小学四年级奥数中一类“增减倍数”问题的通用解法

小学四年级奥数中一类“增减倍数”问题的通用解法
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本文讨论的问题及解法都限制在正整数范围内。

虽然为了分析和表达问题方便而使用了一些字母，但不使用分数，更不用列方程的方法解题。

本文旨在讨论一种针对此类问题的通用思路，而忽略可能很巧妙简捷但不能通用的方法。

1问题：原来甲N倍于乙。

甲乙各增（减）若干后，倍数关系发生改变。

求甲、乙原数。

2解法：在乙增（减）d的情况下，为使甲仍然保持N倍于乙的关系，甲应增（减）Nd。

从这一基本关系出发，导出变化量与已知量之间的关系，从而求出未知量。

用线段表示数量，可以帮助分析数量之间的关系。

4 例题
4.1 甲加a，乙加b
例1：原来甲5倍于乙，若甲加60，乙加40，则甲3倍于乙。

求甲、乙原数。

解法：在乙加40 （由PQ变为PR）的情况下，为使甲仍然保持5倍于乙的关系，甲应加5*40=200（由AB变为AD），故得关系式：
AD=5PR （1）
但已知甲加60（变为AC）而3倍于PR，故得关系式：
AC=3PR （2）
由关系式（1）（2）或图中均可得关系式：
CD=2PR （3）
从图中容易看出：
CD=200-60 （4）
从（3）（4）便可求得PR=(200-60) / 2。

综合列式：
(40*5-60)/ (5-3)=70 （此式求得PR）
70-40=30 （原乙：PQ=PR-QR）
30*5=150 （原甲）
例2：原来甲5倍于乙，若甲加130，乙加10，则甲7倍于乙。

求甲、乙原数。

解法：在乙加10 （由PQ变为PR）的情况下，为使甲仍然保持5倍于乙的关系，甲应加5*10=50（由AB变为AD），故得关系式：
AD=5PR （1）
但实际上甲加130（变为AC）而7倍于PR，故得线段关系式：
AC=7PR （2）
由关系式（1）（2）或图中均可得关系式：
CD=2PR （3）
从图中容易看出：
CD=130-50 （4）
从（3）（4）便可求得PR=(130-50) / 2。

综合列式：
(130-10*5)/ (7-5)=40（此式求得PR）
40-10=30（原乙：PQ=PR-QR）
30*5=150（原甲）
回顾以上两题，可发现线段CD在解题过程中都起到重要作用，CD的意义是：“为使甲与乙仍保持同样的倍数关系甲应达到的数值”与“题设中规定甲达到的数值”之间的差。

这
是一个容易求出的数值。

请注意：这个带有规律性的现象在下面还会出现。

例3：原来甲5倍于乙，若甲加20，乙加310，则乙2倍于甲。

求甲、乙原数。

R
解法：在乙加310 （由PQ变为PR）的情况下，为使甲仍然保持5倍于乙的关系，甲应加5*310（由AB变为AD），故得关系式：
AD=5PR （1）
但题设甲加20（变为AC），而PR是AC的2倍，故得关系式：
PR=2AC （2）
由关系式（1）（2）或图中均可得关系式：
AD=10AC （3）
对于小学生而言理解由（1）（2）导出（3）是解决本题的难点（由x=ky和y=hz推出x=khz）。

从图中容易看出：
CD=9AC （4）
还有
CD=310*5-20 （5）
从（5）（4）便可求得AC=(310*5-20)/ 9。

综合列式：
(310*5-20)/ (2*5-1)=170（此式求得AC）
170-20=150（原甲）
150/ 5=30（原乙）
对于小学生而言，应能结合图形解释以上3个式子的意义。

4.2 甲减a，乙减b
例4：原来甲5倍于乙，若甲减24，乙减16，则甲9倍于乙。

求甲、乙原数。

解法：在乙减16 （由PQ变为PR）的情况下，为使甲仍然保持5倍于乙的关系，甲应减5*16=80（由AB变为AC），故得关系式：
AC=5PR （1）
但题设甲减24（变为AD）而9倍于PR，故得关系式：
AD=9PR （2）
由关系式（1）（2）或图中均可得关系式：
CD=4PR （3）
从图中容易看出：
CD=80-24 （4）
从（3）（4）便可求得PR=(80-24) / 4。

综合列式：
(16*5-24)/ (9-5)=14（此式求得PR）
14+16=30 （原乙：PQ=PR+RQ）
30*5=150（原甲）
例5：原来甲5倍于乙，若甲减90，乙减10，则甲3倍于乙。

求甲、乙原数。

解法：在乙减10 （由PQ变为PR）的情况下，为使甲仍然保持5倍于乙的关系，甲应减5*10=50（由AB变为AD），故得关系式：
AD=5PR （1）
但题设甲减90（变为AC）而3倍于PR，故得关系式：
AC=3PR （2）
由关系式（1）（2）或图中均可得关系式：
CD=2PR （3）
从图中容易看出：
CD=90-50 （4）
从（3）（4）便可求得PR=(90-50)/2。

综合列式：
(90-10*5)/ (5-3)=20（此式求得PR）
20+10=30（原乙：PQ=PR+RQ）
30*5=150（原甲）
例6：原来甲5倍于乙，若甲减142，乙减6，则乙3倍于甲。

求甲、乙原数。

解法：在乙减6 （由PQ变为PR）的情况下，为使甲仍然保持5倍于乙的关系，甲应减5*6=30（由AB变为AC），故得关系式：
AC=5PR （1）
但实际上甲减142（变为AD），而PR是AD的3倍，故得关系式：
PR=3AD （2）
由关系式（1）（2）或图中均可得关系式：
AC=3*5AD （3）
理解由（1）（2）导出（3）是解决本题的关键（由x=5y和y=3z推出x=15z）。

从图中容易看出：
CD=14AD （4）
还有
CD=142-30 （5）
从（5）（4）便可求得AD=(142-30)/ 14。

综合列式：
(142-5*6)/ (3*5-1)=8（此式求得AD）
142+8=150 （原甲）
150/ 5=30（原乙）
4.3 甲加a乙减b，或甲减a乙加b
例7：原来甲5倍于乙，若甲加10，乙减20，则甲16倍于乙。

求甲、乙原数。

解法：在乙减20 （由PQ变为PR）的情况下，为使甲仍然保持5倍于乙的关系，甲应减5*20=100（由AB变为AD），故得关系式：
AD=5PR （1）
但题设甲加10（变为AC）而16倍于PR，故得关系式：
AC=16PR （2）
由关系式（1）（2）或图中均可得关系式：
CD=(16-5)PR （3）
从图中容易看出：
CD=5*20+10 （4）
从（3）（4）便可求得PR=(5*20+10)/11。

综合列式：
(5*20+10)/ (16-5)=10（此式求得PR）
20+10=30（原乙：PQ=PR+RQ）
30*5=150（原甲）
例8：原来甲5倍于乙，若甲减30，乙加10，则甲3倍于乙。

求甲、乙原数。

解法：在乙加10 （由PQ变为PR）的情况下，为使甲仍然保持5倍于乙的关系，甲应加5*10=50（由AB变为AC），故得关系式：
AC=5PR （1）
但题设甲减30（变为AD）而3倍于PR，故得线段关系式：
AD=3PR （2）
由关系式（1）（2）或图中均可得关系式：
CD=2PR （3）
从图中容易看出：
CD=5*10+30 （4）
从（3）（4）便可求得PR=(5*10+30)/2。

综合列式：
(5*10+30)/ (5-3)=40（此式求得PR）
40-10=30（原乙：PQ=PR-RQ）
30*5=150（原甲）
例9：原来甲5倍于乙，若甲减100，乙加120，则乙3倍于甲。

求甲、乙原数。

解法：在乙加120 （由PQ变为PR）的情况下，为使甲仍然保持5倍于乙的关系，甲应加5*120（由AB变为AD），故得线段关系式：
AD=5PR （1）
但题设甲减100（变为AC），而PR是AC的3倍，故得关系式：
PR=3AC （2）
由关系式（1）（2）或图中均可得关系式：
AD=15AC （3）
理解由（1）（2）导出（3）是解决本题的关键（由x=3y和y=5z推出x=15z）。

从图中容易看出：
CD=14AC （4）
还有
CD=5*120+100 （5）
从（5）（4）便可求得AC=(5*120+100)/ 14。

综合列式：
(5*120+100)/ (3*5-1)=50（此式求得AC）
100+50=150 （原甲：AB=AC+BC）
150/ 5=30 （原乙）
从以上例3、例6、例9可以看出，在题中出现甲、乙大小逆转的情况下，需要由x=ky 和y=hz推出x=khz。

对于小学生而言，理解这一关系是解题的难点。