浙江省杭州市第九中学2021年高二数学文月考试题含解析

浙江省杭州市第九中学2021年高二数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列命题是真命题的是( )
A、“若，则”的逆命题；
B、“若，则”的否命题；
C、若，则；
D、“若，则
”的逆否命题
参考答案：
D
2. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线
在点处切线的斜率为
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
3. 把11化为二进制数为( ).
A．1 011(2) B．11 011(2) C．10 110(2) D．0 110(2)
参考答案：
A
4. 函数的最小值是（）
A、1
B、2
C、3
D、4
参考答案：
B
略5. 已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则双曲线的方程为（）
A．B．﹣=1
C．D．
参考答案：
A
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的焦距以及渐近线方程，推出a，b的方程，求解即可得到双曲线方程．
【解答】解：双曲线的焦距为，可得c=，即a2+b2=5，…①
双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0，可得a=2b，…②，
解①②可得a=2，b=1．
所求的双曲线方程为：．
故选：A．
6. 若函数在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案：
D
7. 已知数列{a n}的其前n项和S n=n2﹣6n，则数列{|a n|}前10项和为( )
A．58 B．56 C．50 D．45
参考答案：
A
【考点】数列的求和．
【专题】分类讨论；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】利用递推关系可得：a n．令a n≥0，解得n≥4；可得|a n|=．即可得出数列{|a n|}前10项和=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+…+a10．
【解答】解：∵S n=n2﹣6n，
∴当n=1时，a1=S1=﹣5；
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣6n﹣=2n﹣7，
当n=1时上式也成立，∴a n=2n﹣7．
令a n≥0，解得n≥4；
∴|a n|=．
∴数列{|a n|}前10项和=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+…+a10
=S10﹣2S3
=（102﹣6×10）﹣2（32﹣6×3）
=58．
故选：A．
【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值数列的求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8. 直线与圆相切，则
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
9. 已知等差数列中，有，且该数列的前项和有最大值，则使得成立的的最大值为( )
A．11 B．19 C． 20 D．21
参考答案：B
略
10. 已知等差数列的前项和为，若，，则（）
A. 16
B. 18
C. 22
D. 25
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是．
参考答案：
20+3π
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，由此能求出该几何体的表面积．
【解答】解：由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，
∴该几何体的表面积S=5×22+π×12+=20+3π．
故答案为：20+3π．
【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
12. 已知椭圆=1的两个焦点是F1, F2, 点P在该椭圆上．若|PF1|-|PF2|=2,
则△PF1F2的面积是______
参考答案：
略
13. 已知F 1、F 2为椭圆的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点,若|F 2A|+|F 2B|=12，则
|AB|= . 参考答案：
8
14. 直角三角形
ABC 中，AB 为斜边，，，设
P 是
（含边界）内一
点，P 到三边的距离分别是，则的范围是 ．
参考答案：
略
15. 已知矩阵A =,B =,则矩阵＝ ．
参考答案：
16. 若执行如下图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝4，x 4＝8，则输出的数等于________．
参考答案：
17. 已知a ＞0，函数f(x)=
，若f （x ）在区间（﹣a ，2a ）上单调递增，
则实数a 的取值范围是 ．
参考答案：
（0，]
【考点】分段函数的应用．
【分析】讨论f （x ）在（﹣∞，1]递增，区间（﹣a ，2a ）?（﹣∞，1]，求得f （x ）的导数，令f′（x ）≥0在区间（﹣a ，2a ）上恒成立，即有f′（﹣a ）≥0且f′（2a ）≥0；若f （x ）在（﹣∞，+∞）递
增，则f （x ）在x ＞1递增，求得导数，令导数大于等于0，可得a 的范围；注意﹣++a ﹣≤
（a ﹣1）ln1+﹣a ，解不等式求交集，即可得到所求范围．
【解答】解：当x≤1时，f （x ）=﹣x 3+x 2+ax ﹣的导数为f′（x ）=﹣x 2+（1﹣a ）x+a ，
若f （x ）在区间（﹣a ，2a ）上单调递增，且2a≤1， 则f′（x ）≥0在区间（﹣a ，2a ）上恒成立，
即有x 2﹣（1﹣a ）x ﹣a≤0，
可得（﹣a ）2﹣（1﹣a ）（﹣a ）﹣a≤0，且（2a ）2﹣2（1﹣a ）a ﹣a≤0， 解得0＜a≤；①
若f （x ）在（﹣∞，+∞）递增， 即有f （x ）在（1，+∞）递增，
即有f （x ）=（a ﹣1）lnx+x 2﹣ax 的导数+x ﹣a≥0在（1，+∞）恒成立．
即有（x ﹣1）（x ﹣a+1）≥0在（1，+∞）恒成立． 即有a ﹣1≤1，即a≤2；②
又﹣++a ﹣≤（a ﹣1）ln1+﹣a ，
解得a≤．③
由①②③可得0＜a≤．
故答案为：（0，]．
【点评】本题考查分段函数的单调性的判断，考查导数的运用：求单调性，考查分类讨论思想方法，考查化简整理能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某隧道长2150m，通过隧道的车速不能超过m/s。

一列有55辆车身长都为10m的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为40m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/S，根据安全和车流的需要，当时，相邻两车之间保持20m的距离；当
时，相邻两车之间保持m的距离。

自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为。

（1）将表示为的函数。

（2）求车队通过隧道时间的最小值及此时车队的速度。

参考答案：
解析：（1）当时，
当时，
所以，
（2）当时，在时，
当时，
当且仅当，即：时取等号。

因为，所以当时，
因为
所以，当车队的速度为时，车队通过隧道时间有最小值。

19. 如图，正三棱柱中，是的中点，
（1）求证：∥平面；
（2）求二面角的大小.
参考答案：
解法一：（1）证明：连接
∥。

……………………3分
∥平面…………………………5分
（2）解：在平面
——……………………8分
设。

在
所以，二面角——的大小为。

………………12分解法二：建立空间直角坐标系—，如图，
（1）证明：连接连接。

设
则
∥。

…………………………3分
∥平面…………5分
（2）解：
设
故
同理，可求得平面。

………………9分
设二面角——的大小为
的大小为。

……………………12分
20. （本小题满分12分）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关系？
参考答案：
解（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的
老年人的比例的估计值为. ……4分
(2)
由于所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ……8分
21. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S.
参考答案：
略
22. 如图，已知抛物线：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于，
两点，T为抛物线的准线与x轴的交点.
（2）求的最大值.
参考答案：
（1）；（2）.
【分析】
（1）设直线：，，联立直线方程和抛物线方程消元后得到
，利用韦达定理化简可得.
（2），利用点在抛物线上可得与的函数关系式，由基本不等式可得的最大值从而得到的最大值.
【详解】（1）因为抛物线的焦点为，.
当轴时，，，此时，与矛盾，
所以可设直线的方程为，，
代入，得，
则，，①
所以，所以.②
因为，所以，
将①②代入并整理得，，所以.
（2）因为，所以，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以的最大值为.
【点睛】当直线与抛物线相交时，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.。