数模最短路与最优问题

G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
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关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 0
若vi与e
相关联
j
若vi与e
不关联
j
注：假设图为无向简单图
e1 e2 e3 e4 e5
1 0 0 0 1 v1
M= 1 1 0 1 0 v2
0 0
0 1
1 1
1 0
算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终 l(v) 为从顶点 u0 到 v 的最短路的权．
S：具有永久标号的顶点集
输入: G 的带权邻接矩阵 w(u, v)
算法步骤：
（１）赋初值：令 S＝{ u0 }, l(u0 ) =0 v S V \ S ,令 l(v) =W(u0 ,v) , z(v) = u0 u u0
• Euler把南北两岸和四个岛抽象成四个点,将连接这些 陆地的桥用连接相应两点的一条线来表示,就得到如下 一个简图:
A
N
S
B
欧拉的结论
• 欧拉指出:一个线图中存在通过每边一次仅一次 回到出发点的路线的充要条件是:
• 1)图是连通的,即任意两点可由图中的一些边连接 起来;
• 2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数.
（２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度， 记为 d＋(v) ，从顶点 v 引入的边的数目称为 v 的入度，记为d－(v) ，
d (v) = d＋(v) + d－(v) 称为 v 的次数．
d(v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
定理１ d(v) 2 (G) vV (G)
例如,在1978年,美国财政部的税务分析部门在对 卡特尔税制改革做评估的过程中,就有一个 100,000个约束以上,25,000,000个变量的问题,若 用普通的线性规划求解,预计要花7个月的时间.他 们利用网络分析的方法,将其分解成6个子问题,利 用特殊的网络计算机程序,花了大约7个小时问题 就得到了解决.
5.图的广泛应用
图的应用是非常广泛的,在工农业生产、交通运 输、通讯和电力领域经常都能看到许多网络,如 河道网、灌溉网、管道网、公路网、铁路网、电 话线网、计算机通讯网、输电线网等等.还有许 多看不见的网络,如各种关系网,像状态转移关系、 事物的相互冲突关系、工序的时间先后次序关系 等等,这些网络都可以归结为图论的研究对象— —图.其中存在大量的网络优化问题需要我们解 决.还有象生产计划、投资计划、设备更新等问 题也可以转化为网络优化的问题.
其中的元素叫图 G 的顶点. [2] E 称为边集，其中的元素叫图 G 的边.
[3] 是从边集 E 到顶点集 V 中的有序或无序的元素
偶对构成集合的映射，称为关联函数.
例1 设 G=(V,E, )，其中
V={v1 ,v2 , v3 , v4}， E={e1, e2 , e3, e4, e5},
(e1) v1v2 , (e2 ) v1v3, (e3) v1v4, (e4 ) v1v4, (e5 ) v4v4 .
若(vi , v j ) E
v1
0
A= 2
7
v2 v3 v4
2 7 v1 0 8 3 v2
8 3
0 5
5 0
v3 v4
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最短路问题及其算法
一、 基 本 概 念 二、固 定 起 点 的 最 短 路 三、每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路
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基本概念
定义１ 在无向图 G=(V,E, )中： （１）顶点与边相互交错且 (ei ) vi1vi (i=1,2,…,k)的有限非空序列 w (v0e1v1e2 vk1ek vk ) 称为一条从 v0 到 vk 的通路，记为Wv0vk （２）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为 Tv0vk （３）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为 Pv0 vk
(2) 设 V1 V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的
图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1导出的子图，记为 G[V1].
(3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图,
称为 G 的由 E1导出的子图,记为 G[E1].
z(v) 追溯到 u0 , 就得到 u0 到 v 的最短路的路线.
例 求下图从顶点 u 1 到其余顶点的最短路． TO MATLAB(road1)
先写出带权邻接矩阵：
0
2 0
1
8 6
1
W
0
7 0
5
1
9 2
0 3 9
0 4 6
0
3 0
因 G 是无向图，故 W 是对称矩阵．
• 由此得出论:七桥问题无解.
欧拉由七桥问题所引发的研究论文是图论的开篇 之作,因此称欧拉为图论之父.
4.图的作用 图是一种表示工具.改变问题的描述方式,往 往是创造性的启发式解决问题的手段.一种描述 方式就好比我们站在一个位置和角度观察目标, 有的东西被遮挡住了,但如果换一个位置和角度, 原来隐藏着的东西就可能被发现.采用一种新的 描述方式,可能会产生新思想.图论中的图提供 了一种直观,清晰表达已知信息的方式.它有时 就像小学数学应用题中的线段图一样,能使我们 用语言描述时未显示的或不易观察到的特征、 关系,直观地呈现在我们面前,帮助我们分析和 思考问题,激发我们的灵感.
通 路 W v 1 v 4 v 1 e 4 v 4 e 5 v 2 e 1 v 1 e 4 v 4 道 路 T v 1 v 4 v 1 e 1 v 2 e 5 v 4 e 6 v 2 e 2 v 3 e 3 v 4 路 径 P v 1 v 4 v 1 e 1 v 2 e 5 v 4
定 义 ２ （ １ ） 任 意 两 点 均 有 路 径 的 图 称 为 连 通 图 ． （ ２ ） 起 点 与 终 点 重 合 的 路 径 称 为 圈 ． （ ３ ） 连 通 而 无 圈 的 图 称 为 树 ．
数学建模与数学实验
最短路径与最优匹配问题
主讲：陈六新
实验目的 实验内容
1．了解最短路与最优匹配的算法及其应用 2．会用MATLAB软件求最短路与最优匹配
1．图 论 的 基 本 概 念
2．最 短 路 问 题 及 其 算 法
3．最 短 路 的 应 用 4．最优匹配及算法
（2）更新 l(v) 、 z(v) ： v S V \ S ,若 l(v) > l(u) W(u,v) 则令 l(v) = l(u) W(u,v) , z(v) = u
（3） 设 v * 是使 l(v) 取最小值的 S 中的顶点，则令 S=S∪{ v * }， u v*
（ 4 ） 若 S φ ， 转 2 ， 否 则 ， 停 止 . 用上述算法求出的 l(v) 就是 u0 到 v 的最短路的权，从 v 的父亲标记
0 1
v3 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 1
0
若vi
是e
的起点
j
若vi
是e
的终点
j
若vi与e j不关联
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邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
aij 10
若vi与v j相邻 若vi与v j不相邻
注：假设图为简单无向图
v1
0 A= 1
0
2 0
1
8 6
1
0
7
9
W
0 5 1 2 0 3 9
0 4 6
迭代
0
3 0
次数
u1
１
０
2
3
4
5
6
7
8
l(u)W (u,v)
l(ui )
u2
u3 u4
u5
２１８
2
8
8
3
8
7
最后标记:
l (v)
02 17
3
z (v)
u1 u1
u1 u6
u2
u6 u7
u8
10
10
6 10 12
0 1
v2 v3 v4
1 0 1 v1 0 1 1 v2
1 1
0 1
1 0
v3 v4
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
aij 10
若（vi，v j） E 若（vi，v j） E
对有向赋权图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
wij aij 0
若(vi , v j ) E,且wij为其权 若i j
10 12
9 12
12
6 9 12 u5 u4 u5
6.基本的网络优化问题 基本的网络优化问题有:最短路径问题、最小 生成树问题、最大流问题和最小费用问题.图论 作为数学的一个分支,已经有有效的算法来解决 这些问题.当然这当中的有些问题也可以建立线 性规划的模型,但有时若变量特别多,约束也特 别多,用线性规划的方法求解效率不高甚至不能 在可忍受的时间内解决.而根据这些问题的特点, 采用网络分析的方法去求解可能会非常有效.
为顶点的数目．
( 7)若 V=X Y，X Y= ，且 X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶
点不相邻，则称 G 为二元图（或二分图）；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点 相邻，则 G 称为完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y 的顶 点数目．
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顶点的次数
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数 目（环算两次）称为 v 的次数（或度数），记为d (v) ．
5．建模案例：最优截断切割问题
6．实验作业
图论的基本概念
一、 图 的 概 念 1．图的定义 2．顶点的次数 3．子图
二、 图 的 矩 阵 表 示 1． 关联矩阵
2． 邻接矩阵
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图的定义
定义 有序三元组G=(V,E, )称为一个图,如果：
[1] V={v1, v2 , , vn }是有限非空集，V 称为顶点集，
1.图论问题的起源
• 18世纪东普鲁士哥尼斯堡被普列戈尔河分为四块,它 们通过七座桥相互连接,如下图.当时该城的市民热衷于 这样一个游戏:“一个散步者怎样才能从某块陆地出发， 经每座桥一次且仅一次回到出发点？”
N
A
B
S
七桥问题的分析
• 七桥问题看起来不难，很多人都想试一试，但没有 人找到答案 .后来有人写信告诉了当时的著名数学家欧 拉.千百人的失败使欧拉猜想,也许那样的走法根本不可 能.1876年,他证明了自己的猜想.
推论１ 任何图中奇次顶点的总数必为偶数．
例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数.
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子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(1) 若 V1 V，E1 E,且当 e E1 时， 1 ( e )= ( e ),则称 G1 是 G 的子图．
特别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点
的最短路．
3
4
6
8
1
2
5
7
Dijkstra 算法：求 G 中从顶点 u0 到其余顶点的最短路.
设 G 为赋权有向图或无向图，G 边上的权均非负．
对每个顶点，定义两个标记（ l(v) ， z(v) ），其中: l(v) ：表从顶点 u0 到 v 的一条路的权． z(v) ：v 的父亲点，用以确定最短路的路线
定义３ （１）设 P(u, v) 是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径，
则称 w(P) w(e)为路径 P 的权． eE ( P )
(2) 在赋权图 G 中，从顶点 u 到顶点 v 的具有最小权的路 P(u, v) ，称为 u 到 v 的最短路．
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固定起点的最短路
最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路． 假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其 余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树．
常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边（或平行边）．
（３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边．
（４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
G 的图解如图
定义 在图 G 中，与 V 中的有序偶(vi， vj)对应的边 e ，称为图的有向边 （或弧），而与 V 中顶点的无序偶 vivj 相对应的边 e ，称为图的无
向边.每一条边都是无向边的图，叫无向图；每一条边都是有向 边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混合图.
定义 若将图 G 的每一条边e 都对应一个实数 w (e )，则称 w (e )为边的 权，并称图 G 为赋权图. 规 定 用 记 号 和 分 别 表 示 图 的 顶 点 数 和 边 数 .