2005年普通高等学校招生全国统一考试吉林、黑龙江、广西(理科)(必修+选修2)

2005年普通高等学校招生全国统一考试吉林、黑龙江、广西(理科)（必修+选修2）第Ⅰ卷一．选择题（5*12=60分）（１）函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是（A ）4π（B ）2π（C ）π （D ）2π（２）正方体1111ABC D A B C D -中，P 、Q 、R 分别是A B 、A D 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 （A ）三角形 （B ）四边形 （C ）五边形 （D ）六边形（３）函数1(0)y x =-≤的反函数是（A ）1)y x =≥- （B ）1)y x =≥-（C ）0)y x =≥（D ）0)y x =≥（４）已知函数tan y x ω=在(,)22ππ-内是减函数，则（A ）０＜ω≤１（B ）－１≤ω＜０（C ）ω≥１（D ）ω≤－１ （５）设a 、b 、c 、d R ∈，若a bi c di++为实数，则（A ）0bc ad +≠（B ）0bc ad -≠（C ）0bc ad -=（D ）0bc ad +=（６）已知双曲线22163xy-=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1M F x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为（A 5（B 6（C ）65（D ）56（７）锐角三角形的内角A 、B 满足1tan tan sin 2A B A-=，则有（A ）sin 2cos 0A B -= （B ）sin 2cos 0A B += （C ）sin 2sin 0A B -=（D ）sin 2sin 0A B +=（８）已知点A ，(0,0)B ，0)C ．设B A C ∠的平分线A E 与B C 相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于（A ）２（B ）12（C ）－３ （D ）－13（９）已知集合{}23280M x x x =--≤，{}260N x x x =-->，则M N 为（A ）{42x x -≤<-或}37x <≤ （B ）{42x x -<≤-或}37x ≤< （C ）{2x x ≤-或}3x >（D ）{2x x <-或}3x ≥（１０）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v =-（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为v 个单位）．设开始时点P 的坐标为（－１０，１０），则５秒后点P 的坐标为 （A ）（-2，4）（B ）（-30，25）（C ）（10，-5）（D ）（5，-10）（１１）如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则（A ）1a 8a >45a a（B ）8a 1a <45a a（C ）1a +8a >4a +5a（D ）1a 8a =45a a（１２）将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（A）3（B ）2+3（C ）4+3（D）3第Ⅱ卷二．填空题（4*4=16分）（１３）圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________． （１４）设a 为第四象限的角，若sin 313sin 5a a=，则tan 2a =_____________．（１５）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数共有_____________个．（１６）下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是_____________．（写出所有真命题的编号） 三．解答题：（共74分） （１７）（本小题满分１２分） 设函数11()2x x f x +--=，求使()f x ≥x 取值范围．（１８） （本小题满分１２分）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21nn b a =，1,2,3,n =…．（Ⅰ）证明{}n b 为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列{}n b 各项的和13S =，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ．（注：无穷数列各项的和即当n →∞时数列前项和的极限）（１９）（本小题满分１２分）甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令ξ为本场比赛的局数．求ξ的概率分布和数学期望．（精确到0.0001）（２０）（本小题满分１２分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD 垂直于底面ABCD ，AD=PD ，E 、F 分别为CD 、PB 的中点． （Ⅰ）求证：EF 垂直于平面PAB ；（Ⅱ）设AB=2BC ，求AC 与平面AEF 所成的角的大小．（２１）（本小题满分１４分） P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+yx 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0=∙MF PF ．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．（２２）（本小题满分１２分）已知0≥a ，函数xe ax x xf )2()(2-=．（Ⅰ）当x 为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（Ⅱ）设f(x)在[-1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．D参考答案一、选择题 1-5 CDBBC 6-10 CACAC 11-12 BC 二、填空题13.(x-1)2+(y-2)2=4. 14.-43 15.192 16.①④三、解答题17.本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法.考查分析问题的能力和运算能力.满分12分. 解：由于y=2x 是增函数，f(x)≥22等价于 |x+1|-|x-1|≥23. ① ……2分(i)当x ≥1时，|x+1|-(x-1)=2. ……5分 ∴①式恒成立.(ii)当-1<x<1时，|x+1|-|x-1|=2x, ①式化为 2x ≥23.即43≤x ≤1. ……8分(iii)当x ≤-1时，|x+1|-|x-1|=-2, ①式无解.综上，x 取值范围是[43，+∞）. ……12分（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以能为运用这些知识的能力.满分12分. （Ⅰ）证明：∵lga 1、lga 2、lga 4成等差数列， ……2分∴2lga 2=lga 1+lga 4，即a 2=a 1·a 4. 等差数列{a n }的公差为d ，则 (a1+d)2=a 1(a 1+3d), 这样d 2=a 1d.从而d(d-a 1)=0. ……4分(i)若d=0，则{a n }为常数列，相应{b n }也是常数列.此时{b n }是首项为正数，公式为1的等比数列. ……6分 (ii)若d=a 1≠0，则 a 2n =a 1+(2n -1)d=2n d ，b n =nnda 21112⋅=.这时{b n }是首项b 1=d21，公比为21的等比数列.综上知，{b n }为等比数列. ……8分 （Ⅱ）解：如果无穷等比数列{b n }的公比q=1，则当n →∞时其前n 项和的极限不存在. 因而d=a 1≠0，这时公比q=21，b 1=d21.这样，{b n }的前n 项和S n =211])21(1[21--nd ， 则S=∞→n lim S n =∞→n lim 211])21(1[21--nd =d1. ……11分由S=31得公差d=3，首项a 1=d=3. ……12分19.本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分. 解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4. 比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P(ξ=3)=0.63+0.43=0.28. ……3分比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜，因而P(ξ=4)=C32×0.62×0.4×0.6+C32×0.42×0.6×0.4=0.3744. ……6分比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第五局甲胜或乙胜.因而P(ξ=5)=C42×0.62×0.42×0.6+C42×0.62×0.42×0.4=0.3456. ……9分所以ξ的概率分布为ξ的期望Eξ=3×P(ξ=3)+4×P(ξ=4)+5×(ξ=5)=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=4.0656. ……12分20.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分.方法一：（Ⅰ）证明：连结EP，∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD内，∴PD⊥DE.又CE=ED，PD=AD=BC，∴Rt△BCE≌Rt△PDE.∴PE=BE.∵F为PB中点，……2分∴EF⊥PB.由三垂线定理得PA⊥AB，∴在Rt△PAB中PF=AF，又PE=BE=EA，∴△EFP ≌△EFA ，∴EF ⊥FA.∵PB 、FA 为平面PAB 内的相交直线， ∴EF ⊥平面PAB. ……6分 （Ⅱ）解：不妨设BC=1，则AD=PD=1， AB=2，PA=2，AC=3.∴△PAB 为等腰直角三角形，且PB=2，F 为其斜边中点，BF=1，且AF ⊥PB. ∵PB 与平面AEF 内两条相交直线EF 、AF 都垂直， ∴PB ⊥平面AEF.连结BE 交AC 于G ，作GH ∥BP 交EF 于H ，则GH ⊥平面AEF. ……9分 ∠GAH 为AC 与平面AEF 所成的角.由△EGC ∽△BGA 可知EG=21GB ，EG=31EB ，AG=32AC=332.由△EGH ∽△EBF 可知GH=31BF=31.∴sin ∠GAH=63 AGGH . ……12分方法二：以D 为坐标原点，DA 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系.（Ⅰ）证明：设E(a,0,0)，其中a>0，则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,21,21).EF =(0,21,21),PB =(2a,1,-1),AB =(2a,0,0). EF ·PB =0，∴EF ⊥PB. ……3分 AB ·EF =0，∴EF ⊥AB.又PB ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PB ∩AB=B ， ∴EF ⊥平面PAB. ……6分（Ⅱ）解：由AB=2BC ，得a=22.可得AC =(2,-1,0), PB (2,1,-1),cos(AC ,PB 63,异面直线AC 、PB 所成的角为arccos63. ……9分AF =(22,21,21),∴AF ·PB =0，PB ⊥AF.又PB ⊥EF ，EF 、AF 为平面AEF 内两条相交直线， ∴PB ⊥平面AEF.∴AC 与平面AEF 所成的角为2π-arc cos63(=arc sin63).即AC 与平面AEF 所成的角为arcsin63. ……12分21.本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力.满分14分.解：如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F （0，1），且PQ ⊥MN ，直线PQ 、NM 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为k ，又PQ 过点F （0，1），故PQ 方程为 y=kx+1.将此式代入椭圆方程得 (2+k 2)x 2+2kx-1=0.设P 、Q 两点的坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2），则x 1=22222kkk ++--，x 2=22222kkk +++-. ……3分从而|PQ|2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.=2222)2()1(8k k ++，亦即|PQ|=222)1(22kk +- ……5分(i)当k ≠0时，MN 的斜率为-k1，同上可推得|MN|=22)1(2))11(1(22kk-+-+.故四边形面积 S=21|PQ|·|MN|=)12)(2()11)(1(42222kk k k ++++ =2222225)12(4kkk k++++.令u=k 2+21k ，得S=)2511(225)2(4uuu +-=++,因为u=k 2+21k≥2，当k=±1时，u=2,S=916，且S 是以u 为自变量的增函数， 所以916≤S<2. ……11分(ii)当k=0时，MN 为椭圆长轴，|MN|=22，|PQ|=2， S=21|PQ|·|MN|=2.综合(i)，(ii)知，四边形PMQN 面积的最大值为2，最小值为916. ……14分22.本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）对函数f(x)求导数，得f ＇(x)=(x 2-2ax)e x +(2x-2a)e x =[x 2+2(1-a)x-2a]]e x ,令f ＇(x)=0，得[x 2+2(1-a)x-2a]e x =0,从而x 2+1(1-a)x-2a=0.解得x 1=a-1-21a +，x 2=a-1+21a +，其中x 1<x 2，当x 变化时，f ＇(x)，f(x)的变化如下表：当f(x)在x=x 1处取得极大值，在x=x 2处取得极小值. ……4分当a ≥0时，x 1<-1,x 2≥0,f(x)在(x 1,x 2)为减函数，在(x 2,+∞)为增函数.而当x<0时，f(x)=x(x-2a)e x >0；当x=0时，f(x)=0，所以当x=a-1+21a +时，f(x)取得最小值. ……8分（Ⅱ）当a ≥0时，f(x)在[-1，1]上为单调函数的充要条件是x 2≥1，即a-1+21a +≥1，解得a ≥43,综上，f(x)在[-1，1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥43， 即a 的取值范围是[43，+∞） ……12分。