2019-2020学年山东省德州市第一中学高三数学文期末试卷含解析

2019-2020学年山东省德州市第一中学高三数学文期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数，若，且，则________。

A. B. C. D.
参考答案：
D
略
2. 已知集合A=则
A．（1，2）B．[0，2] C．{0，1，2} D．{1，2}
参考答案：
D
集合A=，所以{1，2}。

3. （理）展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为
A．B．C．D．
参考答案：
D
4. f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）
A．﹣2 B． 2 C．﹣4 D． 4
参考答案：
D
略
5. 已知在等差数列{a n}中，a1=120，d=－4，若S n≤a n（n≥2），则n的最小值为（）
A．60 B．62 C．70 D．72
参考答案：
B
略
6. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递增的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
7. 设函数f（x）的定义域为D，如果?x∈D，?y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立，则称函数f（x）为“Ω函数”．给出下列四个函数：
①y=sinx；
②y=2x；
③y=；
④f（x）=lnx，
则其中“Ω函数”共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
参考答案：
C
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的值．
【分析】根据函数的定义，将条件转化为f（x）+f（y）=0，判断函数是否满足条件即可．
【解答】解：若?x∈D，?y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立，
即等价为?x∈D，?y∈D，使得f（x）+f（y）=0成立．
A．函数的定义域为R，∵y=sinx是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）+f（﹣x）=0，∴当y=﹣x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴A为“Ω函数”．
B．∵f（x）=2x＞0，∴2x+2y＞0，则等式（x）+f（y）=0不成立，∴B不是“Ω函数”．
C．函数的定义域为{x|x≠1}，由（x）+f（y）=0得，即，∴x+y﹣2=0，即y=2﹣x，当x≠1时，y≠1，∴当y=2﹣x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴C为“Ω函数”．
D．函数的定义域为（0，+∞），由（x）+f（y）=0得lnx+lny=ln（xy）=0，即xy=1，即
当y=时，等式（x）+f（y）=0成立，∴D为“Ω函数”．
综上满足条件的函数是A，C，D，共3个，
故选：C
8. 已知向量，满足，，且在方向上的投影与在方向上的投影相
等，则等于()
A．1 B. C. D．3
参考答案：
C
9. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推那么该数列的前50项和为
A. 1044
B. 1024
C. 1045
D. 1025
参考答案：
A
【分析】
将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，，第三组：，
，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和．
【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1，
即：第一组：，
第二组：，，
第三组：，，，
第k组：，，，，，
根据等比数列前n项和公式，
求得每项和分别为：，，，，，
每项含有的项数为：1，2，3，，k，
总共的项数为，
当时，，
故该数列的前50项和为
．
故选：A．
【点睛】本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．
10. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知为原点，椭圆上一点到左焦点的距离为4，是的中点．则= .
参考答案：
3
12. 已知函数，若实数满足，
，则的最小值为_____．
参考答案：
【分析】
利用得到后可得的最小值.
【详解】因为，
故，化简得到，
所以或，
整理得到或（舍），
的最小值为.填.
【点睛】一般地，若，则或，；若，则或，.
13. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为．
参考答案：
4
14. 已知= ．
参考答案：
略
15. 已知函数f（x）=sin（2x+φ）（其中φ为实数），若f（x）≤|f（）|对x∈r恒成立，且sinφ＜0，则f（x）的单调递增区间是；（k∈Z）
参考答案：
[kπ+，kπ+]
考点：正弦函数的单调性．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：由若f（x）≤|f（）||对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合sinφ＜0，易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．
解答：解：若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，
则f（）等于函数的最大值或最小值，
即2×+φ=kπ+，k∈Z，
则φ=kπ+，k∈Z，
又sinφ＜0，
令k=﹣1，此时φ=﹣，满足条件sinφ＜0，
令2x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，
解得x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）．
则f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．
故答案为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）．
点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的单调性，其中解答本题的关键是根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值．属于基础题．
16. 在的展开式中，含项的系数是，若，
则
参考答案：
17. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量= ．
参考答案：
81
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数，x R．
（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知，，．求证：．
参考答案：
本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想．
（Ⅰ）
，∴的最小正周期，最小值
．
（Ⅱ）证明：由已知得，
两式相加得，∵，∴，则．
∴．
19. （本小题满分12分）已知函数.
(1)求的最大值和最小正周期；
(2) 若，是第二象限的角，求.
参考答案：
(1)∵
………………………4分
∴的最大值为2,……5分，最小正周期为………6分
(2)由(1)知,
所以,即………………………8分
又是第二象限的角,所以……10分
所以 (12)
分
20. 在等差数列中，，前n项和S n满足条件
（1）求数列的通项公式；
（2）记
参考答案：
21. （本小题满分13分）
设，，已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，称为、关于的加权平均数.
（i）判断, ,是否成等比数列，并证明；
（ii）、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数，记为H.
若，求的取值范围.
参考答案：
22. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
4sin2+4sinAsinB=2+．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．
参考答案：
【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）△ABC中由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式求得cos
（A+B）=﹣，从而得到cosC=，由此可得C的值．
（Ⅱ）根据△ABC的面积为6=ab?sinC求得a的值，再利用余弦定理求得
c=的值．
【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵4sin2+4sinAsinB=2+，
∴4×+4sinAsinB=2+，
∴﹣2cosAcosB+2sinAsinB=，即 cos（A+B）=﹣，
∴cosC=，∴C=．
（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6=ab?sinC=a×4×，∴a=3，
∴c===．
【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于中档题．。