二、滑块、木板(平板车)模型

二、滑块、木板（平板车）模型
例1、一质量为M 的长木板静止在光滑水平桌面上．一质量为m 的小滑块以水平速度v 0从长木
板的一端开始在木板上滑动，直到离开木板．滑块刚离开木板时的速度为v 0/3．若把该木板固定在水平桌面上，其它条件相同，求滑块离开木板时的速度v ．
例2、一块质量为M 长为L 的长木板，静止在光滑水平桌面上，一个质量为m 的小滑块以
水平速度v 0从长木板的一端开始在木板上滑动，直到离开木板，滑块刚离开木板时的
速度为v 0
5
．若把此木板固定在水平桌面上，其他条件相
同．求： （1）求滑块离开木板时的速度v ；
（2）若已知滑块和木板之间的动摩擦因数为μ，求木板的长度． 例3、如图所示，光滑的曲面轨道的水平出口跟停在光滑水平面上的平板小车的上表面相平，
质量为m 的小滑块从光滑轨道上某处由静止开始滑下并滑下平板小车，使得小车在光滑水平面上滑动．已知小滑块从光滑轨道上高度为H 的位置由静止开始滑下，最终停到板面上的Q 点．若平板小车的质量为3m ．用g 表示本地的重力加速度大小，求： （1）小滑块到达轨道底端时的速度大小v 0；
（2）小滑块滑上小车后，平板小车可达到的最大速度V ； （3）该过程系统产生的总热量Q ．
v 0
M m
例4、如图所示，一质量为M 、长为l 的长方形木板B 放在光滑的水平地面上，在其右端放
一质量为m 的小木块A ，m <M ．现以地面为参照系，给A 和B 以大小相等、方向相反的初速度（如图），使A 开始向左运动、B 开始向右运动，但最后A 刚好没有滑离木板．以地面为参考系．
（1）若已知A 和B 的初速度大小为v 0，求它们最
后的速度的大小和方向； （2）若初速度的大小未知，求小木块A 向左运动到达的最远处（从地面上看）离出发点的距离．
例5、如图所示，长木板ab 的b 端固定一挡板，木板连同档板的质量为M=4.0kg ，a 、b 间
距离s=2.0m ．木板位于光滑水平面上.在木板a 端有一小物块，其质量m =1.0kg ，小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.10，它们都处于静止状态．现令小物块以初速v 0=4.0m/s 沿木板向前滑动，直到和挡板相碰.碰撞后，小物块恰好回到a 端而不脱离木板．求碰撞过程中损失的机械能．
例6、如图所示，质量为m =5kg 的长木板放在水平地面上，在木板的最右端放一质量也为
m =5kg 的物块A ．木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.3，物块与木板间的动摩擦因数μ2=0.2．现用一水平力F =60N 作用在木板上，使木板由静止开始匀加速运动，经过t =1s ，撤去拉力．设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．（g 取10m/s 2）求： （1）拉力撤去时，木板的速度大小．
（2）要使物块不从木板上掉下，木板的长度至少多大．
（3）在满足（2）的条件下，物块最终将停在距板右端多远处．
v 0
v
例7、如图所示，光滑水平地面上停着一辆平板车，其质量为2m，长为L，车右端（A点）有一块静止的质量为m的小金属块．金属块与车间有摩擦，与中点C为界，AC段与CB段摩擦因数不同．现给车施加一个向右的水平
恒力，使车向右运动，同时金属块在车上开始滑动，
当金属块滑到中点C时，即撤去这个力．已知撤去力的瞬间，金属块的速度为v0，车的速度为2v0，最后金属块恰停在车的左端（B点）如果金属块与车的AC段间的动摩擦因数为μ1，与CB段间的动摩擦因数为μ2，求μ1与μ2的比值．
F
A
C
B
L
例18、如图所示，质量m A为4.0kg的木板A放在水平面C上，木板与水平面间的动摩擦因数μ为0.24，木板右端放着质量m B为1.0kg的小物块B（视为质点），它们均处于静止状态.木板突然受到水平向右的12N·s的瞬时冲量I作用开始运动，当小物块滑离木板时，木板的动能E kA为8.0J，小物块的动能E kB为0.50J，重力加速度取10m/s2，求：
（1）瞬时冲量作用结束时木板的速度v0；
B （2）木板的长度L． A
C
L
例1：【答案】
0413v m
M
+
解析：设第一次滑块离开木板时木板的速度为v 1，对系统，由动量守恒定律，得
013
v mv m
Mv =+ ①
设滑块与木块间摩擦力为F ，木板长为L ，木板滑行距离为s ．根据动能定理
对木板，有211
2
Fs Mv =
② 对滑块，有22
0011()()223
v F s L mv m +=-
③ 当木板固定时，对滑块，有22
01122
FL mv mv =-
④
联立以上各式解得0413v m v M
=
+ 例2.【答案】（1）01615v m M +；（2）208(12)25v m
g M
μ- 解析：（1）设长木板的长度为l ，长木板不固定时，对M 、m 组成的系统，由动量守恒定律，得0
05
v mv m
Mv '=+ ① 由能量守恒定律，得22200111
()2252
v mgl mv m Mv μ'=
-- ②
当长木板固定时，对m ，根据动能定理，有
22
01122
mgl mv mv μ-=
- ③
联立①②③解得01615v m
v M
=
+ （2）由①②两式解得208(12)25v m
l g M
μ=
- 例3：【答案】（1）2gH ；（2）
124gH ；（3）3
4
mgH 解析：滑块滑至Q 点时它与小车具有相同速度，这个速度大小为V ，则有：
m g H m v =12
02
① m v m m V 3=+() ②
2201
1
(3)22
Q mv m m V =
-+ ③ 解得v g H 02
= ④ V g H =
14
2 ⑤ 34
Q mgH =
⑥
例4.【答案】（1）
0M m v M m -+，方向向右；（2）4M m
l M
+
解析：（1）A 刚好没有滑离B 板，表示当A 滑到B 板的最左端时，A 、B 具有相同的速度．设此速度为v ，A 和B 的初速度的大小为v 0，由动量守恒可得
00()Mv mv M m v -=+
解得0M m
v v M m
-=
+，方向向右
①
（2）A 在B 板的右端时初速度向左，而到达B 板左端时的末速度向右，可见A 在运动过程中必经历向左作减速运动直到速度为零，再向右作加速运动直到速度为v 的两个阶段．设l 1为A 开始运动到速度变为零过程中向左运动的路程，l 2为A 从速度为零增加到速度为v 的过程中向右运动的路程，L 为A 从开始运动到刚到达B 的最左端的过程中B 运动的路程，如图所示．设A 与B 之间的滑动摩擦力为f ，根据动能定理，
对B ，有2
2
01122fL Mv Mv =
- ② 对A ，有2
1012
fl mv =
③ 221
2
fl mv =
④ 由几何关系L ＋（l 1－l 2）＝l ⑤ 由①②③④⑤式解得14M m
l l M
+= ⑥
例5.【答案】2.4J
解析：设木块和物块最后共同的速度为v ，由动量守恒定律得
v M m mv )(+=
①
设全过程损失的机械能为E ，则
220)(2
1
21v M m mv E +-=
②
用s 1表示从物块开始运动到碰撞前瞬间木板的位移，W 1表示在这段时间内摩擦力对木板所做的功．用W 2表示同样时间内摩擦力对物块所做的功．用s 2表示从碰撞后瞬间到物块回到a 端时木板的位移，W 3表示在这段时间内摩擦力对木板所做的功．用W 4表示同样时间内摩擦力对物块所做的功．用W 表示在全过程中摩擦力做的总功，则 W 1=1mgs μ
③ W 2＝)(1s s mg +-μ ④ W 3＝2mgs μ- ⑤ W 4＝)(2s s mg -μ
⑥ W ＝W 1＋W 2＋W 3＋W 4
⑦
用E 1表示在碰撞过程中损失的机械能，则 E 1＝E －W
⑧
由①～⑧式解得
mgs v M
m mM E μ2212
01-+=
⑨
代入数据得E 1＝2.4J ⑩
例6.【答案】（1）4m/s ；（2）1.2m ；（3）0.48m
解析：（1）若在时间t =1s 内，物块与长木板一起运动，加速度为a ，则
122F mg ma μ-=
① 物块受合外力2f ma mg μ=>
②
说明物块在长木板上发生了相对滑动．
设撤去F 时，长木板的速度为v ，滑块速度为v ，由动量定理可知，
对物块，有22mgt mv μ=
③ 对系统，有112(2)F mg t mv mv μ-=+
④
代入数据解得v 1=4m/s ，v 2=2m/s
拉力撤去时，长木板的速度大小为4m/s ．
（2）设撤去拉力后，经时间t 1，两者获得共同速度为v ，由动量定理可知， 对物块，有212mgt mv mv μ=-
⑤ 对长木板，有211112mgt mgt mv mv μμ--=- ⑥
将v 1和v 2的数值代入解得t 1=0.2s ，v =2.4m/s
在t =1s 内，物块相对于长木板的位移s 1=(v 1－v 2)t /2=1m ⑦ 在t 1=0.2s 内，物块相对于长木板的位移s 2=(v 1-v 2)t 1/2=0.2m ⑧
木板的长度最小值为L =s 1+s 2=1.2m
（3）滑块与木板有了共同速度后，在摩擦力作用下均做减速运动，物块相对于木板向右运动，木板和物块先后停下，设木板位移为x 1，物块位移为x 2，由动能定理，得
22111
(2)02
mg mg x mv μμ-=-
⑨ 2221
02
mgx mv μ-=-
⑩
这段时间内物块相对于木板的位移s 3=x 2－x 1 =0.72m ． 物块最终离板右端的距离d =s 1＋s 2－s 3 =0.48m
例7.【答案】2
321=μμ
解析：设水平恒力F 作用时间为t 1．
对金属块使用动量定理F f t 1=mv 0-0即μ1mgt 1=mv 0，得t 1=0
1v g
μ 对小车有（F -F ）t =2m ×2v －0，得恒力F =5μmg
金属块由A →C 过程中做匀加速运动，加速度a 1=f F m
=
g m
mg
11μμ=
小车加速度11215222f F F mg mg
a g m
m
μμμ--=
=
=
金属块与小车位移之差22202111111111
(2)()222v s a t a t g g g
μμμ=
-=- 而2L s =，所以，2
01v gL
μ=
从小金属块滑至车中点C 开始到小金属块停在车的左端的过程中，系统外力为零，动量守恒，设共同速度为v ，由2m ×2v 0+mv 0= （2m +m ）v ，得v =3
5
v 0 由能量守恒有2220001115
2(2)3()22223L mg mv m v m v μ=+⨯⨯-⨯⨯，得20223v gL
μ= 所以，2321=μμ
例8.【答案】0.50m
解析：（1）设水平向右为正方向，有I =m A v 0 ① 代入数据得v 0=3.0m/s
②
（2）设A 对B 、B 对A 、C 对A 的滑动摩擦力的大小分别为F AB 、F BA 和F CA ，B 在A 滑行的时间为t ，B 离开A 时A 和B 的速度分别为v A 和v B ，有 －(F BA ＋F CA )t =m A v A －m A v A ③ F AB t =m B v B
④ 其中F AB =F BA F CA =μ(m A ＋m B )g
⑤
设A 、B 相对于C 的位移大小分别为s A 和s B ， 有22
11()22BA CA A A A A F F s m v m v -+=- ⑥ F AB s B =E kB
⑦ 动量与动能之间的关系为2A A A kA m v m E =
⑧ 2B B B kB m v m E =
⑨ 木板A 的长度L =s －s
⑩
代入数据解得L=0.50m。