2021年高三12月阶段性考试数学试题

2021年高三12月阶段性考试数学试题
命题∶王建国
xx-12-01
时间∶120分钟，满分∶160分。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答卷纸相应位．．．．．．置．
上。

1. 已知集合，则________.
2. 已知是实数，是纯虚数，则___________.
3．如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和
一个最低分后，则剩下数据的方差________. 4. 设等差数列的前n 项和为=+++==1413121184,20,8,a a a a S S S n 则若________.
5. 已知，直线则直线的概率为 .
6．已知直线，平面，且.下列命题中，其中正确命题的序号是 __. ①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则. 7. 已知双曲线C:的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与轴的交点为B ，若A 是线段BF
的中点，则双曲线C 的离心率为 .
8. 已知222
:450,:210(0)p x x q x x m m -->-+->>，若p 是q 的充分不必要条件，则m
的最大值为 . 9．已知结论：“在三边长都相等的中，若是的中点，是外接圆的圆心，则”．若把该结论推广
到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体中，若是的三边中线的交点，为四面体外接球的球心，则 ”．
10. 若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则的最小值是________．
11. 设x,y 满足约束条件，则的取值范围是______________.
12．在平面直角坐标系中，已知A （0，－1），B （－3，－4）两点，若点C 在的平分线上，且，
则点C 的坐标是_________．
13. 数列中,，则数列的前项的和为_________.
14. 已知函数201221122012)(+++++++-+-++-=x x x x x x x f ，且，则满足条件的实数的取值范围是_________．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)
在中，角所对的边分别为．已知，
，．
（1）若，，求的面积； （2）求的值．
16．(本小题满分14分) 在三棱柱中，， ， ．
（1）求证：平面平面；
（2）如果为的中点，求证：∥平面．
17. (本小题满分14分) 如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来
处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已
知米，米，记. （1）试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定
义域；
（2）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时 管道的长度.
18. (本小题满分16分)
如图，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且． （1）求椭圆的方程； （2）求的最小值；
（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．
19. (本小题满分16分)
已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋2＝(1＋2|cos n π2|)a n ＋|sin n π
2|，n ∈N *.
(1) 证明：数列{a 2n }(k ∈N *}为等比数列； (2) 求数列{a n }的通项公式；
(3) 设b k ＝a 2k ＋(－1)k －
1λ·2(λ为非零整数)，试确定λ的值，使得对任意k ∈N *都有b k ＋1＞b k 成立.
20. (本小题满分16分)
已知函数.
(1)试判断函数在上单调性并证明你的结论； (2)若恒成立，求整数的最大值； (3)求证：
江苏省东台中学xx 届高三阶段性考试
数学(附加题部分)试题
时间∶30分钟，满分∶40分。

21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲
自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点， 过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．
（第21—A 题）
B ．选修4—2：矩阵与变换
已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2 a b 1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求
a ，
b 的值．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
已知椭圆中心在原点，焦点在轴上, 离心率为，点是椭圆上的一个动点，若 的最大值为，求椭圆的标准方程．
D ．选修4—5：不等式选讲
若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22．如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． ⑴ 求PA 的长；
⑵ 求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．
23. 在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
（2）设在该次比赛中，甲队得分为,求的分布列和数学期望.
精品文档
江苏省东台中学xx 届高三阶段性考试
数 学 答 卷
1． 2． 3． 4．
5． 6． 7. 8．
9． 10． __ 11． 12．
13． 14．
二、解答题 : (本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤). 15.（本小题满分14分） 16．（本小题满分14分）
17．（本小题满分14分）
18．(本小题满分16分)
班级__________学号________姓名______________考场__________年级考试总号_______________ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 密 封 线 内 不 要 答 题
_______________
_________________________________________________________________________________________________________
精品文档
20．（本小题满分16分）19．（本小题满分16分）
21.B 21.C 21.D
23.
班级__________学号________姓名______________考场__________年级考试总号_______________ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 密 封 线 内 不 要 答 题 ________________________________________________________________________________________________________________________
江苏省东台中学xx届高三阶段性考试
数学答案
xx.12.01
：1. 2.1 3.15 4.18 5. 6. ①④ 7. 8.2 9.3 10. 11. 12. 13.
14.
15. （1）由可知，，……………4分
因为，所以,所以，即……6分
由正弦定理可知：，所以，因为
所以，所以……………………8分
所以……………………9分
（2）原式=
=……………………14分
16.（1）在……………………2分
，……………………4分
又……………………6分
.. ……………………7分
（2）连接，连接DO,
则由D为AB中点，O为中点得，∥, ……………………11分
平面平面，∴∥平面……………………14分
17.解：（1），…………………………………………2分
………………………………………………………4分
由于，
，
， .………………………8分
（2）=
设则
由于，所以sin cos)
4
t
π
θθθ
=+=+∈
在内单调递减，于是当时时
的最大值米. …………………………………………………13分
答：当或时所铺设的管道最短，为米.…………14分
18.（1），且过点，
22
222
19
1,
4
2,
,
a b
a c
a b c
⎧
+=
⎪
⎪
∴=
⎨
⎪=+
⎪
⎩
解得椭圆方程为.……………………4分
设点则，
，
又
2111
11
1515
MN y y y y
y y
=-=-=
－+≥
的最小值为．…………………10分
圆心的坐标为，半径.
圆的方程为，
整理得：. ………………16分
，
令，得，.
圆过定点.…………………………………16分
19. 解：(1)设n＝2k(k∈N*)
∵a2n＋2＝(1＋2|coskπ|)a2k＋|sinkπ|＝3a2k，又a2＝3，
∴当k∈N*时，数列{a2k}为首项为3，公比为3的等比数列；……4'
(2)设n＝2k－1(k∈N*)
由a2k＋1＝(1＋2|cos(k－
1
2)π|)a2k－1＋|sin(k－
1
2)π|＝a2k－1＋1
∴当k∈N*时，{a2k－1}是等差数列∴a2k－1＝a1＋(k－1)·1＝k……6'
又由(1)当k∈N*时，数列{a2k}为首项为3，公比为3的等比数列
∴a2k＝a2·3k－1＝3k……6'
综上，数列{a n}的通项公式为……8'
(3)b k＝a2k＋(－1)k－1λ·2＝3k＋(－1)k－1λ·2k，
∴b k＋1－b k＝3k＋1＋(－1)kλ·2k＋1－3k－(－1)k－1λ·2k＝2·3k＋(－1)kλ·3·2k
由题意，对任意k∈N*都有b k＋1＞b k成立∴b k＋1－b k＝2·3k＋(－1)kλ·3·2k＞0恒成立
⇒2·3k＞(－1)k－1λ·3·2k对任意k∈N*恒成立……11'
①当k 为奇数时，2·3k
＞λ·3·2k
⇒ λ＜2·3k 3·2k ＝23·(32
)k
对任意k ∈N *恒成立
∵k ∈N *，且k 为奇数，∴23·(32)k ≥23·3
2
＝1∴λ＜1
……13'
②当k 为偶数时，2·3k
＞－λ·3·2k
⇒ λ＞－2·3k 3·2k ＝－23·(32)k
对任意k ∈N *恒成立
∵k ∈N *，且k 为偶数，∴－23·(32)k ≤－23·(32)2＝－32，∴λ＞－3
2
……15'
综上：有－3
2＜λ＜1
……12'∵λ为非零整数，∴λ＝－1. ……16'
20. 解：解：(1)22111()[1ln(1)][ln(1)]11
x f x x x x x x x '=--+=-++++…………(2分) 21
0,0,
0,ln(1)0,()01
x x x f x x '>∴>>+>∴<+ 上是减函数.……………………………………………………(4分) (2)(1)[1ln(1)](),()1k x x f x h x k x x
+++>
=>+恒成立即恒成立 即h (x )的最小值大于k .…………………………………………………………(6分)
1ln(1)
(),()1ln(1)(0)x x h x g x x x x x
--+'=
=--+>
则上单调递增， 又
存在唯一实根a ，且满足
当()0,()00()0,()0x a g x h x x a g x h x ''>>><<<<，，， ∴min
()
(1)[1ln(1)]
()1(3,4)x a a h h a a a
+++===+∈
故正整数k 的最大值是3 ……………………10分 (3)由(Ⅱ)知
∴ ………………12分 令，则
∴ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n ＋1)]
333
(2)(2)[2]1213(1)
131
23[]
1223(1)
13
23(1)2323
11
n n n n n n n n n n >-
+-++-⨯⨯+=-+++⨯⨯+=--=-+>-++ ∴(1＋1×2)(1＋2×3)…[1＋n(n ＋1)]＞e 2n －3
………………16分
21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲
自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点， 过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小． 解:因为MA 为圆O 的切线，所以． 又M 为PA 的中点，所以．
因为，所以． ……5分 于是．
在△MCP 中，由，得∠MPB =20°．……10分 B ．选修4—2：矩阵与变换
已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
a b
1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求
a ，
b 的值．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
椭圆中心在原点，焦点在轴上。

离心率为，点是椭圆上的一个动点， 若的最大值为，求椭圆的标准方程． 解：离心率为，设椭圆标准方程是，
它的参数方程为是参数 ………5分 最大值是， 依题意，，椭圆的标准方程是 ………10分 D ．选修4—5：不等式选讲
若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求的最小值． 解:因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1， 所以，
(
)
()()()()2111323232111323232a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣
⎦+++≥，…………5分 （第21—A 题）
即，当且仅当，即时，原式取最小值1． ………10分
22．解 如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐
标系,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),P (0,0,a ).
因为M 是PC 中点,所以M 点的坐标为(12,12,a 2)，所以AM →
= (12,12,a 2
)，
BD → = (–1,1,0)，BP →
= ( – 1,0,a ). ⑴因为AM → 平面PBD ,所以AM →·BD → = AM →·BP →
= 0.即
– 1
2 + a 22
= 0,所以a = 1,即PA = 1. …………………………………4分
⑵由AD → = (0,1, 0),M →
= (12,12,12
),可求得平面AMD 的一个法向量n = ( –
1,0,1).又CP → = ( – 1,–1,1).所以cos<n , CP →
> = n ·CP →|n |·|CP →| = 22·3
= 63.
所以,PC 与平面AMD 所成角的正弦值为6
3
.……………………………10分
23 解：（1）设用队获第一且丙队获第二为事件A ，则 ………………………………………（5分） （2）可能的取值为0，3，6；则 甲两场皆输：
甲两场只胜一场： 甲两场皆胜：
…………………………（10分） 25407 633F 挿 0
L•40335 9D8F 鶏21835 554B 啋M 31936 7CC0 糀d24430 5F6E 彮。