .
第20页
圆就越扁
2）e 越靠近 0，c 就越靠近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 线又是 什么？
[3]e与a,b关系:
e c a2 b2 1 b2
a
a2
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第9页
问：对于椭圆C1
: 9x2
y2
36与椭圆C2：1x62
y2 12
2,
C 更接近于圆的是
。 2
解： ⑴办法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点坐
标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
办法二：利用椭圆几何性质，以坐标轴为对称轴椭圆与坐标轴交点就是椭圆顶
点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴一个端点
，故a＝3，b＝2，因此椭圆原则方程为 x2 y2 1
⑵ x2 y2 1 或 100 64
94
y2 x2 1 100 64
⑶ x2 y2 1
36 32
或
y2 x2 1 145 290
4
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注：待定系数法求椭圆原则方程环节： ⑴定位； ⑵定量
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练习：
1. 依据下列条件，求椭圆原则方程。
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，通过P(-2,0)，