23线性相关和线性无关

三、性质
1、性质
性质1 当 n≥2 时，向量组 1, 2, …, n 线性
相关的充分必要条件是其中至少有一向量能由 其余向量线性表出。 证明 必要性
设 1, 2, …, n 线性相关，则有不全为零的实数 k1, k2, …, kn ，使k1 1+ k22+ … + kn n= 0。


0
, 3

1, 4

1, 5

0
0
2
3
3
0
1、向量的个数大于向量的维数，所以向量组是 线性相关的；
2、由于向量组中含有零向量，则该向量组是线 性相关的；
3、由于 3

3
，所以
1

1
,

3
是线性相关的，由
, a1n ) , a2n )
, ann )
线性相关（无关）的充要条件是行列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2n 0 ( 0) an1 an2 ann
性质6 n+1个n维向量必线性相关。
2、例题 例 向量组
2 1 1 1 0
1

1, 2
i (ai1, ai2 air ,ir1, in )i 1, 2, , s
也线性无关。
证明 设存在数 k1, k2 ,, k，s 使得
k11 k2 2 ks s
即有
a11k1 a21k2 as1ks 0

a12k1 a22k2 as2ks 0
证明 因为向量组 a1, a2 ,, as线性相关，则存在一组
不全为0的数 k1, k2, , ks ，使得
k11 k22 kss
于是有
k11 k22 kss 0s1 0n
显然k1, k2, , ks , 0, 0, 0不全为零，所以向量组 a1, a2, , as ,s1, ,n 线性相关。
这个定理可以概括为“部分相关，整体必相关”。 推论 如果a1, a2, , an是一组线性无关的向量，则从
中任意取出若干个向量都是线性无关的。
推论的结论也可概括为“整体无关，部分必无关”。
性质4 设r维向量组 i (ai1, ai2 air )i 1, 2, , s
线性无关，则在每个向量上再添上n-r个分量， 得到的n维向量组
其系数 不全为零，故 1, 2, …, n 线性相关。
推论 向量组1, 2, …, n 线性无关的充要条件是
向量组中的每个向量不能由其余向量线性表出。
性质2 如果向量组 a1, a2, , an线性无关，而向量组
a1, a2 , , an , 线性相关，则向量 可以由向
量组 a1, a2 , , an 唯一线性表示。
第二章 线性方程组与向量
第一节 线性方程组的消元法 第二节 n维向量 第三节 线性相关与线性无关 第四节 向量的秩 第五节 矩阵的秩
第三节 线性相关和线性无关
一、线性表出
1、线性表出
设 k1, k2, …, ks R, 1, 2, …, s 是 n 维向量， 若 = k1 1+ k22 + … + kss，则称 为向量 1, 2, …, s 的一个线性组合， 或称 可由向量组 1, 2, …, s 线性表出.



a1r k1 a2r k2 asr ks 0
a1r1k1 a2r1k2 asr1ks 0



a1n k1 a2n k2 asn ks 0
在前面n个等式中，前面r个等式表明由于向量组
a1, a2 ,, as 是线性无关的，所以有
1


a21

,2


a22

,
am1


am2

a1n
b1
,n


a2
n


,



b2



amn

bm

可以由 1,2 , ,n 线性表出的充要条件是
下列线性方程组有解：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1a22 x2 a 2n xn b2 an1x1 an2 x2 ann xn bn
k11 k2 2 ks s
于是上面的方程组只有零解 k1 k2 ks 0，
因此向量组1, 2 ,, s 线性无关。
这个定理可以概括为“线性无关的向量组其加维向量 组也线性无关”。
例如 向量组 (1, 0), (0,1) 线性无关，则向量组
(1,0, 2,3),(0,1,9,0) 也一定线性无关。
不妨设 ks 0, 于是
α n

k1α
kn 1


kn kn
1αn1.
即 n 可由 1, 2, …, n1 线性表出.
充分性
若某个向量例如 1 可被其余向量线性表出，不放设
于是
1 = k2 2+ k3 3 + … + kn n 1 1+ ( k2) 2 + … + ( kn ) n= 0
且表达的方式和解的个数同样多。
二、线性相关和线性无关
1、线性相关和线性无关
对于 n 维向量组 1, 2, …, s ，如果存在不全为零 的实数 k1, k2, …,ks 使得：
k1 1 + k2 2+ …+ks s = 0 则称 n 维向量组 1, 2, …, s 线性相关； 否则，称1, 2, …, s 线性无关。 所谓 1, 2, …, s 线性无关，即如果
推论 设 a1, a2 ,, as是s个r维向量，1, 2 ,, s是添 加了n-r个分量的n维向量，若 1, 2 ,, s 线性
相关，则 a1, a2 ,, as必线性相关。
性质5 n个n维向量
1 (a11, a12 ,


2
(a21, a22 ,

n (an1, an2 ,
k1 1 + k2 2+ …+ks s = 0
则必有 k1= k2= …= ks= 0。 2、例题
例 单个非零向量线性无关：事实上，若非零向量
(a1, a2 , , an )
若
k k(a1, a2, , an ) (0, 0, , 0)
则必有 k 0，所以单个非零向量必线性无关。
,
3

3
1
2
3
5
试判断 可否由1,2 ,3 线性表出，如果可以，
请给出它的一种表达式。
解设
k11 k2 2 k33
即

k1 k1
k2 2k2
2k3 3k

3
2
3
2k1 3k2 5k3 1
“部分相关，则整体相关”，所以该向量组是线性相
关的。
【复习思考题】 1、利用非齐次和齐次线性方程组的向量形式,谈谈 你是怎样理解线性组合、线性相关、线性无关这几 个概念的. 2、叙述证明一个向量组线性无关(或线性)的过程. 3、一个行向量组的线性相关性与它们对应的列向量 组的线性相关性否相同?为什么?
证明 先证向量 可由 a1, a2 , , an 线性表出，因为 a1, a2 , , an , 线性相关，故存在不全为零
的数 k1, k2 , , kn , k ，使得
k11 k22 knn k
其中必有 k 0，否则，若 k 0，上式成为
k11 k22 knn
齐次线性方程组 x11 x2 2 xs s 是否有
非零解。即
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
ann xn 0
例 设向量组 a1 , a2 , a3线性无关，证明向量组 1 2 , 2 3 , 3 1也线性无关（证明略）。
k11 k22 knn 0 所以基本向量组1, 2 , n线性无关。
一般的
a11
a12
1
,2


a22

,

am1

am
2

a1n
,n


a2n


amn

判断向量组 1,2 , ,n 是否线性相关，就要看
2、例题
例设
1 (1, 2, 1, 2),2 (2, 4,1,1), (1, 2, 2,1)
因为 1 2 所以 是1和 2 的线性组合。
例设
2 1 1 2



3

,
1

1 ,2


2

解此线性方程组，得其一般为：
kk12

7 5

c c
k3 c
由此可知 可由 1,2 ,3 线性表出，为了给出一
个表达式，令c 0则 k1 7, k2 5, k3 0 ，于是有
71 5 2 03
一般的
a11
a12


(ln

kn k
)n


由a1, a2 , , an 线性无关，有
li

ki k
0(i
1, 2,
, n)
即
l1

k1 k
, l2

k2 k
,
, ln

kn k
所以表示方法唯一。
性质3 如果向量组 a1 , a2 ,, as线性相关，则添加
若干个向量以后得到的新的向量组
a1, a2 , , as ,s1, ,n 也线性相关。
例 证明：n维基本向量组线性无关：
1 (1, 0, , 0)


2

(0,1,
, 0)

n (0, 0, ,1)
证明 若
k11 k2 2 kn n
得 (k1, k2 ,, kn ) (0,0,,0)
由此可知，只有k1 k2 kn 0 时
这与a1, a2 , , an 线性无关相矛盾，因此 k 0
故



k1 k
1

k2 k
2


kn k
n
即 可由 a1, a2 , , an 线性表出。 再证表示方法唯一，如果 还可以表示为
l11 l22 lnn
则有
(l1

k1 k
)1

(l2

k2 k
)2