四川省宜宾市叙州区第一中学校2020-2021学年高二下学期第四学月考试数学(理)试题

四川省宜宾市叙州区第一中学校2020-2021学年高二下学期
第四学月考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数11i z i +=
-，则||z =( )
A ．1
B ．2
C
D ．
2．设函数y =A ，函数2y x =-的定义域为B ，则A
B =( ) A ．()1,2 B ．(]1,2
C ．[]2,0-
D ．[]22-, 3．命题“[1,2]x ∀∈-，使2210x x +-<”的否定为( )
A ．2[1,2],210x x x ∀∈-+-≥
B ．2[1,2],210x x x ∃∈-+-≥
C ．(,1)(2,)x ∃∈-∞-⋃+∞，2210x x ++≥
D ．(,1)(2,)x ∀∈-∞-⋃+∞，2210x x +-≥
4．抛物线28y x =-的焦点坐标是（）
A ．()0,2-
B ．()2,0-
C ．10,32⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．1,032⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5．随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题，某市创新性的采用“公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心”，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理，计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统（等距）抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是（ ）
A ．9
B ．12
C ．15
D ．17 6．已知函数()()2e ln f x xf x '=+，则()e f =（ ）
A ．e -
B ．e
C ．1-
D ．1
7．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）
A ．25
B ．24
C ．21
D ．9
8．已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >；
:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件
则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧⌝
C ．p q ⌝∧
D ．p q ∧⌝ 9．若向量()1,1,2a =-，()2,1,3b =-，则2a b +=（ ）
A
B ．
C ．3
D ．10．函数2ln x x
y x =的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 11．在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，4AB BC BD ===，
E 、
F 分
别为棱BC 、AD 的中点，则直线EF 与平面ACD 所成角的余弦值（ ）
A ．13 B
C
．3 D
12．已知函数()f x kx =，ln ()x g x x
=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e 内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( ) A ．211[,)2e e B ．11(,]2e e C ．21(0,)e D ．1(,)e +∞
二、填空题
13．命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是______． 14．函数()2ln f x x x =+在点(1,2)处的切线方程为________．
15．设x ，y 满足约束条件1124x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩
，则()222z x y =++的最小值为_______.
16．若01a b <<<，e 为自然数()2.71828≈e ，则下列不等式：①11++>a b b a ；②
ln ln ->-a b e e a b ；
③()()log 1log 1+>+a b a b ，其中一定成立的序号是__________．
三、解答题
17．已知函数221()(1)2
x f x x a e ax a x =---+，其中e a <. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（2）若()f x 在(1,2)内只有一个零点，求a 的取值范围.
18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为AB 的中点，F 为1D C 的中点.
（1）证明：//EF 平面11ADD A ；
（2）若2AE =，求二面角D EF C --的余弦值.
19．近年来，国资委.
党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决
策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:
（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x ,求x 的分布列及数学期望． 参考公式： 1()()
n i x x y y r --=∑22
(),()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++．临界值表：
25.2≈
20．在圆:O 224x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 形成轨迹C ．
（1）求轨迹C 的方程；
（2）若直线y x =与曲线C 交于AB 两点，Q 为曲线C 上一动点，求ABQ △面积的最大值
21．已知函数()2
ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ． （Ⅰ）若()f x 在0,内单调递减，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a
+>．
22．在极坐标系Ox 中，曲线C 2
sin
ρθ=，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=，设l 与C 交于,A B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于,E F .以O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy . （1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标；
（2）求证：||||||||MA MB ME MF ⋅=⋅.
23．已知函数()21f x x =-，x R ∈.
（1）解不等式()21f x x <+；
（2）若对,x y R ∈，有113x y --≤，1216
y +≤，求证：()1f x <.
参考答案
1．A
【分析】
分子分母同乘以分母的共轭复数即可得到复数z ，进一步得到复数的模.
【详解】
21i (1i)2i i 1i (1i)(1+i)2
z ++====--，所以|1|z =. 故选：A
【点睛】
本题考查复数的除法运算以及求复数的模，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2．D
【分析】
求出集合A 、B ，再利用交集的定义计算即可.
【详解】
由已知，240x -≥，解得22x -≤≤，故[2,2]A =-，又B R =，
所以A
B =[]22-,
. 故选：D
【点睛】
本题考查集合间的交集运算，涉及到求函数的定义域，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
3．B
【分析】 ,()x M p x ∀∈的否定为,()x M p x ∃∈⌝.
【详解】
根据全称命题的否定是特称命题，知[1,2]x ∀∈-，使2210x x +-<的否定为 2[1,2],210x x x ∃∈-+-≥.
故选：B
【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，做此类题要注意两个方面的变换：1.量词，2.结论.是一道容易题.
4．C
【分析】
先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标.
【详解】
因为28y x =-可化为218
=-x y ， 所以128=-p ，且焦点在y 轴负半轴， 因此焦点坐标为10,32⎛⎫-
⎪⎝⎭ 故选C
【点睛】
本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型. 5．D
【分析】
根据等距抽样的特点，求得抽样距离，即可列出抽取的号码，从而判断.
【详解】
由等距抽样的方法可知，23号和29号差6，
则可以抽到5号，11号，17号，23号，29号，
故选：D ．
【点睛】
本题考查系统抽样的特点，属基础题.
6．C
【分析】
对函数求导，令e x =，可求出()e f '，即可得到函数()f x 的表达式，进而求出()e f 即可.
【详解】
由题意，()()12e f x f x ''=+，所以()()1e 2e e f f ''=+，解得()1e e
f '=-，
故()()e 2e e lne 211f f '=+=-+=-.
故选：C.
【点睛】
本题考查求函数值，考查导数的计算，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 7．A
【分析】
根据程序框图，顺着流程线依次代入循环结构，得到结果.
【详解】
第一次循环：09S =+，97T =+：第二次循环：97S =+，975T =++； 第三次循环：975S =++，9753T =+++；第四次循环：9753S =+++，97531T =++++；
第五次循环：97531S =++++，()975311T =+++++-，此时循环结束，可得()591252
S ⨯+==.选A. 【点睛】
本题考查了循环结构，顺着结构图，依次写出循环，属于简单题型.
8．D
【解析】
试题分析：由题设可知：p 是真命题，q 是假命题；所以，p ⌝是假命题，q ⌝是真命题； 所以，p q ∧是假命题，p q ⌝∧⌝是假命题，p q ⌝∧是假命题，p q ∧⌝是真命题；故选
D.
考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.
9．D
【分析】
根据题意得，()24,1,1a b +=-，所以224a b +=
+= 【详解】
由于向量()1,1,2a =-，()2,1,3b =-，所以()24,1,1a b +=-.
故224a b +=
+==
故选：D.
【点睛】 本题主要考查向量的模长问题，属于基础题目.
10．D
【分析】
根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e 上递减,在1(,)e
+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D .
【详解】 令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||
x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,
当0x >时,2ln ()ln x x f x x x x
==,()1ln f x x '=+, 由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e
<<, 所以()f x 在1(0,)e 上递减,在1
(,)e +∞上递增,
结合图像分析,,A C 不正确.
故选:D
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.
11．C
【分析】 因为AB ，BC ，BD 两两垂直，以BA 为X 轴，以BD 为Y 轴，以BC 为Z 轴建立空间直角坐标系，求出向量EF 与平面ACD 的法向量n ，再根据cos ,||||EF n EF n EF n ⋅〈〉=
，即可得出答案.
【详解】
因为在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，
以BA 为X 轴，以BD 为Y 轴，以BC 为Z 轴建立空间直角坐标系， 又因为4AB BC BD ===；
()4,0,0,(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4)A B D C ，又因为E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点
所以(0,0,2),(2,2,0)E F
故()2,2,2EF =- ，(4,4,0)AD =- ，(4,0,4)AC =-.
设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z = ，则0
0n AD n AC ⎧⋅=⎨
⋅=⎩
令1,x = 则1y z ==； 所以(1,1,1)n =
1
cos ,3
||||3EF n EF n EF n ⋅〈〉=
==
设直线EF 与平面ACD 所成角为θ ，则sin θ= cos ,EF n 〈〉
所以cos θ== 故选：C 【点睛】
本题主要考查线面角，通过向量法即可求出，属于中档题目. 12．A 【分析】
将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过导数研究函数的单调性即极
值，通过对k 与函数()h x 的极值的大小关系的讨论得到结果. 【详解】
易知当k ≤0时，方程只有一个解， 所以k >0．令2
()ln h x kx x =-，
2121()2kx h x kx x x -=-==
' 令()0h x '=
得x =
，
x =
为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1
[,]e e
内有两个实数解，
所以()01()00
1h e h e h e e
≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪
⎪<<⎪⎩，解得211
[,)2k e e ∈，
故选A. 【点睛】
该题考查的是有关根据方程在某个区间上的根的个数求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将根的个数转化为函数图象交点的个数来完成，属于中档题目. 13．
【详解】
2230ax ax --≤恒成立，当0a =时，30-≤成立；当0a ≠时，
20{4120
a a a <∆=+≤得30a -≤<；30a ∴-≤≤ 14．310x y --= 【分析】
设切点()00,A x y 由已知可得000()()y y f x x x '-=-，即可解得所求． 【详解】
由()2ln f x x x =+， 得()1
2f x x
'=+
，故()13f '=， 函数()2ln f x x x =+在点(1,2)处的切线方程为函数23(1)y x -=-. 即310x y --=. 故答案为：310x y --=. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，解题关键是掌握导数求曲线切线的方法，考查学生的计算能力，比较基础. 15．
92
【分析】
先画出可行域，根据2
2
(2)z x y =++表示可行域内的点到定点()0, 2-的距离的平方，即
可求出最小值． 【详解】
作出不等式组表示的可行域为一个三角形区域（包括边界），
22(2)z x y =++表示可行域内的点到定点()0, 2-的距离的平方，
由图可知，该距离的最小值为点()0, 2-到直线1x y +=
的距离d == 故max 9
2
z =
. 【点睛】
本题考查线性规划，属于基础题． 16．①③. 【分析】
对于①根据不等式,作差并构造函数()ln 1
x
f x x =
+,利用导数证明函数的单调性即可比较大小;对于不等式②,根据移项变形,构造函数()ln x
g x e x =-,通过求()',''()g x g x 即可判断函数的单调性,比较大小即可;对于③,构造函数()()log 1x h x x =+,利用换底公式,求导即可判断函数的单调性,进而比较大小即可. 【详解】
对于①若11++>a b b a 成立.两边同时取对数可得
11ln ln a b b a ++>,化简得()()1ln 1ln a b b a +>+
因为01a b <<<
则10,10a b +>+>,不等式两边同时除以()()11a b ++可得
ln ln 11
b a
b a >++ 令()ln 1
x
f x x =
+,()0,1x ∈ 则()()()()
22
11
1ln 1ln '11x x x
x x f x x x +-+-==++ 当()0,1x ∈时, 1
1ln 0x x
+->,所以()'0f x > 即()ln 1
x
f x x =
+在()0,1x ∈内单调递增
所以当01a b <<<时()()f b f a >,即ln ln 11
b a
b a >++ 所以11++>a b b a 故①正确
对于②若ln ln ->-a b e e a b ,化简可得ln ln a b e a e b ->- 令()ln x
g x e x =-,()0,1x ∈
则()()211',''x
x g x e g x e x x
=-
=+ 由()''0g x >可知()1
'x
g x e x
=-
在()0,1x ∈内单调递增 而()()'0,'110g g e →-∞=-> 所以()1
'x
g x e x
=-
在()0,1x ∈内先负后正 因而()ln x
g x e x =-在()0,1x ∈内先递减,再递增,所以当01a b <<<时无法判断ln a e a
-与ln b e b -的大小关系.故②错误. 对于③,若()()log 1log 1+>+a b a b 令()()log 1x h x x =+ 利用换底公式化简可得()()ln 1ln x h x x
+=
,()0,1x ∈ 则()()()()()()()()22
ln 1ln ln 1ln 1ln 11''ln ln 1ln x x x x x x x x x h x x x x x x +-+-++⎡⎤+===⎢⎥+⎣⎦
当()0,1x ∈时,()()ln 0,1ln 10x x x x <++> 所以()()ln 1ln 10x x x x -++<,即()'0h x < 则()()
ln 1ln x h x x
+=
在()0,1x ∈内单调递减
所以当01a b <<<时,
()()ln 1ln 1ln ln a b a b
++>
即()()log 1log 1+>+a b a b 所以③正确
综上可知,正确的为①③ 故答案为: ①③ 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性,通过构造函数比较不等式大小,对分析问题的能力要求较高,属于难题.
17．（1）23y x =-；（2）()0,1. 【解析】 【分析】
（1）将2a =代入，求出函数解析式，可得(0)f 的值，利用导数求出(0)f '的值，可得
()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（2）求出函数的导函数，结合a 的讨论，分别判断函数零点的个数，综合讨论结果，可得答案. 【详解】 解：（1）
22,()(3)e 4,(0)3x a f x x x x f =∴=--+∴=-,
()(2)e 24x f x x x '=--+，
则(0)2f '=，
故所求切线方程为23y x =-； （2）(
)
()()e x
f x x a a '
=--，
当1a 时，()0f x '>对(1,2)x ∈恒成立 ，
则()f x 在(1,2)上单调递增，从而()
21(1)e 02(2)(1)e 20f a a f a a ⎧⎛
⎫=--< ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-->⎩
，则(0,1)a ∈， 当12a <<时，()f x 在(1,)a 上单调递减，在(,2)a 上单调递增，
121(1)e 0,()0,(2)0
2a f a a f a f <<⎧⎛
⎫=--<∴<∴⎨ ⎪>⎝⎭⎩则a ∈∅ ，
当2e a <时， ()0f x '<对(1,2)x ∈恒成立，则()f x 在(1,2)上单调递减，
(1)0,()f f x <∴在（1，2）内没有零点 ，
综上，a 的取值范围为（0，1）. 【点睛】
本题主要考查了函数的零点，导函数的综合运用及分段函数的运用，难度中等. 18．（1）证明见解析（2）1
9
【分析】
（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，
()4,0,2EF =-，平面11ADD A 的法向量()10,1,0n =，10EF n ⋅=，得到证明.
（2）计算平面DEF 的法向量()1,2,2n =-，平面CEF 的法向量()1,2,2m =，计算夹角得到答案. 【详解】
（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设4AB =，则()4,2,0E ，()0,2,2F ，
()4,0,2EF =-，平面11ADD A 的法向量()10,1,0n =，
∵10EF n ⋅=，EF ⊄平面11ADD A ，∴//EF 平面11ADD A . （2）2AE =，()0,0,0D ，()4,2,0E ，()0,2,2F ，()0,4,0C ，
()4,2,0DE =，()0,2,2DF =，()4,2,0CE =-，()0,2,2CF =-，
设平面DEF 的法向量(),,n x y z =，
则420220n DE x y n DF y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩
，取1x =，得()1,2,2n =-，
设平面CEF 的法向量(),,m a b c =，
则420220m CE a b m CF b c ⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩
，取得1a =，得()1,2,2m =，
设二面角D EF C --的平面角为θ，
则二面角D EF C --的余弦值为11cos 339
m n m n
θ⋅=
=
=⨯⋅. 、
【点睛】
本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19．（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析. 【分析】
（1）分别求出3x =，16y =，从而
5
2
1
()
10i
i x x =-=∑，5
21
()254i i y y =-=∑，
5
1
()()47i
i i x x y y =--=∑
，求出()()
0.933n
i
i
x x y y r --=
=
≈∑，从
而得到管理时间y 与土地使用面积x 线性相关．
（2）完善列联表，求出218.7510.828K =>，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．
（3）x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为1
6
，由此能求出X 的分布列和数学期望． 【详解】 解：依题意：12345810132524
3,1655
x y ++++++++=
===
故
5
1
()()(2)(8)(1)(6)192847i x x y y =--=-⨯-÷-⨯-+⨯+⨯=∑
5
5
2
21
1
()
411410,()643698164254i i x x y y ==-=+++=-=++++=∑∑
则5
5
2
1
()()
0.933)
(x x y y r x y
--=
=
=≈-∑∑，
故管理时间y 与土地使用面积x 线性相关． （2）依题意，完善表格如下：
计算得2k 的观测值为
22
300(150505050)3005000500018.7510.828200100200100200100200100
k ⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯
故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．
（3）依题意，x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为1
6
， 故35125(0)(),6216P X
===1
235125(1)(),6672
P X C ==⨯⨯=
23333
2515(2)(11(3)62),72166
6P P X X C
C ⎛⎫=== ⎪⎭⨯⎝==⨯= 故x 的分布列为
则数学期望为12525511
()012321672722162
E X =⨯+⨯+⨯+⨯= （或由1(3,)6X B ~，得11
()362
E X =⨯=
【点睛】
本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等．
20．（1）2
2
14
y x +=；
（2）面积最大为2． 【分析】
（1）设出M 点的坐标，由M 为线段PD 的中点得到P 的坐标，把P 的坐标代入圆
2
2
4x y +=整理得线段PD 的中点M 的轨迹方程；（2）联立直线y x =和椭圆22
14y
x +=，
求出AB 的长；设过Q 且与直线y x =平行的直线为y x t =+，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，求出t ，和两平行直线间的距离，再由面积公式，即可得到最大值． 【详解】
设(),M x y ，由题意(),0D x ，()1,0P x
M 为线段PD 的中点， 102y y ∴+=即12y y =
又
()1,P x y 在圆224x y +=上，
2214x y ∴+=
2
2
44x y ∴+=，即2
2
14
y x +=，
所以轨迹C 为椭圆，且方程为2
2
14
y x +=.
联立直线y x =和椭圆22
14
y
x +=，
得到254x =，即x =
即有,,5555A B ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭
AB ∴== 设过Q 且与直线y x =平行的直线为y x t =+，
当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，
将y x t =+代入椭圆方程得：2258440x tx t ++-=
由相切的条件得()226445440t t ∆=-⨯⨯-=
解得t =
则所求直线为y x =+y x =
故与直线y x =的距离为d ==，
则ABQ △的面积的最大值为122S =
=. 【点睛】
本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系，注意等价的条件，同时考查联立方程，消去变量的运算能力，属于中档题．
21．（Ⅰ）e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（I ）对原函数求导，根据()f x 在(0,)+∞内的单调性得ln 24x a
x +在()0,x ∈+∞上恒成立，构造函数ln 2()x g x x
+=，求出其最大值即可求出a 的取值范围; （Ⅱ）函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，等价于'()ln 240f x x ax =+-=在()0,x ∈+∞内有两根1x ，2x ，将极值点代入作差，设120x x <<，得到0a <时原不等式成
立；0a >时，将原不等式转化为121122
21ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，令12x t x =，(0,1)t ∈，构造函数2(1)()ln 1
t h t t t -=-+，证明()(1)0h t h >=，即原不等式成立. 【详解】
（I ）由题可知()ln 24f x x ax +'=-，0x >，
f x 在0,内单调递减，
∴()ln 240f x x ax =+-≤'在0,
内恒成立， 即ln 24x a x x
≥+在0,内恒成立， 令()ln 2x g x x x =+，则()21ln x g x x
--'=， ∴当10e x <<时，0g x ，即()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内为增函数， 当1x e >时，0g x ，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
内为减函数， ∴()max g x =1g e e ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，即4a e ≥，4
e a ≥， ∴e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
； （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，
则()ln 240f x x ax =+-='在0,内有两根1x ，2x ，
1122ln 240ln 240
x ax x ax +-=⎧∴⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-， 不妨设120x x <<，
当0a <时，1212x x a
+>恒成立， 当0a >时，要证明1212x x a
+>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--，
即证明()
1212122ln ln x x x x x x ->-+，即证明121122
21ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 令12
x t x =，(0,1)t ∈， 令2(1)()ln 1
t h t t t -=-+， 2
2
(1')()0(1)t h t t t --∴=<+， ()h t ∴在(0,1)t ∈上单调递减，
()(1)0h t h ∴>=，
2(1)ln 1
t t t -∴>+， 即121122
21ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立， 1212x x a
∴+>
. 【点睛】 本题主要考查导数在研究函数中的应用，不等式的转化，构造函数讨论是解决问题的关键.
22．（1）2
2:12x C y +=，21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
；（2）证明见解析. 【分析】
（1）将曲线C 的极坐标方程变形为22
(si )2n ρρθ+=，再由222
sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，求出点,A B 的坐标，即可得出线段AB 的中点M 的坐标；
（2）
求得||||MA MB ==，写出直线EF 的参数方程，将直线EF 的参数方程与曲线C
的普通方程联立，利用韦达定理求得||||ME MF ⋅的值，进而可得出结论.
【详解】
（1）曲线C 的极坐标方程可化为22
2(sin )ρρθ=-，
即22(si )2n ρρθ+=， 将222
sin x y y
ρρθ⎧=+⎨=⎩代入曲线C 的方程得2222x y +=， 所以，曲线C 的直角坐标方程为2
2:12
x C y +=. 将直线l 的极坐标方程化为普通方程得1x y -=， 联立22112x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 则点(0,1)A -、41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，402323
+=,111323-+=-, 因此，线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫- ⎪⎝
⎭； （2）由（1
）得||||3
MA MB ==，8||||9MA MB ∴⋅=， 易知AB 的垂直平分线EF
的参数方程为232132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），
代入C
的普通方程得234023
t -=， ,E F 对应的参数为12,t t ，124
8339
2
t t =-=- 1212483|||||39
|||||2
ME MF t t t t -∴====⋅⋅，
因此，||||||||MA MB ME MF ⋅=⋅.
【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
23．（1）{|02}x x <<．（2）见解析
【分析】
（1）利用零点分段法解绝对值不等式，即可得答案；
（2）根据三角形绝对值不等式，即可证明不等式；
【详解】
（1）∵()1f x x <+，∴211x x -<+， 即12211x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩ 或102121
x x x ⎧<<⎪⎨⎪-<+⎩或0121x x x ≤⎧⎨-<-+⎩ 解得：122x ≤<或102
x <<或无解． 故不等式()1f x x <+的解集为{|02}x x <<．
（2）证明：
()()()()1152121212121212121366
f x x x y y x y y x y y =-=--++≤--++=--++≤⨯+=<.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解和证明，考查逻辑推理能、运算求解能力，属于基础题.。