2019-2020年高中数学两角和与差的余弦公式教案苏教版必修4

2019-2020年高中数学两角和与差的余弦公式教案苏教版必修4
执教教师：陈亮时间：2010 年1 月13 日
授课班级：高一（G）班节次：第 2 节
学科及册别：数学必修 4 课本页码：91——93
章节：第三章第一节课时安排：第一课时
【教学三维目标】
1. 知识目标：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和
与差的余弦公式，解决相关数学问题。

2 能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学
生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3. 情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，
学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

【高考等级要求】C级
【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。

【教学难点】两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。

【突破措施】先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式
的深入理解和灵活运用。

【教材分析】这节内容是教材必修 4 的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历
年高考必考内容，一般在填空或解答题第15 题出现。

教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、
向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和
与差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单
位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的
余弦公式便具有了一般性。

【学情分析】本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。

他们经过半个多学期的高中
生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的
知识基础。

【学法设计】独立思考，生生交流探究，小组合作
【知识链接】诱导公式
平面向量的数量积
一、产生对公式的需求引入新课
引入：我们曾经学过乘法对减法的分配律：，余弦也是一种运算，那么
cos( ) cos cos 是否成立呢？
对这个问题我们目前几乎没有办法直接证明，但我们可以用特殊值检验其成立的可能性
2 cos15 cos( 45 30 ) ,而
2 cos 45 cos 30
2
2
3
2
cos(45 30 ) cos 45 cos 30
故cos( ) cos cos 不恒成立
那么到底等于什么呢？是否与角的三角函数有关呢？这便是我们这节课要研究的问题！
（首先让学生通过具体实例消除对“cos( α- β)=cos α-cos β”的误解，说明两角和（差）的
三角函数不能按分配律展开。

并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。

）
二、自主探究引发思考层层深入得出结论
独立思考以下问题：
(1) 向量的数量积
则
（2）单位圆上的点的坐标表示
图（1）图（2）
由图（1）可知：( ) , ( ) 则
问题 1 ：cos P cos(45 30 )
1OP
2
问题2 ：由cos(45 30 ) cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？
问题 3 ：两角和与差的余弦公式推导
（一）两角差的余弦公式
设夹角为，为任意角
a b cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
①当点在直线上或上方时
角与角终边相同，2k ,k Z
2k ,k Z
cos( ) cos
cos( ) cos cos sin sin
②当点在直线下方时
角与角终边相同，
2k ,k Z
cos( ) cos( ) cos
cos( ) cos cos sin sin
综上所述，cos( - ) cos cos sin sin ，对于任意的角都成立。

根据两角差的余弦公式，你可以猜猜
提示：令
（二）两角和的余弦公式（学生回答）
cos( ) cos cos sin sin
）
结论
：
两角和与差的余弦公式 C
（
）；
注： 1. 公式中两边的符号正好相反（一正一负
2. 式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；
3. 式子中α、β是任意的。

4 式子的逆用，变形用
α、β的任意性，所以赋予C( α+β) 公式的强大生命力
正因为
三．互相交流，小组活动公式应用闯关
第一关：小试身手
请用特殊角分别代替公式中α、β，你能求哪些非特殊角的值呢？
（选择的特殊角可以是30°60°45°等）
(1) ；(2) ；(3) ；⋯⋯
：学生动笔自由尝试、主动探索。

有的同学说会求cos15°、cos75°、cos105 °、cos(-15 °) 、预测
问题
cos165 °⋯⋯的值。

甚至可能有的同学会说他验证了c os30°=sin60 °⋯⋯. （让同学感受获得公式
后的第一份喜悦）由于初学公式的应用，我选择其中之一作示范。

第二关：再接再厉
呢？
若β固定，分别用代替α，你将会发现什么结论
(1)cos( ) ___________(2)cos( ) ___________
(3)cos( ) __________(4)cos( ) ___________
2 2
：引导同学发现余弦的诱导公式可用C(
意图
设计
α±β) 公式得到证明：
cos( ) cos , cos( ) sin , c os( ) sin . 初步让学生发现C( α±β) 公式是
2 2
诱导公式的推广。

（从而让同学感受获得公式后的第二份喜悦）
第三关：各显神通
倘若让你对
C(
α±β) 公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？
(1) cos __________
（）；(2) cos（）____________
4
(3) cos（）cos(_____) cos(_____) _____sin(_ ____)sin(_ ____)
(4) cos（）（）cos(_____)cos(_____)____sin(__ ___)sin(__ ___)
⋯⋯
问题预测
：可能有的同学发现cos2α=cos( α+α)=cos 2 α-sin 2 α，这是以后要学的二倍角公式，还有的同学发现：cos α=cos[( α+β)- β]=cos( α+β)cos β+sin( α+β)sin β，甚至有调皮
的同学发现cos0=cos( α- α)=cos 2α+sin 2α=1，这就无意中证明了平方关系，⋯⋯，（据此，
让
同学感受到C(
α±β) 公式的强大功能）。

（必要时，教师可适当提示）。

注：按课本编排未必能让同学注意公式中α, β的任意性，（而正是因α、β的任意性，所以才赋予
C( α+β) 公式的强大生命力）。

于是我设计上述三个有层次的A,B,C 级的问题，留时间先让同学用
特殊角自由赋值，逐渐摸索、尝试，不断总结、归纳。

这样更能使同学亲自感受公式的强大功能，
并掌握赋值法。

四．师生共同活
动数学运用
2 3 3
1. 例题：知sin , ( , ), cos , ( , ) ，求的值。

3 2 5 2
解：由，得
2
2 5
cos 1 2
sin 1 3 3
又由，得
sin 1 2
cos 1
2
3 4 5 5
由余弦的和角公式得
cos( ) cos cos sin sin
5 3 2 4 8 3 5
( )( )
3 5 3 5 15
注意：注意角、的象限，也就是符号问题.
2. 变式练习能力提高
的值。

4 5
已知都是锐角，,求cos , cos , cos( )
5 13
2
4 3 解：由，得sin 1 2
cos 1 5 5 又由，则得
sin( ) 1 2
cos
( ) 1
2
5 12
13 13
由余弦得差角公式得
cos cos（）cos（）cos sin（）sin
5 4 12 3 16
( )( )
13 5 13 5 65
五．达标检测：
（1）cos80 °cos20°+sin80 °sin20 °，初步学会逆用公式。

（2）cos130 °cos5°-sin130 °sin5 °
（3）cos 215°-sin 215°，为二倍角公式埋下伏笔。

（4）cos80 °cos35°+cos10°cos55°，逐步学会把不符合公式结构变形使之符合。

（5）（xx 全国高考题）设，若，则，利用高考题的引用让学生串连三角函数的相关知识。

⑴. ⑵. - ⑶. ⑷. ⑸.
六．学习反思
知识网建构：
向量的数量积
以-β代β
C (α+β) C (
α-β)
α、β任意角
赋值
求cos15°等
诱导公式及其它
七．课时总结:
1、牢记公式的结构特点，学会逆用公式。

不符合公式结构特点的，常通过诱导公式变形使之符合。

2、强调公式中α、β的任意性，是本节内容的主线，它赋予了公式的强大生命力。

注：逆用公式是学生认识和掌握公式的重要标志。

通过步步加深的练习，加强学生对公式的理解和应用，引导学生积极参与思维，培养学生观察，比较等思维能力，同时渗透了一种化归思想。

八．作业布置
1. 教材第94 页，感受理解第 1 ，
2. 3 题
2. 探究：知道了，你觉得也有类似的规律吗？
九．板书设计
课题：3.1.1 两角和与差的
余弦例题
变式练习两角差的余弦公式
cos( )
cos cos sin sin
两角和的余弦公式
cos( )
cos cos sin sin
十．教后反思：。