函数知识点归纳

函数知识点归纳
函数是数学中一个非常重要的概念，它贯穿了从初中到高中，甚至
大学的数学学习。

下面就来给大家详细归纳一下函数的相关知识点。

一、函数的定义
函数的定义简单来说，就是对于给定的一个数集 A 中的每一个元素x，按照某种对应法则 f，在另一个数集 B 中都有唯一确定的元素 y 与
之对应，那么就称 f 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ A。

其中，x 叫做自变量，y 叫做因变量。

二、函数的三要素
1、定义域
定义域是指自变量 x 的取值范围。

确定函数的定义域时，需要考虑
以下几个方面：
（1）分式的分母不为零。

（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数大于零。

（4）零次幂的底数不为零。

2、值域
值域是指因变量 y 的取值范围。

求函数的值域需要根据函数的类型和定义域来确定，常见的方法有观察法、配方法、换元法、判别式法等。

3、对应法则
对应法则是函数的核心，它决定了自变量和因变量之间的关系。

同一个对应法则，在不同的定义域上可能是不同的函数。

三、函数的表示方法
1、解析法
用数学式子表示两个变量之间的对应关系，如 y ＝ 2x ＋ 1。

2、列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系，例如在一个表格中列出不同的 x 值及其对应的 y 值。

3、图象法
用图象来表示两个变量之间的对应关系，图象能够直观地反映函数的性质。

四、函数的性质
1、单调性
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），那么就说
函数 f(x)在区间 D 上是增函数（或减函数）。

2、奇偶性
设函数 f(x)的定义域为 D，如果对于任意的 x ∈ D，都有 x ∈ D，
且 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数；如果对于任意的 x ∈ D，
都有 x ∈ D，且 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数。

3、周期性
对于函数 y ＝ f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定
义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x)都成立，那么就把函数 y ＝ f(x)
叫做周期函数，周期为 T。

五、常见函数类型
1、一次函数
形如 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数叫做一次函数。

当 b ＝ 0 时，y ＝ kx 叫做正比例函数。

2、二次函数
一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），其图象是一条抛物线。

当 a
＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。

3、反比例函数
形如 y ＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0）的函数叫做反比例函数，其图象是双曲线。

4、指数函数
形如 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1）的函数叫做指数函数。

5、对数函数
形如 y ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1）的函数叫做对数函数。

六、函数的运算
1、函数的和差
两个函数 f(x)和 g(x)的和（差）为 f(x) ± g(x)。

2、函数的积
两个函数 f(x)和 g(x)的积为 f(x)·g(x)。

3、函数的商
两个函数 f(x)和 g(x)的商为 f(x)／g(x)（g(x) ≠ 0）。

七、函数的复合与反函数
1、复合函数
设 y ＝ f(u)，u ＝ g(x)，则 y ＝ fg(x)叫做由函数 u ＝ g(x)和 y ＝ f(u)复合而成的复合函数。

2、反函数
一般地，设函数 y ＝ f(x)（x ∈ A)的值域为 C，若找得到一个函数g(y)在每一处 g(y)都等于 x，这样的函数 x ＝ g(y)（y ∈ C)叫做函数 y ＝ f(x)（x ∈ A)的反函数。

总之，函数是数学中一个十分重要且基础的概念，掌握好函数的相关知识对于进一步学习数学和解决实际问题都具有重要意义。

通过对函数定义、三要素、表示方法、性质、常见类型、运算、复合与反函数等知识点的学习和理解，能够帮助我们更好地运用函数来描述和解决各种数学问题。

希望大家能够认真学习，熟练掌握这些知识，为今后的学习打下坚实的基础。