【全国市级联考】河北省张家口市2016-2017学年高二下学期期中考试文数试题(解析版)

河北省张家口市2016-2017学年高二下学期期中考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，虚部为4，故选D.
2. 已知，则（）
A. B. C. D. 的大小与的取值有关
【答案】B
【解析】,
，
所以有，故选B.
3. 下列选项中，是的必要不充分条件的是（）
A. 且
B. 且）的图象不过第二象限
C.
D. ,且）在上为增函数
【答案】A
【解析】A、∵q：a＞b且c＞d，∴a+c＞b+d，∴q⇒p，但p推不出q，p是q的必要不充分条件，故A正确；
B、∵p：a＞1，b＞1，∴f（x）=a x-b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限，但若b=1，a＞1时f（x）的图象也不过第二象限，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故B错误；
C、∵x=1，∴x=x2，但当x=0时，x=x2，也成立，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故C错误；
D、∵a＞1，∴f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数，p是q的充要条件，故D错误.
故选A.
4. 下列参数方程中表示直线的是（）
A. 为参数）
B. 为参数）
C. 为参数）
D. 为参数）
【答案】C
【解析】A.消去参数得，不满足；
B.消去参数得，不满足；
C.消去参数得，满足；...
D.消去参数得，不满足.
故选C.
5. 不等式组的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，故选C.
6. 极坐标方程表示的曲线为（）
A. 一条射线和一个圆
B. 两条直线
C. 一条直线和一个圆
D. 一个圆
【答案】C
【解析】试题分析：或，表示的曲线为一条直线和一个圆
考点：极坐标方程
7. 将曲线的参数方程为参数）化为普通方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以,，
消去参数得，故选D.
8. 如果满足不等式的一切实数也满足不等式，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，,
满足不等式的一切实数也满足不等式，
所以，解得，又，的取值范围是，故选B.
9. 对于实数，若，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵|x−2y+1|=|(x−1)−2(y−1)|⩽|x−1|+2|y−1|⩽|x−1|+2|y−1|
再由|x−1|⩽2，|y−1|⩽2可得|x−1|+2|y−1|⩽2+2×2=6，
故|x−2y+1|的最大值为6，...
故答案为：6.故选D.
10. 直线为参数）与圆为参数）相切，则此直线的倾斜角
（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】圆的标准方程为，直线一般方程为，则，∵，
∴，∴．故选A．
11. 在极坐标系中，曲线上不同的两点到直线的距离为，则
（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】曲线，
直线,所以根据题意可得直线，得或3，
所以，故选A.
12. 点为双曲线右支上的一点，其左、右焦点分别为，若的内切圆
与轴相切于点，过作的垂线，重足为为坐标原点，那么的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
F1(−c,0)、F2(c,0)，内切圆与x轴的切点是点A
∵|PF1|−|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，
|AF1|−|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，
则|(x+c)−(c−x)|=2a
∴x=a；
即|OA|=a，
在三角形PCF2中,由题意得,它是一个等腰三角形,PC=PF2，
∴在三角形F1CF2中，有：
OB=CF1=(PF1−PC)=(PF1−PF2)=×2a=a，
∴|OB|=|OA|，所以，故选A.
点睛：本题中涉及一个常用结论，即F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，A是双曲线右支上一点，圆C为
的内切圆，则有与x轴的切点为(a,0)若M（t，0）为其中一个切点，则t=a.若能熟记此结论，可以提高解
题速度.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 某设备的使用年限与所支出的维修费用的统计数据如下表：
使用年限
维修费用
根据上表可得回归直线方程为=，据此模型预测，若使用年限为年，估计维修费约为
__________万元．
【答案】
【解析】，则中心点为（4，5），代入回归直线方程可得,=.
当x=14时，=（万元），
即估计使用14年时，维修费用是18万元.
14. 极坐标方程为与的两个圆的圆心距为__________．
【答案】
【解析】试题分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得。

解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2-x=0，其圆心是A（
，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2-y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=故答案为．
考点：圆的极坐标方程
点评：本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．
15. 观察下面一组等式：
，
，
，
，
...
根据上面等式猜测，则__________．
【答案】
【解析】由已知可得，因此，从而．
点睛：归纳推理是通过观察个别情况发现某些相同本质，从已知相同本质中推出一个明确表述的一般性命题，本题是数的归纳，它包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系有关的知识，如等差数列、等比数列等．
16. 设且恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为a＞b＞c，
所以a-b＞0，b-c＞0，a-c＞0.
又,
当且仅当，
即2b=a+c时等号成立.
所以m≤4.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 求过圆的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程.
【答案】
【解析】试题分析：
利用两角差的正弦公式展开极坐标方程，再利用公式把极坐标方程化为直角坐标方程，配方后得圆心坐标，从而得直线方程为，再由上述公式化直角坐标方程为极坐标方程．
试题解析：
圆的极坐标方程可化为，所以，化为直角坐标方程得，即，所以圆心的直角坐标方程为，过
且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为，化为极坐标方程为.
18. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对于任意实数，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）将的值带入，得到关于的不等式组，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）问题等价于对任意的实数，恒成立，根据绝对值的性质求出的最大值以及，求出的范围即可．
试题解析：
解：(1),当时，由得
，所以不等式的解集为.
(2)不等式对任意的实数恒成立，等价于对任意的实数，
恒成立，即，
，
，又.
19. 2月21日教育部举行新闻发布会，介绍2017年全国靑少年校园足球工作计划，提出将着力提高校园足球特色学校的建设质量和水平，争取提前完成建设万所校园足球特色学校，到2025年校园足球特色学校将达到万所.为了调查学生喜欢足球是否与性别有关，从某足球特色学校抽取了名同学进行调查，得到以下数据(单位:人)：
（1）能否在犯错概率不超过的前提下认为喜爱足球与性别有关？
（2）现从个喜爱足球的同学中按分层抽样的方法抽出人，再从里面任意选出人对其训练情况进行全程跟踪调查，求选出的刚好是-男一女的概率.
附表及公式：
，其中
【答案】（1）在犯错概率不超过的前提下认为喜爱足球与性別有关.（2）
【解析】试题分析：（1）根据列联表计算，对应参考数据下结论即可；
（2）首先根据分层抽样进行抽取，然后按照古典概型公式求解.
试题解析：
解：(1)由表中数据得的观测值.
所以在犯错概率不超过的前提下认为喜爱足球与性別有关.
(2)从个喜爱足球的同学中按分层抽样的方法抽出人，则有名男生，名女生，记个男同学为，
；女同学为，从中再任意选出人，则所有选法有
共种，刚好是一男一女的情况有种，故概
率.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
20. 已知曲线为参数），为参数）.
（1）化的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若上的点对应的参数为为上的动点，求的中点到直线为参数）距离的最小值.
【答案】（1）曲线.曲线为圆心是，半径是的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴是，短半轴长是的椭圆.（2）
【解析】试题分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的直角坐标方程，即可得到曲线表示一个圆；曲线表示一个椭圆；（2）把的值代入曲线的参数方程得点的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线的参数方程设出的坐标，利用中点坐标公式表示出的坐标，利用点到直线的距离公式标准处到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.
试题解析：（1）
为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（2）当时，，故
的普通方程为，到的距离
所以当时，取得最小值.
考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.
21. 已知函数的最大值为.
（1）求的值和不等式的解集；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1），.（2）最大值.
【解析】试题分析：（1）分类讨论，求出函数的值域，即可求的值；
（2）由（1）知，a2+2b2+c2=4，利用基本不等式求的最大值．
试题解析：...
解：(1)当时，，当时，，当时，
，故当时，取得最大值，即.当时，由，解得
，当时，由，解得，当时，由，解得，所以不等式的解集为.
(2)因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立，此时取得最大值.
22. 设函数，其中.
（1）若直线与函数的图象在上只有一个交点，求的取值范围；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）或.（2）
【解析】试题分析：（1）根据函数的单调性，由数形结合可得；
（2）研究和时函数的最值，并比较大小求即可.
试题解析：
解：(1)当时，，令时得；令得递增；
令得递减，在处取得极小值，且极小值为
，所以由数形结合可得或.
(2) 当时，，令得；令得递增；令得递减.在处取得极小值，且极小值为.
,因为当即时，
.当即时，
，即.综上，.
点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a 即可.
(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.。