高三数学总复习 5.4数列的求和教案 新人教A版

2014届高三数学总复习 5.4数列的求和教案 新
人教A 版
1. 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n≥1)，则该数列的通项a n ＝________．
答案：a n ＝2n －1
解析：由已知{a n }为等差数列，d ＝a n ＋1－a n ＝2， ∴ a n ＝2n －1.
2. 已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝na n (n∈N *
)，则该数列的通项公式a n ＝________．
答案：a n ＝1
n
解析：a n a 1＝a n a n －1
×a n －1a n －2×…×a 2a 1＝1n .
3. (必修5P 44习题2(2)改编) 200
n （1+2 n ）=________．
答案：441 解析：
200
n (1＋2n)＝1＋(1＋2×1)＋(1＋2×2)＋…＋(1＋
2×20)＝21＋2×20（1＋20）
2
＝441.
4. (必修5P 60复习题8(1)改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若
a n ＝1
n （n ＋1）
，则S 4＝________．
答案：45
解析：a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴ S 4＝1－12＋12－13＋13－1
4＋
14－15＝4
5
. 5. (必修5P 51例3改编) 数列112，214，318，41
16，…的前n 项
和是 __________．
答案：S n ＝n （n ＋1）2＋1－1
2
n
解析：S n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n （n ＋1）
2＋
12⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝n （n ＋1）
2＋1－12n . 1. 当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项a n .
2. 当已知数列{a n }中，满足a n ＋1
a n
＝f(n)，且
f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用迭乘法求数列的通项a n .
3. (1) a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2.
(2) 等差数列前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）
2
，推导方法：倒序相加
法．
(3) 等比数列前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.
推导方法：错位相减法． 4. 常见数列的前n 项和：
(1) 1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）
2；
(2) 2＋4＋6＋…＋2n ＝n(n ＋1)； (3) 1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2
；
(4) 12
＋22
＋32
＋…＋n 2
＝n （n ＋1）（2n ＋1）
6
．
5. (1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
(3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
(4) 倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法． 6. 常见的拆项公式有： (1) 1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1
；
(2) 1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝
⎛⎭
⎪⎫1
2n －1－12n ＋1； (3) 1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）；
(4) 1a ＋b
＝1
a －
b (a －b).
题型1 求简单数列的通项公式 例1 求下列数列{a n }的通项公式： (1) a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1； (2) a 1＝1，a n ＋1＝2n
a n .
解：(1) a n ＝n 2
(2) a n ＝2n （n －1）
2
变式训练
求下列数列{a n }的通项公式： (1) a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1； (2) a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ；
(3) a 1＝2，a n ＋1＝a 2
n .
解：(1) a n ＝2n
－1 (2) a n ＝2n ＋1
(3) a n ＝22n －1
题型2 分组转化求和
例2 求下面数列的前n 项和： 112，314，518，71
16
， … 解：S n ＝112＋314＋518＋71
16＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n －1）＋12n
＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＋14＋18
＋ (12)
＝n[1＋（2n －1）]2＋12⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1－12n 1－
12＝n 2－12
n ＋1.
备选变式（教师专享）
已知a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧5n ＋1，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.
(1) 求数列{a n }的前10项和S 10； (2) 求数列{a n }的前2k 项和S 2k .
解：(1) S 10＝(6＋16＋26＋36＋46)＋(2＋22
＋23
＋24
＋25
) ＝5（6＋46）2＋2（1－25
）
1－2
＝192.
(2) 由题意知数列{a n }的前2k 项中，k 个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k 个偶数项组成首项为2，公比为2的等比数列．∴ S 2k ＝[6＋16＋…＋(10k －4)]＋(2＋22
＋ (2)
)＝k[6＋（10k －4）]2＋2（1－2k
）1－2
＝5k 2＋k ＋2k ＋1
－2.
题型3 裂项相消求和
例3 求下面各数列的前n 项和： (1) 11×5，13×7，15×9，17×11，…
(2) 22
22－1，42
42－1，62
62－1，8
2
82－1
，…
解：(1) ∵ a n ＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14(12n －1－1
2n ＋3
)，
∴ S n ＝14(1－15＋13－17＋15－19＋…＋12n －3－12n ＋1＋1
2n －1－
12n ＋3)＝14(1＋13－12n ＋1－12n ＋3)＝n （4n ＋5）3（2n ＋1）（2n ＋3）
.
(2) ∵ a n ＝（2n ）2
（2n －1）（2n ＋1）＝1＋1
（2n －1）（2n ＋1）
＝1＋12⎝
⎛⎭
⎪⎫1
2n －1－12n ＋1， ∴ S n ＝n ＋12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12n ＋1＝2n （n ＋1）2n ＋1.
备选变式（教师专享）
求1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋1
1＋2＋3＋…＋n
.
解：∵a k ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k －1k ＋1，∴S n ＝2n
n ＋1.
题型4 倒序相加求和
例4 设f(x)＝1
3x ＋3，求f(－12)＋f(－11)＋f(－10)＋…
＋f(0)＋…＋f(11)＋f(12)＋f(13)的值．
解：∵ f(x)＋f(1－x)＝33，∴ 原式＝13
3 3.
备选变式（教师专享）
一个等差数列前4项之和为26，最末4项之和为110，所有项之和为187，则它的项数为________．
答案：11
解析：∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝26，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝110，∴a 1
＋a n ＝26＋1104
＝34.
又S n ＝n （a 1＋a n ）
2＝187，∴n ＝11.
题型5 错位相减求和
例5 在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝2a 1＋3，且3a 2，a 4，5a 3成等差数列．
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 设b n ＝log 3a n ，求数列{a n b n }的前n 项和S n . 解：(1) 设{a n }公比为q ，由题意得q>0，
且⎩
⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋3，3a 2＋5a 3＝2a 4，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（q －2）＝3，2q 2－5q －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝3
或⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝－6
5，
q ＝－
12
(舍)，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3·3
n －1
＝3n ，n ∈N
．
(2) 由(1)可得b n ＝log 3a n ＝n ，所以a n b n ＝n·3n
. 所以S n ＝1·3＋2·32
＋3·33
＋…＋n·3n
， 所以3S n ＝1·32
＋2·33
＋3·34
＋…＋n·3
n ＋1
，
两式相减得，2S n ＝－3－(32
＋33
＋ (3)
)＋n·3
n ＋1
＝－(3＋3
2
＋33＋…＋3n )＋n·3n ＋1
＝－3（1－3n
）1－3
＋n ·3
n
＋1
＝
3＋（2n －1）·3
n ＋1
2
，
所以数列{a n b n }的前n 项和S n ＝
3＋（2n －1）·3
n ＋1
4.
备选变式（教师专享）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n
－1. (1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 若b n ＝log 13(S n ＋1)，求数列{b n a n }的前n 项和T n .
解：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2， 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n
－1)－(3n －1
－1)＝2×3
n －1
，
综上所述，a n ＝2×3
n －1
.
(2) b n ＝log 13(S n ＋1)＝log 133n
＝－n ，
所以b n a n ＝－2n×3
n －1
，
T n ＝－2×1－4×31－6×32
－…－2n×3n －1
，
3T n ＝－2×31
－4×32
－…－2(n －1)×3n －1
－2n×3n
，
相减，得
－2T n ＝－2×1－2×31－2×32－…－2×3n －1
＋2n×3n
＝－2×(1＋31
＋32
＋…＋3
n －1
)＋2n×3n
，
所以T n ＝(1＋31＋32＋…＋3n －1)－n×3n ＝1－3n
1－3－n×3n
＝－（2n －1）×3n
＋12
，n ∈N *
.
1. 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N )．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________．
答案：3
解析：已知b n ＝2n －8，a n ＋1－a n ＝2n －8，由叠加法(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝0a 8＝a 1＝
3.
2. (2013·大纲)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1) 求{a n }的通项公式；
(2) 设b n ＝1
na n
，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，
因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ）.
解得a 1＝1，d ＝12
.
所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1
2.
(2) b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2
n ＋1，
所以
S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－23＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2n －
2n ＋1 ＝2n
n ＋1
. 3. (2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0，2a n
－a 1＝S 1·S n ，n∈N
．
(1) 求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2) 求数列{na n }的前n 项和．
解：(1) ∵ S 1＝a 1.∴ 当n ＝1时，2a 1－a 1＝S 1·S 1
a 1≠0，
a 1＝1.
当n>1时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －a 1S 1－2a n －1－a 1
S 1
＝2a n －2a n －1
a n
＝2a n －1
{a n }是首项为a 1＝1公比为q ＝2的等比数列，a n ＝2n －1
，n ∈
N *
.
(2) 设T n ＝1·a 1＋2·a 2＋3·a 3＋…＋n·a n
qT n ＝1·qa 1＋2·qa 2＋3·qa 3＋…＋n·qa n qT n ＝1·a 2＋2·a 3＋3·a 4＋…＋n·a n ＋1， 上式左右错位相减：
(1－q)T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －na n ＋1＝a 11－q n
1－q －na n ＋1＝2n
－1
－n·2n
T n ＝(n －1)·2n
＋1，n ∈N *
.
4. 已知等差数列{a n }前三项之和为－3，前三项积为8. (1) 求等差数列{a n }的通项公式；
(2) 若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．
解：(1) 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，
a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝8，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，
d ＝3.
∴ a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.
(2) 当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4，2不成等比数列；
当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1，2，－4成等比数列，
满足条件．
当|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，
3n －7，n ≥3.
n ＝1，S 1＝4；n ＝2时，S 2＝5；
当n≥3时，S n ＝|a 1|＋…＋|a n |＝32n 2－11
2n ＋10.
又n ＝2满足此式，
∴ S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧4（n ＝1），32
n 2－112n ＋10（n ＞1）.
1. 已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，
n ，n 为偶数，
求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99
＋a 100的值．
解：由题意得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100＝2(2＋4＋6＋…＋98)＋100＝2×49×（2＋98）
2
＋100＝5 000.
2. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项的乘积
T n ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫14n 2
－6n (n∈N *
)，b n ＝log 2 a n ，则数列{b n }的前n 项和S n 取最大时，n ＝________．
答案：3
解析：当n ＝1时，a 1＝T 1＝45
＝210
，当n≥2时，a n ＝T n T n －1＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
14n 2－6n －（n －1）2
＋6（n －1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142n －7＝214－4n
，此式对n ＝1也成立，所以a n ＝2
14－4n
，从而b n ＝log 2a n ＝14－4n ，可以判断数列{b n }
是首项为10，公差为－4的等差数列，因此S n ＝－2n 2
＋12n ，故当n ＝3时，S n 有最大值．
3. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切正整数n ，点P n (n ，S n )都在函数f(x)＝x 2
＋2x 的图象上，且在点P n (n ，S n )处的切线的斜率为k n .
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 若b n ＝2k n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
解： (1) ∵ 点P n (n ，S n )在函数f(x)＝x 2
＋2x 的图象上， ∴ S n ＝n 2
＋2n(n∈N *
)，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.
(2) 由f(x)＝x 2
＋2x ，求导得f′(x)＝2x ＋2. ∵ 在点P n (n ，S n )处的切线的斜率为k n ，
∴ k n ＝2n ＋2，∴ b n ＝2k n a n ＝4·(2n＋1)·4n
，
∴ T n ＝4×3×4＋4×5×42
＋4×7×43
＋…＋4×(2n＋1)×4n
，用错位相减法可求得T n ＝6n ＋19·4n ＋2－16
9
.
4. 已知等差数列{a n }是递增数列，且满足a 4·a 7＝15，a 3＋a 8
＝8.
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 令b n ＝1
9a n －1a n (n≥2)，b 1＝1
3，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1) 根据题意：a 3＋a 8＝8＝a 4＋a 7，a 4·a 7＝15，知：a 4，
a 7是方程x 2
－8x ＋15＝0的两根，且a 4<a 7，解得a 4＝3，a 7＝
5，设数列{a n }的公差为d ，由a 7＝a 4＋(7－4)·d，得d ＝2
3.
故等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 4＋(n －4)·d＝3＋2
3(n －4)＝
2n ＋1
3
. (2) 当n≥2时，b n ＝1
9a n －1a n ＝1
9⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪
⎫
23n ＋13
＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1
2n －1－12n ＋1. 又b 1＝13＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13，
∴ S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋
12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n
2n ＋1. 1. a n 的两种常见变形
a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)(累加法) a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…a n
a n －1(累乘法)
2. 数列求和的方法技能
① 倒序相加 ② 错位相减 ③ 分组求和 ④ 拆项相消 3. 方程思想、函数思想、化归思想、整体思想、分类讨论等数学思想在数列中均得到广泛应用，尤其是运用化归的思想将问题
转化为等差、等比数列问题来研究是解决数列综合问题的最基本思维方法．
请使用课时训练（B）第4课时（见活页）.
[备课札记]。