高三数学上学期10月月考试题理含解析试题 4

2021届高三数学上学期10月月考试题 理〔含解析〕
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
第一卷
一、选择题
{|121}M x x =-<-≤，{}
2|680N x x x =-+<，那么M N ⋃=〔〕
A. (]2,3
B. ()2,3
C. [)1,4
D. ()1,4
【答案】C 【解析】 【分析】
先计算集合M ，N ，再计算M N ⋃.
【详解】集合{|121}M x x =-<-≤，{}
2
|680N x x x =-+<
∵[1,3)M =，(2,4)N =， ∴[1,4)M
N =.
故答案选C
【点睛】此题考察集合的并集与一元二次不等式的解法，考察运算求解才能，属于根底题型. 2.命题“存在一个偶函数，其值域为R 〞的否认为〔〕 A. 所有的偶函数的值域都不为R B. 存在一个偶函数，其值域不为R C. 所有的奇函数的值域都不为R D. 存在一个奇函数，其值域不为R 【答案】A
【分析】
直接利用命题的否认的定义得到答案.
【详解】命题“存在一个偶函数，其值域为R 〞的否认为：“所有的偶函数的值域都不为R 〞 故答案选A
【点睛】此题考察特称命题的否认，考察推理论证才能
()ln ||f x x =的定义域为〔〕
A. [)1,-+∞
B. [)()1,00,-⋃+∞
C. (],1-∞-
D.
()()1,00,-⋃+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
分别计算两局部的定义域，求交集得到答案.
【详解】函数()ln ||f x x =
∵3300
x
x -⎧-≥⎪⎨>⎪⎩，∴[1,0)(0,)x ∈-+∞. 故答案选B
【点睛】此题考察函数的定义域，考察运算求解才能
10b a =，且a 为整数，那么“b 能被5整除〞是“a 能被5整除〞的〔〕
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
分别考虑充分性和必要性，得到答案.
【详解】假设a 能被5整除，那么10b a =必能被5整除；
假设b 能被5整除，那么10
b
a =
未必能被5整除 故答案选B .
【点睛】此题考察充分条件、必要条件，考察推理论证才能
2sin 45y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到的曲线的对
称轴方程为〔 〕
A. ()3808k x k Z ππ=-+∈
B. ()3202k x k Z ππ=-
+∈ C. ()3808
k x k Z ππ=+∈ D. ()3202
k x k Z ππ=+∈ 【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角函数的图象的变换法那么，写出变换后的函数曲线方程，再求出曲线的对称轴的方程，即可得到答案．
【详解】由题意，将曲线2sin 45y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍〔纵坐标不变〕，
得到曲线2sin 25y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象， 令2,5
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，解得3,202
k x k Z ππ=
+∈， 所以对称轴方程为3,202
k x k Z ππ=
+∈．
【点睛】此题主要考察了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中纯熟应用三角函数的图象变换，求得函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．
2||y x =与曲线2||y x =围成，那么每片叶子的面积为〔〕
A.
1
6
B.
36
C.
13
D.
23
【答案】C 【解析】 【分析】
先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】如下图：
由2
y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩1
1x y =⎧⎨=⎩
， 根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)
1
30
232
1
0211d 3
33x x x x x ⎛⎫⎰
=-= ⎪⎝⎭.
故答案选C
【点睛】此题考察定积分的应用，考察运算求解才能 7.以下不等式正确的选项是〔〕
A. 3sin130sin 40log 4︒>︒>
B. tan 226ln0.4tan 48︒<<︒
C. ()cos 20sin65lg11-︒<︒<
D. 5tan 410sin80log 2︒>︒>
【答案】D 【解析】 【分析】
判断每个式子与0,1的大小关系，排除A,B,C ，再判断D 选项得到答案. 【详解】∵3sin 401log 4︒<<
ln0.40tan 226<<︒，
()cos 20cos20sin70sin65-==>︒︒︒︒，
∴排除A ，B ，C
51
tan 410tan 501sin80log 22
︒=︒>>︒>
> 故答案选D .
【点睛】此题考察三角函数与对数的大小比拟，考察推理论证才能
2
2cos ()x
x x f x e
-=在[]π,π-上的图象大致为〔〕 A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据奇偶性排除C ，根据取值02f π⎛⎫
<
⎪⎝⎭
，()1f π>-排除B,D ，应选A 【详解】易知()f x 为偶函数，排除C
因为02f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，22
x
322()1e e
f πππ++=->->-，所以排除B ，D 故答案选A .
【点睛】此题考察函数图象的识别，应用特殊值法排除选项可以简化运算，是解题的关键，考察推理论证才能
9.cos 270.891︒=)cos72cos18︒+︒的近似值为〔〕
【答案】B 【解析】 【分析】
化简式子等于2cos27︒，代入数据得到答案. 【
详
解
】
()
cos72cos18sin18cos18184563=+=︒+︒︒︒︒==︒+︒︒ )
cos72cos1820.891 1.782︒+︒≈⨯=，
)cos72cos18︒+︒的近似值为1.78. 故答案选B
【点睛】此题考察三角恒等变换，考察运算求解才能
R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且()f x 的图象关于点(3,0)对称，当12x 时，
3 ()2log (43)f x x x =++，那么1609
()2
f =〔〕
A. 4-
B. 4
C. 5-
D. 5
【答案】C 【解析】 【分析】
由()f x 的图象关于点(3,0)对称，那么()(6)0f x f x +-=，结合()(2)f x f x =-， 那么可得()(8)f x f x =+，即函数()f x 的周期为8，即有16099(
)()22f f =，又9
()52
f =-， 即可得解.
【详解】解：因为()f x 的图象关于点(3,0)对称，所以()(6)0f x f x +-=.又
()(2)f x f x =-，所以(2)(6)0f x f x -+-=，所以()(4)f x f x =-+，那么
()(8)f x f x =+，
即函数()f x 的周期为8，所以160999
(
)(1008)()222
f f f =+⨯=， 因为99()(6)022f f +-=，()393
()()3log 952
2
f f =-=-+=-，
所以1609
(
)52
f =-， 应选C.
【点睛】此题考察函数的对称性与周期性，考察推理论证才能与抽象概括才能.
()f x =
的值域为〔〕
A. ()2,2-
B. ()1,1-
C. []1,1-
D. []22-,
【答案】A 【解析】 【分析】
化简函数得到()2sin 26f x x π⎛⎫
=-+
⎪⎝
⎭
，再根据定义域得到值域. 【详解】2sin 43()2sin 2,cos 20662cos 26x f x x x x ππππ⎛
⎫+ ⎪
⎛⎫⎛⎫⎝⎭=
=-++≠ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝
⎭ 且当且仅当cos 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 216x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭， ∴()f x 的值域为()2,2- 故答案选A
【点睛】此题考察三角恒等变换与三角函数的值域，考察推理论证才能
32())(20f x x ax a =-<在6,23a a +⎛⎫
⎪⎝⎭
有最大值，那么a 的取值范围为〔〕
A. [)4,0-
B. (],4-∞-
C. [)2,0-
D.
(],2-∞-
【答案】B 【解析】 【分析】
求导得到函数的单调区间，得到()f x 在3
a
x =处获得极大值，3327a a f
⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，3
()27a f x =-
得到3a x =
或者6
a x =-，再计算62336a a a a
+<<
≤-得到答案. 【详解】令()2(3)f x x x a '=-，得10x =，2(0)3
a
x a =
< 当
03
a
x <<时，()0f x '<； 当3
a
x <
或者0x >时，()0f x '>.
从而()f x 在3
a
x =处获得极大值
3327a a f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
由3()27a f x =-，得2
2033a a x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，解得3a x =或者6a x =-.
∵()f x 在6,23a a +⎛⎫
⎪⎝⎭
上有最大值， ∴
62336
a a a a +<<≤-，∴4a ≤-. 故答案选B
【点睛】此题考察导数的综合应用，考察化归与转化的数学思想及运算求解才能
第二卷
二、填空题
2lg ,0
()1,04x x x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭
⎩，那么((10))f f -=________.
【答案】16 【解析】
【分析】
直接代入数据得到答案.
【详解】2
((10))(2)416f f f -=-== 故答案为16
【点睛】此题考察分段函数求值，考察运算求解才能
210y +=与曲线cos y x =，在33,42ππ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭上的交点的个数为________. 【答案】3 【解析】
【分析】
判断321cos 422π⎛⎫
-
=-<- ⎪
⎝⎭
，画出图像得到答案. 【详解】如下图：
321cos 422π
⎛⎫
-=-<- ⎪
⎝⎭
直线210y +=与曲线cos y x =在33,42ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上有3个交点.
【点睛】此题考察三角函数的图象及函数与方程，考察数形结合的数学方法，
15.张HY 自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张HY 对这四种干果进展促销:一次购置干果的总价到达150元，顾客就少付x (2x ∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后，张HY 会得到支付款的80%.
①假设顾客一次购置松子和腰果各1千克，需要支付180元，那么x =________； ②在促销活动中，为保证张HY 每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，那么x 的最大值为_____.
【答案】 (1). 10 (2). 18.5 【解析】 【分析】
①结合题意即可得出；②分段列出式子，求解即可。

【详解】解： ①顾客一次购置松子和腰果各1千克，需要支付12070180x +-=元，那么
10x =.
②设顾客一次购置干果的总价为M 元，当0150M <<150M ≥时，0.8()0.7M x M -≥.即8M x 对150M 恒成立，那么8150x ，18.75x ，又2x ∈Z ,所以max 18.5x =. 【点睛】此题考察数学在生活中的实际应用，考察数学建模的数学核心素养.属于根底题。

()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()
()()1
xf x f x xf x x '+<
+对()0,x ∈+∞恒成立，且(1)2f =，那么不等式(1)(1)2x f x x ++<+的解集是________. 【答案】()0,∞+ 【解析】 【分析】
构造函数()
()(0)1xf x g x x x =
>+，判断()g x 在()0,∞+上单调递减，故10(1)1(1)
x g x g +>⎧⎨+<=⎩，计算得到答案.
【详解】设函数()
()(0)1
xf x g x x x =
>+，那么[]2()()(1)()()(1)f x xf x x xf x g x x ''++-=+
因为()
()()1
xf x f x xf x x '+<
+ 所以()()(1)()0f x xf x x xf x '
⎡⎤++-<⎣⎦，()0g x '<. 故()g x 在()0,∞+上单调递减
所以10(1)(1)
(1)(1)21(1)1(1)2x x f x x f x x g x g x +>⎧++++<+⇔<⇔⎨+<=+⎩
，
那么11x +>，即0x >. 故答案为()0,∞+
【点睛】此题考察导数的应用，其中构造函数()
()(0)1
xf x g x x x =
>+是解题的关键，考察函数构造法的应用与推理论证才能. 三、解答题
2()2x x f x a a a =-+〔0a >且1a ≠〕的图象经过点()1,6A .
〔1〕求()f x 的解析式； 〔2〕求()f x 的值域.
【答案】〔1〕()424x
x
f x =-+或者2()2
24x
x f x =-+〔2〕15,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
〔1〕将点()1,6A 代入函数计算得到答案.
〔2〕2
115()224x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，当122x
=，即1x =-时，()f x 获得最小值154，得到答案.
【详解】解：〔1〕因为2()2x
x f x a a a =-+〔0a >且1a ≠〕的图象经过点()1,6A ，
所以2
(1)6f a a =+=.
因为0a >且1a ≠，所以2a =，
所以()f x 的解析式为()424x x f x =-+或者2()224x x
f x =-+
〔2〕2
115()224x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭ 当122
x
=
，即1x =-时，()f x 获得最小值15
4
因为20x > 所以()f x 的值域为15,4⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
【点睛】此题考察了函数的表达式和值域，属于常考题型.
()3sin()(,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的局部图象如下图.
〔1〕求ω，ϕ； 〔2〕假设925f α⎛⎫=
⎪⎝⎭，5,36
a ππ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，求sin α. 【答案】〔1〕2ω=，3
π
ϕ=-
〔2343
+ 【解析】 【分析】
〔1〕根据图像得到πT =，22T π
ω=
=，代入点5,312π⎛⎫
⎪⎝⎭
得到3πϕ=-. 〔2〕由〔1〕知，()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入数据化简得到3sin 35πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
4cos 35πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦代入数据得到答案.
【详解】解；〔1〕由图可知35341234
T πππ
⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 故πT =，那么22T
π
ω=
= 又()f x 的图象过点5,312π⎛⎫
⎪⎝⎭，那么5312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，得5sin 16⎛⎫
+= ⎪⎝⎭πϕ. 而||2
ϕπ<
，所以3π
ϕ=-
〔2〕由〔1〕知，()3sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，那么93sin 235f απα⎛⎫⎛
⎫=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
那么3sin 35
πα⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭ 因为5,36ππα⎛⎫∈
⎪⎝⎭，所以0,32ππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
所以sin sin sin cos cos sin 333333ππππππαααα⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫=-
+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦
134255=⨯=
【点睛】此题考察了三角函数图像，三角恒等变换，其中sin sin 33ππαα⎡⎤
⎛
⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
是解题的关键.
()e (0)ax f x x a a =->.
〔1〕求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； 〔2〕假设()0f x <恒成立，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕2
(1)y a x a =--〔2〕12
)e (,-+∞ 【解析】 【分析】
〔1〕由导数的几何意义可得：2
(0)1f a '=-，即曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方
程为2
(1)y a x a =--；
〔2〕利用导数研究函数的单调性可得函数()f x 的减区间为2ln (,)a
a
-
+∞，增区间为2ln (,)a
a -∞-
，那么()0f x <恒成立等价于2ln 10a a
+-<，运算即可得解. 【详解】解：〔1〕2()1e ax
f x a '
=-， 所以2
(0)1f a '=-，
又(0)f a =-，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2
(1)y a a x +=-，
即2
(1)y a x a =--.
〔2〕因为0a >，所以20a >.令()0f x '=，得2ln a
x a
=-
， 令()0f x '>，得2ln a x a <-
.令()0f x '<，得2ln a
x a
>-， 即函数()f x 的减区间为2ln (,)a a -+∞，增区间为2ln (,)a
a
-∞-， 所以max 2ln 2ln 1()()a a f x f a a
+=-
=-， 因为()0f x <恒成立，所以2ln 1
0a a
+-
<， 因为0a >，所以1
2e a ->， 故a 的取值范围为12
)e (,-+∞.
【点睛】此题考察了导数的几何意义及利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题.
()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛
⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图
象.
〔1〕假设()f x 为偶函数，tan 2α>，求()f α的取值范围.
〔2〕假设()f x 在7,
6
ππ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上是单调函数，求ϕ的取值范围. 【答案】〔1〕113,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭〔2〕,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
〔1〕化简得到()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，得到()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫=++-
⎪⎝⎭
，根据偶函
数得到6π=
ϕ，化简得到24
()31tan f αα
=
-+，代入数据得到答案. 〔2〕计算2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，根据单调性得到262
02π
πϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤
⎪⎩
，
计算得到答案. 【详解】解：〔1
〕
1()4sin cos sin 2(1cos 2)2sin 21226g x x x x x x x π⎛⎫⎛
⎫=-=--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫=++-
⎪⎝⎭
又()f x 为偶函数，那么
2()6
2
k k π
π
ϕπ+=
+∈Z ，∵02
π
ϕ<≤
，∴6
π
=
ϕ ∴()()
222222
2cos sin 21tan ()2sin 212cos 21112cos sin 1tan x x x f x x x x x x
π--⎛⎫
=+
-=-=-=- ⎪++⎝
⎭ ∵tan 2α>，∴22
4411
()331tan 125
f αα=
-<-=-++ 又24()331tan f αα=
->-+，∴()f α的取值范围为113,5⎛
⎫-- ⎪⎝⎭.
〔2〕∵7,
6
x ππ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++
⎪⎝⎭
∵02
π
ϕ<≤
，∴
72,666π
ππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤
+∈ ⎥⎝⎦
∵()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪
⎝⎭上是单调函数，∴262
02π
πϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤
⎪⎩
∴,62ππϕ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
. 【点睛】此题考察了三角函数的恒等变换，单调性，取值范围，意在考察学生的计算才能和
对于三角函数公式性质的灵敏运用.
()(1sin )f x x x =-.
〔1〕求函数(π)f x 在()20,20-上的零点之和； 〔2〕证明：()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上只有1个极值点. 【答案】〔1〕10-〔2〕详见解析 【解析】 【分析】
〔1〕()(1sin )0f x x x πππ=-=得到0x =或者1
2()2
x k k =
+∈Z ，据此计算答案. 〔2〕求导设()()g x f x '=，那么()sin 2cos g x x x x '=-，判断函数()g x 在()0,m 上单调递减，在,
2m π⎛⎫ ⎪
⎝
⎭上单调递增，又(0)10g =>，02g π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，得到答案. 【详解】〔1〕解：令()(1sin )0f x x x πππ=-=，得0x =或者sin 1x π=， 即0x =或者2()2
x k k π
ππ=
+∈Z ，即0x =或者1
2()2
x k k =
+∈Z 所以()f x π在(20,20)-上的零点之和为
393720
3935313153722010222222
22
⎛⎫
-+⨯ ⎪⎝⎭
-
----+++++==- 〔2〕证明设()()1sin cos g x f x x x x =-'=-，()sin 2cos g x x x x '=-，
()()h x g x '=，()cos 3sin h x x x x '=+，
当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0h x '>，那么()()h x g x '
=为增函数. 因为(0)20g '=-<，022g ππ⎛⎫'=>
⎪⎝⎭，所以0,2m π⎛⎫
∃∈ ⎪⎝⎭
，()0g m '=
所以当(0,)x m ∈时，()0g x '<；当,
2x m π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0g x '>， 从而()g x 的()0,m 上单调递减，在,
2m π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 又(0)10g =>，02g π⎛⎫=
⎪
⎝⎭，所以必存在唯一的00,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()00g x =， 当()00,x x ∈时，()0>g x ；当0,
2x x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0<g x 故()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上只有1个极值点0x 【点睛】此题考察了函数的零点和极值点，综合性较强，其中灵敏掌握隐零点的相关知识技巧是解题的关键.
221
()2ln (0)2
f x ax x a x a =-+≠
〔1〕讨论()f x 的单调性.
〔2〕假设()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：
121212
()()11
f x f x x x x x -≤+-.
【答案】〔1〕答案不唯一，详细见解析〔2〕详见解析 【解析】 【分析】
〔1〕求导得到222()ax x a f x x '-+=，设22
()2(0)p x ax x a x =-+>，讨论a 的范围得到
()p x 的正负，得到函数单调区间.
〔2〕由〔1〕知，当1
02a <<
时，()f x 存在两个极值点，得到121x x a
+=，将要证明的式子化为()2
1121222112ln
2x x x a x x x x x -+>-，设12(01)x
t t x =<<，证明()121()02
g t x x >>-
得到答案.
【详解】〔1〕解：222
22()1a ax x a f x ax x x
-+'=-+=
，(0,)x ∈+∞. 设2
2
()2(0)p x ax x a x =-+>，318a ∆=- 当1
2
a ≥
时，0∆≤，()0p x ≥，那么()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增 当102a <<时，>0∆，()p x
的零点为112x a =
，212x a
=
所以()f x
在⎛ ⎝⎭
，⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递增 ()f x
在⎝
⎭
上单调递减 当0a <时，>0∆，()p x
，
()f x
在10,
2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递增，在12a ⎛⎫
-+∞
⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减. 〔2〕证明；由〔1〕知，当1
02
a <<
时，()f x 存在两个极值点 不妨假设120x x <<，那么121x x a
+=
要证
()()12121211f x f x x x x x -<+-，只需证()()()()121212121221
x x x x x x
f x f x x x x x -+->=-
只需证()()()2211121212122221
1122ln 2ln 22x x x x x x a x x a x x a x x x x -+-+=--+>-⎡⎤⎣⎦ 即证()2
112122211
2ln
2
x x x a x x x x x -+>-， 设12(01)x t t x =<<，设函数2
1()2ln g t a t t t =-+，22221()t a t g t t
-+'=-， 因为4440a '∆=-<，所以22210t a t -+>，()0g t '<， 所以()g t 在(0,1)上单调递减，那么()(1)0g t g >=
又()12102x x -<，那么()121()02g t x x >>-，那么
()2
112122
2112ln 2x x x a x x x x x -+>- 从而
()()121212
11
f x f x x x x x -<+-
【点睛】此题考察了利用导数讨论函数的单调性，不等式的证明，其中通过换元可以简化运算，是解题的关键，意在考察学生的计算才能和综合应用才能.
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。