【奥赛】小学数学竞赛：游戏与策略.学生版解题技巧 培优 易错 难

游戏与策略
教学目标
1.通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律
2.在操作过程中，体会数学规律的并且设计最优的策略和方案
3.熟练掌握通过简单操作、染色、数论等综合知识解决策略问题
知识点拨
实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。

例题精讲
模块一、探索与操作
【例 1】将1—13这13个自然数分别写在13张卡片上，再将这13张卡片按一定的顺序从左至右排好．然后进行如下操作：将从左数第一张和第二张依次放到最后，将第三张取出而这张卡片上的数是
1；再将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是2；继续将下面的两张
依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是3……如此进行下去，直到取出最后一张
是13为止．则13张卡片最初从左到右的顺序为．
【例 2】在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二
次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后
剩下的数是．
【巩固】在1，9，8，9后面写一串这样的数字：先计算原来这4个数的后两个之和8+9=17，取个位数字7写在1，9，8，9的后面成为1，9，8，9，7；再计算这5个数的后两个之和9+7=16；取
个位数字6写在1，9，8，9，7的后面成为1，9，8，9，7，6；再计算这6个数的后两个之和
7+6=13，取个位数字3写在1，9，8，9，7，6的后面成为1，9，8，9，7，6，3. 继续这样求
和，这样添写，成为数串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4…那么这个数串的前398个数
字的和是________.
【例 3】圆周上放有N枚棋子，如图所示，B点的那枚棋子紧邻A点的棋子．小洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A．当将要
第10次越过A处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子？
A
B
【例 4】 有足够多的盒子依次编号0，1，2，…，只有0号是黑盒，其余的都是白盒．开始时把10个球
放入白盒中，允许进行这样的操作：如果k 号白盒中恰有k 个球，可将这k 个球取出，并给0号、1号、…，(1)k -号盒中各放1个．如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有 个球．
【例 5】 一个数列有如下规则：当数n 是奇数时，下一个数是1n +；当数n 是偶数时，下一个数是2
n
．如
果这列数的第一个数是奇数，第四个数是11，则这列数的第一个数是 ．
【巩固】 在信息时代信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密，若按照“乘3加1取个位”的方式逐
位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”，若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密得到的密码是“2445”，则明码是 ．
【例 6】 设有25个标号筹码，其中每个筹码都标有从1到49中的一个不同的奇数，两个人轮流选取筹
码．当一个人选取了标号为x 的筹码时，另一个人必须选取标号为99x -的最大奇因数的筹码．如果第一个被选取的筹码的编号为5，那么当游戏结束时还剩 个筹码．
【例 7】 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每
次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色(填黑或者白)
【巩固】 30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、L L 的次序串成一圈．一只蚱蜢从第2
粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上．这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上．
【巩固】 在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个
数a 和b ，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？
【例 8】 桌上有一堆石子共1001粒。

第一步从中扔去一粒石子，并把余下的石子分成两堆。

以后的每一
步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把某一堆分作两堆。

问：能否在若干步之后，桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？
【巩固】 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一
石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问，能否做到：⑴某2堆石子全部取光？⑵3堆中的所有石子都被取走？
【例 9】今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币和真币的重量不同．现需弄清楚伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达
到目的？
【巩固】9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?
【巩固】你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？
【例 10】有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水？
【例 11】对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1. 如此进行直到为1操作停止. 求经过9次操作变为1的数有多少个？
模块二、染色与操作（证明）
【例 12】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什
么？
【例 13】图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通．有一个人打算从A室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A室，问他的目的能否达到，为什么？
A
【例 14】右图是某套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?
【巩固】有一次车展共6636
⨯=个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?
【例 15】如右图，在55
⨯方格的A格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中．那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A格中?
A
【例 16】右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马．众所周知，马是走“日”字的．请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？
马
【巩固】一只电动老鼠从右图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转．当这只电动老鼠又回到A点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯．如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？
A
模块三、染色与操作（剪拼）
【例 17】有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份．应该怎样分？
【例 18】右图是由14个大小相同的方格组成的图形．试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？
【巩固】你能把下面的图形分成7个大小相同的长方形吗？动手画一画．
【巩固】有6张电影票(如右图) ，想撕成相连的3张，共有________种不同的撕法.
【巩固】右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？
【巩固】右面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的. 问：能否把它们分别剪成1×2的七个小矩形.
【例 19】用9个14
⨯的正方形？请说明理由．
⨯的长方形能不能拼成一个66
44
4444433
33333322222
222
2111
111114321
【例 20】 能否用9个
所示的卡片拼成一个66⨯的棋盘？
【巩固】 如右图，缺两格的88⨯方格有62个格，能否用31个
图不重复地盖住它且不留空隙?
【巩固】 用11个
和5个
能否盖住88⨯的大正方形？
【例 21】 在88⨯的网格正方形(如图1)中用图2形状的图形来覆盖，要求图2的分割线落在正方形的网格
线上．为使所余部分不能再放下图2形状的图形，最少需用图2形状的图形 个．
8
8
2
2
1
1
图1 图2
【例 22】 用若干个22⨯和33⨯的小正方形能不能拼成一个1111⨯的大正方形？请说明理由．
【巩固】 1个22⨯正方形和15个41⨯长方形能不能拼出88⨯的大正方形?请说明理由．
【例 23】有一批商品，每一件都是长方体形状，尺寸是124
⨯⨯．现有一批现成的木箱，内空尺寸是666
⨯⨯，问：为什么不能用这些商品将木箱装满?
模块四、操作问题（计算）
【例 24】对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操作．现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？
【巩固】小牛对小猴说：“对一个自然数n进行系列变换：当n是奇数时，则加上2007；当n是偶数时，则除以2．现在对2004连续做这种变换，变换中终于出现了数2008．”小猴说：“你骗人！不可能出现2008．”请问：小牛和小猴谁说得对呢？为什么？
【例 25】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的
数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？
【巩固】先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：6 2 8 1 0 1 1 2 3 ……则这个整数的数字之和是。

【例 26】右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上．开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0．然后转动圆盘，每次可以转动90︒的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位
置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上．问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能
都是999？
00
4
32
1
【例 27】如右图所示，将112
:顺次排成一圈．如果报出一个数a（在112
:之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置．例如3
a=，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；11
a=，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置．问：a是多少时，可以走到7的位置？
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
【例 28】有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色且相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉。

如果第一幅图的
初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有
个。

【例 29】对于表⑴，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表⑵？为什么？
101
000
101
(2)
(1)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
【例 30】在图⑴的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算一次操作，经过若干次操作后变为图⑵，问：图⑵中的A格中的数字是几？
11
1
1
1
1
1
A
1
1
11
1
1
1
1
(2)
(1)
00
00
01
11
1
11
1
1
【例 31】如图，图1的88
⨯方格中交替填满了0和1，图2是从图1中任意位置截取的、、
三种图形，并对每种图形进行操作：每个小方格同时加1或同时减1，如此反复多次，再将这三种图形不重叠地拼成的．问：图2中的A格中的数字应该是多少？
000
00
00
0000
000
图1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
111
11
1
1
1
1
1
11
1
1111
111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
图2
1
1
1
1
1
A
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
【例 32】右图是一个45
⨯的方格盘．先将其中的4个方格染黑，然后按以下规则继续染色：如果某个格
与两个黑格都有公共边，就将这个格染黑．这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？
【例 33】将一张正方形纸片，横着剪4刀，竖着剪6刀，裁成尽可能大的形状大小一样的35张长方形纸片．再把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片．如果小正方形边长
为2厘米，那么大正方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由．
【例 34】能否把2002台电话中的每台电话恰好与其它5台相连？
【例 35】有一长为11 cm，宽为9cm，高为7cm的长方体木块，能否切割成77块长、宽都是3cm，高是1cm的长方体形状的积木块?说明理由．
【例 36】一张长14厘米、宽11厘米的长方形纸片最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的纸条?怎样裁?
请画图说明．
【例 37】现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。

用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干档不同的车速。

“希望牌”变速自行车主动轴上有三个齿
轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是36，24，16，12。

问：“这种变
速车一共有几档不同的车速？
【例 38】现在世界各国普遍采用的公历是在1582年修订的格列高里历，它规定：公元年数被4除得尽的是闰年，但如被100除得尽而被400除不尽的则不是闰年。

按此规定，从1582年至今共有
个闰年。

【例 39】 小名、小亮两人玩扑克牌，他们手里各有点数为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的纸牌各一
张。

两人每轮各出一张牌，点数大的为胜，并将两张牌的点数差(大减小)，做为获胜一方的分数，另一方不得分，10轮牌出完之后，两人总分之和最大是 。

【例 40】 黑板上写着1至2008共2008自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均
数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值和最小值的差是 。

【例 41】 有一类自然数，从左边第三位开始，每个数位上的数字都是它左边两个数位上的数的和，如
21347。

则这类自然数中，最大的奇数是 .
【例 42】 如图，按如下①和②的要求，从16个方格中选出6个数擦去。

①使每行和每列剩下的数的个数都是偶数。

②使剩下的10个数之和最大。

则擦掉的6个数之和是 ，共有 种擦法(擦去6个数)。

13111115
13119795799753
【例 43】 如图，在“贪吃豆”游戏中，开始时积分为10分。

当贪吃豆走到某个宝箱处，就要吃掉那个宝箱，
并将积分按照宝箱上的要求进行运算。

贪吃豆吃掉所有宝箱后才能过关。

例如，贪吃豆可以依次吃掉“×2”、“＋2”、“÷2”、“＋3”、“－2”、“×3”，过关时的积分为36。

贪吃豆过关时，积分最多可以为： 。

【例 44】 二十多位小朋友围成一圈做游戏．他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或
带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有 人．
模块五、游戏策略
【例 45】 甲、乙二人轮流在右上图的10个方格中，甲画“○”，乙画“×”。

甲胜的情况是：最后一行有4
个“○”或者其它的直线上有3个“○”；乙胜的情况是：最后一行有4个“×”或者其它的直线上有3个“×”。

甲先画，他要取胜，第一步应填在标号为 的方格中(有几种就填几种)。

【例 46】A、B、C、D、E五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A->C,B->E,C->A,D->B,E->D.开始A、B拿着福娃，C、D、E拿着福牛，传递完
5轮时，拿着福娃的小朋友是（）.
（A）C与D(B) A与D(C) C与E(D) A与B
【例 47】请在5×5的棋盘中放入10个国际象棋中的皇后，使得标有数N的格子恰好受到N枚皇后的攻击．每个格最多一枚棋子，标有数的格子不能放棋子．如果有超过一枚皇后从同一方向攻击到
某个格子，只计算最前方的那枚皇后（注：每只皇后可攻击同一行、同一列或同一斜线上的格
子）．
5
4
7
1
【例 48】下
【例 49】下图是常见的正方体，我们可以看到三面共有3 9=27个变成为1的正方体，在这三面上有三条蛇。

每条有5个连续的正方形（每两个连续正方形有一条公共边）组成，不全在一个面上，
每两条蛇互不接触（两条蛇的方格不能有公共点），请将这三条蛇画出来。

（用阴影将蛇所在的
正方形画出来）
A
【例 50】 小谢要把32张奖状贴到办公室的墙上. 他用胶涂好一张奖状需要2分钟，涂好后至少需要等待
2分钟才可以开始往墙上粘贴，但是若等待时间超过6分钟，胶就会完全干掉而失去作用. 如果小谢粘贴一张奖状还需要1分钟时间. 那么，小谢粘贴完全部奖状最少需要_____________分钟.
【例 51】 国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋
中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列(图2中标有△的位置)，要走到第八行第五列(图2中标有★的位置)，最短路线有＿＿＿条．
×
××
×
×××
×
图1 图2
【例 52】 有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了300根香蕉，然后要走1000米才能到
家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉一根香蕉，那么，它最多可以把 根香蕉带回家？。