山东省鄄城县第一中学2016-2017学年高二(探究部)上学期第一次月考数学试题 含解析

一、选择题（本大题共15个小题，每小题5分,共75分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

）
1.在ABC ∆中,2,3,1a b c ===，则最小角为（ ) A ．12π B ．6π C ．4
π
D ．
3
π 【答案】B
考点：余弦定理。

2。

ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b
c ，已知3,60,6a A b ===B =（ ) A ．45 B ．30 C ．60 D ．135 【答案】A 【解析】
试题分析:由正弦定理得36sin 2
2sin 3
b A
B a
=
==
，又b a <，所以B A <，所以B =45，故选A 。

考点:正弦定理.
3.已知ABC ∆中，6,30,120AB A B ===,则ABC ∆的面积为( ）
A ．9
B ．18
C ．93
D ．183 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，在ABC ∆中，6,30,120AB A B ===，所以30C =，所以此三角形为等腰三角形，所以
6BC =,所以三角形的面积为
113sin 6693222
S AB BC B =
=⨯⨯⨯=,故选C 。

考点：三角形的面积公式.
4。

在ABC ∆中，若2
2
2
sin sin sin A B C ->，则ABC ∆是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】
考点:三角形的形状的判定. 5。

数列4
916
1,,,
,357
--的一个通项公式是( )
A ．2(1)21n
n n a n =-- B ．(1)(1)21n n n n a n +=-- C ．2(1)21n
n n a n =-+
D ．3
(1)21
n
n n a n =--
【答案】A 【解析】
试题分析：（可利用排除法）由题意得，令1n =，只有A ，D 选项成立，令2n =，则
22
24(1)2213
n a =-=⨯-，故选A 。

考点:数列的通项公式。

6。

已知等差数列{}n a 的公差为3，若134,,a a a 成等比数列，则2a 等于（ )
A ．-18
B ．—15
C ．-12
D ．-9 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，等差数列{}n a 的公差为3，31416,9a a a a =+=+，又因为134,,a a a 成等比数列，所以2314a a a =，即2111(6)(9)a a a +=+，解得112a =-，所以
211239a a d =+=-+=-，故选D.
考点：等差数列的通项公式。

7.数列{2(1)}n n --的前10项和为（ ）
A ．1023-
B ．10
22- C ．11
23-
D ．11
22- 【答案】D 【解析】
试题分析:由题意得,数列{2(1)}n n
--的前10项和为
101
2
3
10
1
2
3
1
11102(12)
(2222)[(1)(1)(1)(1)]02212
S -=+++
+--+-+-+
+-=+=--，
故选D 。

考点:等比数列求和。

8。

已知等差数列{}n a 中，246a a +=，则其前5项和5S 为（ ）
A ．5
B ．6
C ．15
D ．30 【答案】C 【解析】
试题分析：因为等差数列{}n a 中,246a a +=，由等差数列的性质可得24156a a a a +=+=，
所以数列的前5项和1555()56
1522
a a S +⨯=
==，故选C. 考点：等差数列的性质;等差数列求和.
9。

已知n S 表示数列{}n a 的前n 项和,若对任意*
n N ∈满足12n n a a a +=+，且32a =,则
2014S =( ）
A ．10062013⨯
B ．10062014⨯
C ．10072013⨯
D ．10072014⨯ 【答案】C 【解析】
考点：等差数列的求和；等差数列的定义.
【方法点晴】本题主要考查了等差数列的定义、等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和的求解,解答是需要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用,其中解答中得出21a =，即
11n n a a +-=，所以数列{}n a 表示首项为0，公差为1的等差数列是解答的关键，着重考查了
学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题。

10。

已知数列{}n a 是等比数列,则下列数列中也一定为等比数列的是（ ）
A ．1{}n n a a +-
B ．2
{}n a C ．{2}n a
D ．{ln ||}n a 【答案】B 【解析】
考点:等比数列的定义。

11。

等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =,则使得0n a >的最小正整数n 为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 【答案】B 【解析】
试题分析:因为等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，所以
1131313()
0122
a a a +=⇒=，
由等差数列的性质可得71137200a a a a =+=⇒=，再由题意可得，此等差数列为递增数列，所以使得0n a >的最小正整数n 为8，故选B. 考点：等差数列的性质. 12。

在数列{}n a 中，111
2,1
n n n a a a a +-==
+，则2015a =( ） A ．—3 B ．12- C ．1
3
D ．2 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，令2n =，则1211113a a a -=
=+；令3n =，则23211
12
a a a -==-+；
令4n =，则343131a a a -=
=-+；令5n =，则4541
21a a a -==+；令6n =，则5651113
a a a -==+，,所
以此时数列为以4项为周期的周期数列，所以201531
2
a a ==-,故选B. 考点：数列的周期性。

13。

已知{}n a 是等比数列,231
2,4
a a ==
,则12231n n a a a a a a ++++=（ ）
A ．16(14)n --
B ．16(12)n --
C ．32
(14)3
n -- D ．
32
(12)3
n -- 【答案】C 【解析】
考点:等比数列的求和。

14。

设()u n 表示正整数n 的个位数，例如：(23)3u =，若2()()n a u n u n =-,则数列{}n a 的前2015
项的和等于（ ）
A ．0
B ．2
C ．8
D ．10 【答案】D 【解析】 试
题
分
析
：
由
定
义
可
知
123456789100,2,6,2,0,0,2,4,8,0a a a a a a a a a a ========-=-=，数列{}n a 的前
10项的和为0，由数列{}n a 是周期为10的周期数列，所以201510S =，故选D.
考点：数列的求和。

【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式、数列的新定义的应用、数列的求和，其中解答中利用条件得出数列周期性，利用数列的周期性求解是解答的关键,解答中，利用数列的递推公式，求解12345678910,,,,,,,,,a a a a a a a a a a 的值,得出数列{}n a 的前10项的和为0，即可
求解数列2015S 的值,属于中档试题. 15。

定义123n
n
p p p p +++
+为n 个正数123n p p p p ++++的“均倒数”
，已知各项均为正数
的数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则1223
1011
11
1
b b b b b b +++
=（ ) A ．910 B ．1011 C ．11
12
D ．
112
【答案】B 【解析】
考点：数列的递推公式；数列的求和。

【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式、数列的裂项求和，解答中根据正数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为
121n +,求得41n a n =-，进而得到n b n =，由此1111
1
n n b b n n +=-+是求解数列{}n b 和的关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及学生的推理与运算能力，属于中档试题。

第Ⅱ卷（非选择题共73分）
二、填空题（本大题共5小题，每题5分,满分25分．）
16。

设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若105:1:2S S =，则155:S S = 。

【答案】
34
【解析】
试题分析：设5102,S a S a ==，则51051510,,S S S S S --成等比数列，可得153
2
S a =
，从而155:S S =
34
. 考点:等差数列的性质.
17.在数列{}n a 中，若12a =，11ln(1)n n a a n
+=++，则n a = 。

【答案】2ln n +
考点：数列的通项公式。

18。

已知{}n a ,{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别为n S ,n T ,且
22
3
n n S n T n +=
+，则5
5
a b = 。

【答案】
53
【解析】
试题分析：由等差数列的性质求和公式可得：195199195199()
292529()933
2
n a a a a a S b b b b b T ++⨯+=====+++。

考点：等差数列的前n 和的应用。

19。

如图,一艘船上午9:30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30方向上,之后它继续沿正北方向匀
速航行，上午10：00到达B 处,此时又测得灯塔S 在它的北偏东75方向上,且与它相距
82n mi le ,
则此船的航速是 n /mile h 。

【答案】32 【解析】
考点：三角形的实际应用。

【方法点晴】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形的实际应用问题，解答中需要认真审题，确定好解三角形的条件,恰当的选择正弦定理、余弦定理，准确计算是解答的关键。

本题的解答中,在ABS ∆中，利用正弦定理求解16AB =，即可求解航行的速度，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

20。

定义：数列{}n a 对一切正整数n 均满足2
12
n n n a a a +++>，称数列{}n a 为“凸数列”，以下关于
“凸数列”的说法：
①等差数列{}n a 一定是凸数列；
②首项10a >，公比0q >且1q ≠的等比数列{}n a 一定是凸数列; ③若数列{}n a 为凸数列，则数列1{}n n a a +-是单调递增数列;
④若数列{}n a 为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列. 其中正确说法的序号是 。

【答案】②③④ 【解析】
试题分析:①中,由等差数列{}n a 的性质可得
212n n n a a a +++=，不满足2
12
n n n a a a +++>，所以数列不是“凸数列"；②中，因为数列{}n a 的首项10a >，公比0q >且1q ≠,所以
1
10n n a a q
-=>，所以
22
211222
n n n n n n n a a a a q q a a q a +++++==⋅>=,所以数列{}n a 一定是凸数列；③因为数列{}n a 为凸数列，所以数列{}n a 对一切正整数n 均满足
2
12
n n n a a a +++>,所以211n n n n a a a a +++->-，所以数列{}1n n a a +-是单调递增数列是正确的；④中，数列{}n a 为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列是正确的。

考点:数列的新定义。

【方法点晴】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质的应用、熟练新定义“凸数列”的含义，试题有一定的难度，属于难题，此类问题的解答需要紧扣新定义，利用数列的新定义是解答的关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力,此类问题需要注意解题方法的积累与总结。

三、解答题（本大题共4小题，共48分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 21.（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且
22sin (sin sin )sin sin C B C B A -=-。

（1）求角A 的大小;
(2）若ABC ∆，6b c +=，求a 的值.
【答案】（1）3
A π
=
;（2)a =
【解析】
又o A π<<,故3A π=. （2）ABC ∆的面积153
sin 24S bc A ==，得5bc =，
又6b c +=，则2222222cos ()321a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-=，故21a =。

考点：正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式。

22.(本小题满分12分)
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，4322,6a a S ==.
(1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足:2log n n n b a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T 。

【答案】（1）2n n a =；（2）1(1)
222n n n n ++T =+-．
【解析】
（2）22log 2log 22n n
n n n n b a a n =+=+=+,
所以数列{}n b 的前n 项和
121212(12)(1)(1)(21)(22)(2)(222)(12)221222
n n n n n n n n n T n n +-++=++++
++=+++++++=+=+-- 考点：等比数列的通项公式;数列求和。

23.（本小题满分12分）
数列{}n a 的前n 项和为233n S n n =-.
(1）求{}n a 的通项公式;
（2）问{}n a 的前多少项和最大;
（3）设||n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和'n S .
【答案】（1)342n a n =-；（2）数列{}n a 的前16项或前17项的和最大;（3）
2'233,1733544,18
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩． 【解析】
试题分析：（1）利用数列的通项n a 和前n 项和n S 的关系,即可求解数列的通项公式；(2）由0n a ≥,解得17n ≤，得出数列{}n a 的前17项大于或等于零，又由170a =，即可得出结论；
(3)由（2)知,当17n ≤
法二：由233y x x =-+的对称轴为332x =
. 距离332
最近的整数为16,17. 由2n 33S n n =-+的图象可知：
当17n ≤时，0n a ≥，
当18n ≥时，0n a <，
故数列{}n a 的前16项或前17项的和最大.
（3）由（2）知，当17n ≤时，0n a ≥；
当18n ≥时,0n a <，
所以当17n ≤时,'12n n S b b b =+++
12||||||n a a a =+++21233n n a a a S n n =+++==-。

当18n ≥时，'121718||||||||||n n S a a a a a =++++++ 12171819()n a a a a a a =+++-+++ 171717()2n n S S S S S =--=-233544n n =-+.
故2'
233,1733544,18n
n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩ 考点：等差数列的通项公式；等差数列的求和。

【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质、等差的前n 项和公式，以及熟练的单调性等知识的综合应用，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生的推理与计算能力、以及分类讨论思想的应用，解答中由（2）求得当17n ≤时，0n a ≥；当18n ≥时，0n a <，是解答第三问的关键。

24。

（本小题满分12分)
已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ,{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=.
(1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
(2)求{}n n a b 的前n 项和为n S ；
（3）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，*n N ∈，证明:12210n n n T a b +=-+，*n N ∈。

【答案】（1）31n a n =-,2n n b =,*n N ∈；（2）1(34)28n n S n +=-+；(3）
12210n n n T a b +=-+,*n N ∈.
【解析】
由112a b ==，得423a d =+，3
42b q =,486S d =+。

由条件,得方程组332322786210d q d q ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩。

所以31n a n =-,2n n b =，*
n N ∈.
（2）∵123225282(31)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯
而210122(31)10212n n n a b n -+-=--+⨯-102610n n =⨯--
故12210n n n T a b +=-+,*n N ∈.
考点:等差数列与等比数列的综合应用；数列求和。

【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、等差数列与等比数列的综合问题和数列的求和，其中涉及到数列的乘公比错位相减法求和的应用，其中试题的运算量大，需要细心、准确计算，解答此类问题的关键在于熟练掌握数列的基础知识、基本公式，基本方法的灵活应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力，属于难题。