高一数学绝对值不等式试题

高一数学绝对值不等式试题
1.（2014•江西）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．
解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|
=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|
≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，
当且仅当x∈[0，]，y∈[0，1]成立．
故选：C．
点评：本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．2.（2014•宜春模拟）若关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|≤a2﹣2a﹣1在R上的解集为∅，则实数a
的取值范围是（）
A．a＜﹣1或a＞3B．a＜0或a＞3C．﹣1＜a＜3D．﹣1≤a≤3
【答案】C
【解析】|x﹣1|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值等于2，再
由a2﹣2a﹣1＜2，解得a的取值范围．
解：|x﹣1|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值等于2，
由题意|x﹣1|+|x﹣3|≤a2﹣2a﹣1的解集为空集，
可得|x﹣1|+|x﹣3|＞a2﹣2a﹣1恒成立，
故有2＞a2﹣2a﹣1，解得﹣1＜a＜3，
故选：C．
点评：本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，得到2＞a2﹣2a﹣1，是解题的关键，属于
中档题．
3.（2014•吉安二模）已知f（x）=|x﹣1|+|x+m|（m∈R），g（x）=2x﹣1，若m＞﹣1，x∈[﹣m，1]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣1，﹣]B．（﹣1，﹣）C．（﹣∞，﹣]D．（﹣1，+∞）
【答案】B
【解析】依题意，x∈[﹣m，1]时，f（x）=1﹣x+x+m=1+m；又x∈[﹣m，1]，不等式f（x）＜g （x）恒成立，问题转化为1+m＜g（x）
min
=﹣2m﹣1恒成立，从而可得答案．
解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+m|，
∴当m＞﹣1，x∈[﹣m，1]时，f（x）=1﹣x+x+m=1+m；
又g（x）=2x﹣1，x∈[﹣m，1]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，
即1+m＜2x﹣1（x∈[﹣m，1]）恒成立，
又当x∈[﹣m，1]时，g（x）
min =﹣2m﹣1，
∴1+m＜﹣2m﹣1，
解得：m＜﹣，又m＞﹣1，
∴﹣1＜m＜﹣．
故选：B．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与综合运算能力，属于中档题．
4.（2014•梧州模拟）不等式|x2﹣1|＞3的解集为（）
A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【答案】D
【解析】由原不等式可得可得 x2﹣1＞3，或 x2﹣1＜﹣3，分别求得每个不等式的解集，再取并集，即得所求．
解：由不等式|x2﹣1|＞3，可得 x2﹣1＞3，或 x2﹣1＜﹣3．
解x2﹣1＞3，可得 x＞2，或 x＜﹣2；解x2﹣1＜﹣3可得 x无解．
综上可得，不等式的解集为[x|x＞2，或 x＜﹣2}，
故选：D．
点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．5.（2013•红桥区二模）已知集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，
则b﹣a=（）
A．﹣3B．﹣1C．3D．7
【答案】C
【解析】解绝对值不等式求得 M={x|﹣3≤x≤2}，再由N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，可得
a=﹣1，b=2，从而求得b﹣a的值．
解：由于|x+2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2和1对应点的距离之和，
而﹣3和2对应点到﹣2和1对应点的距离之和正好等于5，故由|x+2|+|x﹣1|≤5可得﹣3≤x≤2，
∴集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}={x|﹣3≤x≤2}．
再由N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，可得a=﹣1，b=2，b﹣a=3，
故选C．
点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题．6.（2013•红桥区二模）集合A={x||x﹣2|≤2}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）
A．{x|﹣4≤x≤4}B．{x|x≠0}C．{0}D．∅
【答案】C
【解析】解绝对值不等式|x﹣2|≤2可求得集合A，由y=﹣x2，﹣1≤x≤2可求得集合B，从而可得
A∩B．
解：∵|x﹣2|≤2，
∴﹣2≤x﹣2≤2，
∴0≤x≤4，即A={x|0≤x≤4}；
又B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}={y|﹣4≤y≤0}，
∴A∩B={0}．
故选C．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的值域，考查交集及其运算，求得集合A与集合
B是关键，数中档题．
7.（2014•湖南）若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a= ．
【答案】﹣3
【解析】分a=0、a＞0、a＜0三种情况，分别去掉绝对值求得不等式的解集，再把求得的解集和
所给的解集作对比，从而求得a的值，综合可得结论．
解：显然，a=0不满足条件．
当a＞0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得﹣＜x＜，
再根据的解集为{x|﹣＜x＜}，∴，a无解．
当a＜0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得＜x＜﹣，
再根据的解集为{x|﹣＜x＜}，∴，解得a=﹣3，
故答案为：﹣3．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
8.（2014•重庆模拟）不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围
为．
【答案】[1，3]
【解析】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出siny的最大值，若不等式恒成立，则|a﹣2|≤1，解这个绝对值不等式，即可得到答案．
解：∵∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
∴||∈[2，+∞），其最小值为2
又∵siny的最大值为1
故不等式恒成立时，
有|a﹣2|≤1
解得a∈[1，3]
故答案为[1，3]
点评：本题考查的知识点是绝对值三角不等式的解法，其中根据对勾函数及三角函数的性质，将不等式恒成立转化为|a﹣2|≤1，是解答本题的关键．
9.（2014•江西二模）不等式|2﹣x|+|x+1|≤a对任意x∈[0，5]恒成立的实数a的取值范围是．【答案】[9，+∞）
【解析】：|2﹣x|+|x+1|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，当x∈[0，5]时，其最大值为9，故应有a≥9．
解：|2﹣x|+|x+1|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，当x∈[0，5]时，
|2﹣x|+|x+1|的最大值为9．要使不等式|2﹣x|+|x+1|≤a对任意x∈[0，5]恒成立，需a≥9，
故实数a的取值范围是[9，+∞），
故答案为[9，+∞）．
点评：本题考查绝对值的意义，函数的最大值及函数的恒成立问题，求出|2﹣x|+|x+1|的最大值为9，是解题的关键．
10.（2014•安徽模拟）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．
【答案】[﹣2，4]．
【解析】利用绝对值的几何意义，可得到|a﹣1|≤3，解之即可．
解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，
∵（|PA|+|PB|）
min =|a﹣1|，
∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤3就可以了，即|a﹣1|≤3，
∴﹣2≤a≤4．
故实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．
故答案为：[﹣2，4]．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a﹣1|≤3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．。