(河南省)聚焦中考数学课件：第22讲-矩形、菱形与正方形(含答案)

矩形
【例 1】 (2015· 内江)如图，将▱ABCD 的边 AB 延长至点 E，使 AB＝BE，连接 DE， EC，DE 交 BC 于点 O. (1)求证：△ABD≌△BEC； (2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形 BECD 是矩形．
解：证明：(1)在平行四边形 ABCD 中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则 BE∥CD.又 ∵AB＝BE，∴BE＝DC，∴四边形 BECD 为平行四边形，∴BD＝EC.∴在△ABD 与△BEC
1．(2015· 益阳)如图在矩形 ABCD 中， 对角线 AC， BD 交于点 O， 以下说法错误的是( D ) A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD
,第 1 题图)
,第 2 题图)
2．(2015· 新乡模拟)如图，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，AC＝8，BD＝6， 则菱形的边长 AB 等于( D ) A．10 B. 7 C．6 D．5 3．(2015· 滨州)顺次连接矩形 ABCD 各边中点，所得四边形必定是( D ) A．邻边不等的平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
,第 4 题图)
,第 5 题图)
5． (2015· 日照)小明在学习了正方形之后， 给同桌小文出了道题， 从下列四个条件： ①AB ＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正 方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( B ) A．①② B．②③ C．①③ D．②④
[对应训练] 2．(2015· 甘南州)如图①，在△ABC 和△EDC 中，AC＝CE＝CB＝CD；∠ACB＝∠DCE ＝90°，AB 与 CE 交于点 F，ED 与 AB，BC 分别交于点 M，H. (1)求证：CF＝CH； (2)如图②， △ABC 不动， 将△EDC 绕点 C 旋转到∠BCE＝45°时， 试判断四边形 ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．
数学
河南省
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第22讲 矩形、菱形与正方形
2.菱形的概念、性质及判定
3.正方形的概念、性质及判定
1．一个防范 在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之 上来求证的． 要熟悉各判定定理的联系和区别， 解题时要认真审题， 通过对已知条件的分析、 综合，最后确定用哪一种判定方法． 2．三种联系 (1)平行四边形与矩形的联系： 在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件可为矩形；若 在四边形的基础上，则需有三个角是直角(第四个角必是直角)则可判定为矩形． (2)平行四边形与菱形的联系： 在平行四边形的基础上， 增加“一组邻边相等” 或 “对角线互相垂直” 的条件可为菱形； 若在四边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形． (3)菱形、矩形与正方形的联系： 正方形的判定可简记为： 菱形＋矩形＝正方形， 其证明思路有两个： 先证四边形是菱形， 再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻 边相等或对角线互相垂直(即菱形)．
[对应训练] 1．如图，四边形 ABCD 中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为 E.求证： AE＝CE.
解：证明：过点 C 作 CG⊥AB 交 AB 的延长线于 G 点，可证：△CGB≌△CED，∴CE ＝CG.又∵∠G＝∠A＝∠CEA＝90°，∴四边形 CGAE 是矩形，∴CG＝AE，∴CE＝AE
AB＝BE， 中，BD＝EC， ∴△ABD≌△BEC(SSS) AD＝BC，
(2)由(1)知，四边形 BECD 为平行四边形，则 OD＝OE，OC＝OB.∵四边形 ABCD 为平 行四边形， ∴∠A＝∠BCD， 即∠A＝∠OCD.又∵∠BOD＝2∠A， ∠BOD＝∠OCD＋∠ODC， ∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴OC＋OB＝OD＋OE，即 BC＝ED，∴平行四边形 BECD 为矩形 【点评】 利用平行线的相关性质找到对应角相等，再结合已知条件来证三角形全等， 是常用的方法；矩形的判定不要忽略了对角线的判定方法，有时会比边与角更直接简便．
4．(2015· 梧州)如图，在菱形 ABCD 中，∠B＝60°，AB＝1，延长 AD 到点 E，使 DE ＝AD，延长 CD 到点 F，使 DF＝CD，连接 AC，CE，EF，AF，则下列描述正确的是( B ) A．四边形 ACEF 是平行四边形，它的周长是 4 B．四边形 ACEF 是矩形，它的周长是 2＋2 3 C．四边形 ACEF 是平行四边形，它的周长是 4 3 D．四边形 ACEF巴中)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，MN 过 点 O 且与边 AD，BC 分别交于点 M 和点 N. (1) 请你判断 OM 和 ON 的数量关系，并说明理由； (2) 过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E， 当 AB＝6，AC＝8 时，求△BDE 的周长． OM AO 解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD∥BC，AO＝OC，∴ ＝ ＝1，∴OM＝ON ON OC
(2)∵四边形 ABCD 是菱形 ， ∴AC ⊥BD ，AD＝ BC ＝AB ＝ 6， ∴BO ＝ AB2－AO2＝ 62－（8÷ 2）2＝2 5， ∴BD＝2BO＝2×2 5＝4 5， ∵DE∥AC， AD∥CE， ∴四边形 ACED 是平行四边形，∴DE＝AC＝8，∴△BDE 的周长是：BD＋DE＋BE＝BD＋AC＋(BC＋CE)＝ 4 5＋8＋(6＋6)＝20＋4 5，即△BDE 的周长是 20＋4 5 【点评】 菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的 平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平 行四边形的判定方法．