黑龙江省黑河市2021届新高考数学一模考试卷含解析

黑龙江省黑河市2021届新高考数学一模考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件
C ．甲4件，乙5件
D ．甲2件，乙6件
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】
设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*
4750,
,,
x y x y N +≤⎧⎨∈⎩ 1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，
显然当55
99
y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D. 【点睛】
本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题. 2．已知函数3
1()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪-⎝⎭
，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
B ．()0,1
C ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C
【分析】
求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式． 【详解】 由
101x
x
+>-得11x -<<， 在(1,1)x ∈-时，3
y x =是增函数，sin y x =是增函数，12
ln
ln(1)11x y x x
+==-+--是增函数，∴3
1()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪-⎝⎭
是增函数， ∴由(21)(0)f a f ->得0211a <-<，解得1
12
a <<． 故选：C. 【点睛】
本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．
3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】
试题分析：根据题意，当2x ≤时，令213x -=，得2x =±；当2x >时，令2log 3x =，得
9x =，故输入的实数值的个数为1．
考点：程序框图．
4．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．920π+
B ．926π+
C ．520π+
D ．526π+
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积. 【详解】
由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积
21
12141222
S ππ=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯14224520π+⨯⨯+⨯=+，故选C.
【点睛】
本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 5．复数21i
z i
=-（i 为虚数单位），则z 等于（ ） A ．3 B ．22C ．2 D 2
【答案】D 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解. 【详解】
()()()
()21211111i i i
z i i i i i i +===+=-+--+，
所以1z i =--，2z =， 故选：D.
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.
6．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.
详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以
sin sin 1cos cos A B
A B
>，因为0,0A B ππ<<<<，
所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，
结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2
A B π
π<+<，
因此02
C <<
π
，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
7．过双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF AB ⊥，且
BF DF =，则C 的离心率是（ ）
A B ．2 C D ．
2
【答案】D 【解析】 【分析】
如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接2DF 并延长交右支于C ，连接FC ，设2DF x =，利用双曲线的几何性质可以得到2DF x a =+，4FC x a =+，结合Rt FDC ∆、2Rt FDF ∆可求离心率.
如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接FC ，连接2DF 并延长交右支于C . 因为2,==FO OF AO OD ，故四边形2FAF D 为平行四边形，故2FD DF ⊥. 又双曲线为中心对称图形，故2F C BF =.
设2DF x =，则2DF x a =+，故22F C x a =+，故4FC x a =+.
因为FDC ∆为直角三角形，故()()()2
2
2
4222x a x a x a +=+++，解得x a =. 在2Rt FDF ∆中，有22249c a a =+，所以510
2c e a ===
. 故选：D. 【点睛】
本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于
,,a b c 的方程，本题属于难题.
8．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u v u u u u v
，则()PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v 等
于（ ） A ．
49
B ．49
-
C ．
43
D ．43
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r
可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解． 【详解】
解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，
又由点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r
∴P 是三角形ABC 的重心
∴()
PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r
2||PA AP PA u u u r u u u r u u u r =⋅=-
又∵AM ＝1
∴2||3PA =u u u r
∴()
49
PA PB PC ⋅+=-u u u r u u u r u u u r
故选B ． 【点睛】
判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．
②性质：0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r
或222
AP BP CP ++u u u r u u u r u u u r 取得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．
9．定义在[]22-,
上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-
、1
6-、1、43，则函数()x
f x y e =的单调递减区间是（ ）
A ．14,63⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ B ．1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．11,26-
-⎛⎫
⎪⎝
⎭ D ．()1,2
【答案】B 【解析】 【分析】
先辨别出图象中实线部分为函数()y f x =的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数()x
f x y e
=
的
导数为()()
x
f x f x y e
'=
'-，由0y '<，得出()()f x f x '<，只需在图中找出满足不等式()()f x f x '<对
应的x 的取值范围即可. 【详解】
若虚线部分为函数()y f x =的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与x 轴有三个交点，不合乎题意；
若实线部分为函数()y f x =的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与x 轴恰好也只有两个交点，合乎题意. 对函数()x
f x y e
=
求导得()()
x
f x f x y e
'=
'-，由0y '<得()()f x f x '<，
由图象可知，满足不等式()()f x f x '<的x 的取值范围是1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 因此，函数()x
f x y e =的单调递减区间为1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题. 10．51
(1)x x
-+展开项中的常数项为 A ．1 B ．11
C ．-19
D ．51
【答案】B 【解析】 【分析】
展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.
展开式中的项为常数项，有3种情况： （1）5个括号都出1，即1T =；
（2）两个括号出x ，两个括号出1()x
-，一个括号出1，即222
2531()130T C x C x =⋅⋅⋅-⋅=；
（3）一个括号出x ，一个括号出1()x
-，三个括号出1，即11
541()120T C x C x =⋅⋅⋅-⋅=-；
所以展开项中的常数项为1302011T =+-=，故选B. 【点睛】
本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.
11．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且
()
()2
2
2
4
m f m f f n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，
则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4 B ．6
C ．3
D ．8
【答案】A 【解析】 【分析】
根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值.
【详解】
函数()f x 的定义域为()0,∞+，且
()
()2
2
2
4
m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
⋅=，
则()()m f f n f m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1
2
01x x <
<， 故120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭
， 令1m x =，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
， 即()()11220x f x f x f x ⎛⎫
-=< ⎪⎝⎭
，
故函数()f x 在()0,∞+上单调递增，
令16m =，4n =，
故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【点睛】
本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.
12．已知函数()ln 2f x x ax =-，()2
42ln ax g x x x
=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则
a 的取值范围为（ ）
A ．(]0,e
B ．10,
2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．(),e +∞
D ．10,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可将方程转化为
ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln x
t x x
=，()()0,11,x ∈+∞U ，进而将方程转化为()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论.
【详解】
由题意知方程()()f x g x =在()()0,11,+∞U 上恰有三个不相等的实根，
即2
4ln 22ln ax x ax x x
-=-，①.
因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x ax
a x x
-=-. 所以方程
ln 4220ln x ax
a x x
--+=有三个不等的正实根. 记()ln x t x x
=，()()0,11,x ∈+∞U ，则上述方程转化为()()4220a t x a t x --+=. 即()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2t x =-或()2t x a =. 因为()2
1ln x
t x x
-'=
，当()()0,11,x e ∈U 时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0x →
当(),x e ∈+∞时，()0t x '
<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →.
所以当x e =时，()t x 取最大值1
e
，当()2t x =-，有一根. 所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e
<<. 故选：B. 【点睛】
本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知0a >，0b >，4c ≥，且2a b +=
，则
2ac c c b ab +-+
___________．
【解析】 【分析】
由2
()22a b +=，先将112a b ab +-变形为2254a b ab +
，运用基本不等式可得最小值，再求
11
5[(2)1]2222
c c c c +=-++--的最小值，运用函数单调性即可得到所求值. 【详解】
解：因为0a >，0b >，4c ≥，且2a b +=，
所以
1122ac c c a c b ab b ab ⎛⎫
+-=+- ⎪⎝⎭
2(22)2c a ab ab +-=+
因为2
()22
a b +=，所以2
2
2
()222222a b a ab a ab ab ab
++-+-=
225442
a b ab ab +=≥=
，
当且仅当b =时，取等号，
所以
112222
ac c c a c b ab c b ab c ⎛⎫
+-+=+-+
⎪--⎝⎭
2(22)c a ab +-
22
c ≥
+
- 1
1
5[(2)1]2
2
c c =-++- 令2(2)t c t =-≥1111
5[(2)5(1)222c t c t
-+
+++-， 令11()=1(2)2f t t t t ++≥，则'
211()=02f t t
->，
所以函数()f t 在[2,)+∞上单调递增， 所以115()(2)21222
f t f ≥=
⨯++=
1
11155[(2)5(1)2
222c t c t -+
+++≥-
故答案为： 【点睛】
此题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三相等，考查利用单调性求最值，考查化简和运算能力，属于中档题.
14．（5分）国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是17,20,16,18,19，则这五位同学答对题数的方差是____________． 【答案】2 【解析】 【分析】 【详解】
由这五位同学答对的题数分别是17,20,16,18,19，得该组数据的平均数1720161819
185
++++=
=x ，则方
差2222
1[(1718)(2018)(1618)5=⨯-+-+-+s 22(1818)(1918)]-+-=
1025
=． 15．已知实数,a b 满足2019a bi i +=（i 为虚数单位），则+a b 的值为_______. 【答案】1- 【解析】 【分析】
解：由1i i =，21i =-，3i i =-，41i =
所以201945043()a bi i i i i +===-g ， 得0a =，1b =-．
1a b ∴+=-．
故答案为：1-． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的性质，属于基础题．
16．已知向量()1,1a =r
，()2,b m =-r ，若()
2//a b b -r r r ，则实数m =______.
【答案】-2 【解析】 【分析】
根据向量坐标运算可求得()24,2a b m -=-r
r ，根据平行关系可构造方程求得结果.
【详解】
由题意得：()24,2a b m -=-r
r
()
2//a b b -r
r r Q ()422m m ∴=--，解得：2m =-
本题正确结果：2- 【点睛】
本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点,E F 分别是线段,DC BC 的中点，分别将DAE △沿AE 折起，CEF △沿EF 折起，使得,D C 重合于点G ，连结AF .
（Ⅰ）求证：平面GEF ⊥平面GAF ； （Ⅱ）求直线GF 与平面GAE 所成角的正弦值.
【分析】
（Ⅰ）根据GE GA ⊥，GE GF ⊥，可得GE ⊥平面GAF ，故而平面GEF ⊥平面GAF ．
（Ⅱ）过F 作FH AG ⊥于H ，则可证FH ⊥平面GAE ，故FGH ∠为所求角，在AGF ∆中利用余弦定理计算cos FGH ∠，再计算sin FGH ∠． 【详解】
解：（Ⅰ）因为GE GA ⊥，GE GF ⊥，GE GF G =I ，GE Ì平面GAF ，GF ⊂平面GAF 所以GE ⊥平面GAF ， 又GE Ì平面GEF ， 所以平面GEF ⊥平面GAF ；
（Ⅱ）过F 作FH AG ⊥于H ，则由GE ⊥平面GAF ，且FH
⊂平面GAF 知
GE FH ⊥，所以FH ⊥平面GAE ，从而FGH ∠是直线GF 与平面GAE 所成角.
因为3AG =，32FG =
，22373
4()2AF =+=， 所以2
2
2
973
9744cos 329232
GA GF AF AGF GA GF +-
+-∠=
==-⋅⋅⋅⋅， 从而242
sin sin 1cos 9
FGH AGF AGF ∠=∠=-∠=
.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题． 18．在极坐标系中，已知曲线1:cos 3sin 10C ρθρθ-=，2:2cos C ρθ=． （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； （2）若曲线1C 、2C 交于A 、B 两点，求两交点间的距离．
【答案】（1）1:310C x -=表示一条直线，()2
22:11C x y -+=是圆心为()1,0，半径为1的圆；（2）
2.
（1）直接利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线1C 的方程化为直角坐标方程，进而可
判断出曲线1C 的形状，在曲线2C 的方程两边同时乘以ρ得2
2cos ρρθ=，由222cos x y x
ρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线2
C 的方程化为直角坐标方程，由此可判断出曲线2C 的形状；
（2）由直线1C 过圆2C 的圆心，可得出AB 为圆2C 的一条直径，进而可得出AB . 【详解】
（1）1:cos 3sin 10C ρθρθ--=Q ，则曲线1C 的普通方程为310x y --=， 曲线1C 表示一条直线；
由2:2cos C ρθ=，得22cos ρρθ=，则曲线2C 的直角坐标方程为22
2x y x +=，即()2
211x y -+=．
所以，曲线2C 是圆心为()1,0，半径为1的圆；
（2）由（1）知，点()1,0在直线310x y --=上，∴直线1C 过圆2C 的圆心． 因此，AB 是圆2C 的直径，212AB =⨯=∴． 【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.
19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为3
2
，且过点73(,)24，点P 在第一象限，A 为左顶
点，B 为下顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .
（1）求椭圆E 的标准方程； （2）若//CD AB ，求点P 的坐标.
【答案】（1）22
14x y +=；（2）22,2⎫⎪⎪⎭
【解析】
（1
）由题意得22222791416c a a b c a b
⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，求出22
,a b ，进而可得到椭圆E 的方程；
（2）由（1）知点A ，B 坐标，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，易知1
02
k <<
，可得点C 的坐标为(0,2)k ，联立方程22
(2)14
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得到关于y 的一元二次方程，结合根与系数关系，可用k 表示P 的坐标，进而由,,P B D 三点共线，即BD PB k k =，可用k 表示D 的坐标，再结合CD AB k k =，可建立方程，从而求出k 的值，即可求得点P 的坐标. 【详解】
（1
）由题意得222
22279
1416c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩
，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，
所以椭圆E 的方程为2
214
x y +=.
（2）由（1）知点(2,0)A -，(0,1)B -， 由题意可设直线AP 的斜率为k ，则1
02
k <<
，所以直线AP 的方程为(2)y k x =+，则点C 的坐标为(0,2)k ，
联立方程22
(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(14)161640k x k x k +++-=. 设11(,)P x y ，则212164214k x k --⋅=+，所以212
82
14k x k -=-+， 所以2122824(2)1414k k y k k k -=-+=++，所以222
824(,)1414k k
P k k
--++. 设D 点的坐标为0(,0)x ，因为点,,P B D 三点共线，所以BD PB k k =，即
2202
41
1148214k
k k x k ++=--
+，所以0
2412k x k -=+，所以24(,0)12k D k -+.
因为//CD AB ，所以CD
AB k k =，即21
24212k k k
=-
-
-
+，
所以24410k k +-=，解得12
2
k -±=
， 又1
02
k <<
，所以21
k -=符合题意， 计算可得2282214k k --=+，2
42
142
k k =+， 故点P 的坐标为2
(2,)2
. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查平行线的性质，考查学生的计算求解能力，属于难题.
20．将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -后得到如图所示几何体，O 为11A C 的中点.
（1）求证：//OB 平面1ACD ； （2）求二面角11C AD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（23
【解析】 【分析】
（1）取AC 的中点M ，连接BM 、1D M ，连接11B D ，证明出四边形1MBOD 为平行四边形，可得出
1//OB MD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）以点1A 为坐标原点，11A D 、11A B 、1A A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角11C AD C --的余弦值，进而可求得其正弦值.
（1）取AC 中点M ，连接MO 、BM 、1D M ，
11//AA CC Q 且11AA CC =，∴四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =，
O Q 、M 分别为11A C 、AC 中点，1//AM AO ∴且1AM AO =， 则四边形1
AAOM 为平行四边形，1//OM AA ∴且1OM AA =， 11//AA BB Q 且11AA BB =，1//OM BB ∴且1OM BB =，
所以，四边形1BB OM 为平行四边形，1//BM OD ∴且1BM OD =，
∴四边形1MBOB 为平行四边形，1//OB D M ∴，
1MD ⊂Q 平面1ACD ，OB ⊄平面1ACD ，//OB ∴平面1ACD ；
（2）以点1A 为坐标原点，11A D 、11A B 、1A A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1A xyz -，则()2,2,2C 、()0,0,2A 、()12,2,0C 、()12,0,0D ，
()12,0,2AD =-u u u u r ，()2,2,0AC =u u u r ，()110,2,0DC =u u u u r ， 设平面1ACD 的法向量为()111,,m x y z =u r
，
由100m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
u u u v v u u u u v v ，得1111220220x y x z +=⎧⎨-=⎩，取11x =，则11y =-，11z =，()1,1,1m ∴=-u r ，
设平面11AD C 的法向量为()222,,n x y z =r
，
由11100n D C n AD ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v ，得22220220y x z =⎧⎨-=⎩，取21x =，则20y =，21z =，()1,0,1n ∴=r ，
cos m n m n m n ⋅<⋅>===⋅u r r
u r r Q u r r
sin ,m n ∴<>==u r r ，
因此，二面角11C AD C --
【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
21．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI ）的检测数据，结果统计如表：
（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为
091002201002501480250300x y x x ≤≤⎧⎪
=≤⎨⎪≤⎩
，
，＜，＜，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、
重度污染、严重污染的概率分别为111111
63612126
，，，，，.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.
（i ）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X 元，求X 的分布列；
（ii ）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由. 【答案】（1）23114
；（2）（i ）详见解析；（ii ）会超过；详见解析 【解析】 【分析】
（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.
（2）（i ）写出X 所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.
（ii ）由（i ）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7
【详解】
（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，
则P （ξ＝2）21614320738C C C ==，P （ξ＝3）363
201
57
C C ==， 则这3天中空气质量至少有2天为优的概率 为
7123
3857114
+=； （2）（i ）()()201
001001005P X P x ==≤≤=
=， ()()707
22010025010010P X P x ==<≤==，
()()101
148025030010010
P X P x ==<≤==，
X 的分布列如下：
（ii ）由（i ）可得： E （X ）＝015
⨯+2207
10
⨯
+1480110⨯=302（元），
故该企业9月的经济损失的数学期望为30E （X ）， 即30E （X ）＝9060元，
设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y 元，
可得：()111
0632P Y ==
+=， ()1111220612123P Y ==++=，()1
14806P Y ==，
E （Y ）＝016⨯+22013⨯+14801
6
⨯=320（元），
所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成
经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元）， 由19840+9060＝28900＞28800，
即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成 经济损失总额的数学期望会超过2.88万元. 【点睛】
本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。

22．某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.
求量，y （单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润.
（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数和众数； （2）将y 表示为x 的函数；
（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.
【答案】（1）153x =，众数为150；（2）8048008000x y -⎧=⎨⎩
()
()100160160200x x ≤<≤≤；（3）0.90
【解析】 【分析】
（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数；（2）
由已知条件推导出当100160x 剟
时，50(160)?30804800y x x x =--=-，当160200x <…时，160508000y =⨯=，由此能将y 表示为x 的函数；（3）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元
的概率． 【详解】
（1）由直方图可估计需求量x 的众数为150 ， 由直方图可知[)100120，
的频率为：200.0050=0.10⨯ 由直方图可知[)120140，
的频率为：200.010=0.20⨯ 由直方图可知[)140160，
的频率为：200.0150=0.30⨯ 由直方图可知[)160180，
的频率为：200.0125=0.25⨯ 由直方图可知
[]180200，
的频率为：200.0075=0.15⨯ ∴估计需求量x 的平均数为：
（2）当100160≤<x 时，5030(160)804800=--=-y x x x
当160200≤≤x 时，50160=8000=⨯y
∴8048008000x y -⎧=⎨⎩
100160160200（）（）≤<≤≤x x （3）由（2）知 当160200≤≤x 时，50160=8000>4800=⨯y
当100160≤<x 时，8048004800=-≥y x 得120160≤<x
∴开学季利润不少于4800元的需求量为120200≤≤x
由频率分布直方图可所求概率0.200.300.250.150.90=+++=P
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．
23．已知函数()212,()f x x x g x x m x m =--+=+--.
（1）解不等式()8f x >；
（2）12,x R x R ∀∈∃∈使得12()()f x g x =，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）(),5(11,)-∞-⋃+∞；（2）54
m ≤-
或 54m ≥. 【解析】
【分析】
（1）分段讨论得出函数()f x 的解析式，再分范围解不等式，可得解集；
（2）先求出函数()()f x g x ，的最小值，再建立关于m 的不等式，可求得实数m 的取值范围.
【详解】 （1）因为()3,21()21231,200213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--+=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩
， ， 所以当2x -≤时，385x x ->⇒<-； 当122x -<<
时，3183,x x -->⇒<-∴ 无解； 当12
x ≥时，3811x x ->⇒>； 综上，不等式的解集为(),5(11,)-∞-⋃+∞；
（2）3,2115()31,2()()22213,2x x f x x x f x f x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=---<<∴≥=-⎨⎪⎪-≥⎪⎩
Q ，， 又55()2,2,24g x x m x m m m m =+--≥-∴-≤-∴≥Q ， 54m ∴≤-
或 54
m ≥. 【点睛】
本题考查分段函数，绝对值不等式的解法，以及关于函数的存在和任意的问题，属于中档题.。