高中数学第二章概率23随机变量的数字特征231离散型随机变量的数学期望课堂导.docx

2. 3. 1离散型随机变量的数学期望
课堂导学
三点剖析
一、离散型随机变量的数学期望
【例1】根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列 如射手 8环 9环 10环 甲
0.3 0. 1 0.6 乙
0.2
0. 5
0.3
试比较甲、乙两射手射击水平的髙低.
解析：设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别为X|, X2,则
E (Xi) =8X0. 3+9X0. 1+10X0. 6=9. 3, E(X 2)=8X0. 2+9X0. 5+10X0. 3=9. 1,
这就是说射手甲射击所得环数的数学期望比射手乙射击所得环数的数学期望高，从而说 明甲的平均射击水平比乙的稍高一点•如果两人进行比赛，甲赢的可能性较大. 温馨提示
离散型随机变量的分布列具有的性质Pi^O, 1=1,2,…,口和£门二1.
/=!
二、利用概率知识求随机变量的分布列
【例2] (2006山东高考，理20)袋中装着标有数字1, 2, 3, 4, 5的小球各2个.从袋中任取 3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用g 表示取 岀的3个小球上的最大数字，求：
(1) 取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2) 随机变量g 的概率分布和数学期望； (3) 计分介于20分到40分之间的概率.
解：(1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A, 方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A, “一次取出的3个
小球上有两个数字相同”的事件记为B,则事件A 和事件B 是互斥事件，因为
I 2 所以 P(A)=1-P (B) = l ——=—.
3 3
(2)由题意，C 所有可能的収值为2, 3, 4, 5. P(g 二2)二
则 P (A) =
P(B) =
所以随机变量g 的概率分布为
g 2
3
■1
r~
P
1 30
2 15
3 10 8 15
因此§的数学期望为 1 ,、 2 3 r 8 13
E g =2 X — +3 X — +4 X — +5 X — — — •
30 15 10 15 3
(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C,则
2
3 |3 P (C) =P ( g =3 或 g 二4)二P(g =3) +P ( ^>=4) = —+ —.
15 10
30
温馨提示
求随机变量的分布列，首先弄清随机变量所有可能的取值，进而利用所学概率知识，求 取每个值的概率，并列出表格即得分布列.
三、找到随机变量的所有可能值并求每种取值的概率
【例3】设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的
3 1 概率为三，遇到红灯(禁止通行)的概率为一 •假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停 4
4
止前进，E 表示停车时已经通过的路口数，求：
(1) C 的概率分布列及期望EC ； (2) 停车时最多已通过3个路口的概率.
解析：(1)2可能取的值是0, 1, 2, 3, 4,
P ( 4=0)二一，
4
3 1 3
P(C=1)=-・,
4 4 16 3 19 P( C =2) = (—)~ •—二—， 4 4 64
3 I 27
P( I =3) = (—)3 ・—= --------- ,
4
4 256
P(C=4) = (-)4=—,
4 256
§的分布列是
P("3)二
C ：C ；+C ；C ；二
2
"15 P(C=4) =
C ：C ；+g
2_
P(C=5) =
C ：C ；+C]C ； _ 8
401234
P 1
4
3
16
9
64
27
256
81
256
尸 3 9 27 81 525
Eg 二0+1 X ——+2X ——+3X ——+4X ——二——.
16 64 256 256 256
Q 1 1 75
⑵P(g W3)二1—P(E=4)二 1 —旦二出.
256 256
温馨提示
本题的关键是正确求出各随机变量的概率值.
各个击破
类题演练1
一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望.
解析：根据题目知所含白球数X服从参数N二10, M二5, n=4的超几何分布，则
nM 4X5
E (X) =- = -^=2,所以从中任取4个球平均来说会含有2个白球.
N 10
变式提示1
根据气彖预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下二种方案.
方案1：运走设备，此时需花费3 800元.
方案2：建一保护围墙，需花费2 000元.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60 000元.
试比较哪一种方案好.
解析：对于方案1,花费为3 800元，损失为0元，花费与期望损失之和为3 800元；
2, 2 000
损失费(元) 60 0000
概率0.010. 99
期望损失为60 000X0. 1+0X0. 99=600(元)，所以花费与期望损失之和为2 000+600=2 600 (元)：比较二种方案，方案2的花费与期望损失之和较小，故方案2好.
类题演练2
一接待中心有A、B、C、D四部热线电话.已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5, 电话C、D占线的概率均为0.4,各部电话是否占线相互之I'可没有影响.假设该时刻有§部电话占线，试求随机变量C的概率分布和它的期望.§可能取的值是0, 1, 2, 3, 4. 解析：§可能収的值是0,1,2, 3, 4,
P ( ^=0)=0. 52X0. 62=0. 09.
P( g =1) = C\ X0. 52X0. 62+Ci X0. 52X0.4X0. 6=0. 3.
P( C =2) = C； X0. 52X0. 62+C* C\ X0. 52X0.4X0. 6+ C； X0. 52X0. 42=0. 37.
P( I =3) = C\ C\ X0. 52X0. 4X0. 6+C；C； X0. 52 X 0. 42=0. 2.
P(E 二4)二0. 52X0. 4 =0. 04.
于是得到随机变量C的概率分布列为
01234 P0. 090. 30. 370.20. 04所以EC =0X0. 09+1X0. 3+2X0. 37+3X0. 2+4X0. 04=1. 8. 变式提示2
己知X的分布列为
X-1()1
P 111 236
设Y二2X+3,则EY的值为( )
7
A. -
B.4
C.-l
D. 1
3
解析：EX二一丄+丄二一丄，
2 6 3
27
EY=E (2X+3)二2EX+3 二一一+3二一.
33
答案：A
类题演练3
已知随机变量X满足P (X=l) =0. 3, P (X=2) =0. 7,则EX的值为( )
A. 0.6
B. 0.7
C. 0.3
D. 1. 7 解析：EX=1XO. 3+2X0. 7=1. 7.
答案:D
变式提升3
袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出的黑球不再放回去，直到取岀白球为止.求収球次数g的概率分布.
解析：§的所有可能取值为1, 2, 3, 4, 5,并且有P (XI)=丄二0.2,
5
41
P(E 二2)二一 X—二0.2,
54
4 3 1
P(C=3) = - X-X—二0. 2,
5 4 3
4 3 2 1
P ( C =4) = — X — X — X — =0. 2、
5 4 3 2
4 3 2 11
P ( C =5)二一X 一X一X 一X — =0.2,
5 4 3 2 1
因此§的分布列是
g12315 P0.20.20.20.20.2。