增城中学高三年级第三次月考 数学试卷(理) .docx

高中数学学习材料
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增城中学2016届高三年级第三次月考 数学试卷（理）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}
{}
045,20,2<+-=<<==x x x B x x A R U ，则B A ⋃=（ ） A ．()2,1 B ．()()+∞⋃∞-,21, C ．()4,0 D ．()()+∞⋃∞-,40,
2．“0,c 0a b d >>>>”是“0ac bd >>”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．已知复数)31(i i z -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
4．已知抛物线)0(22>=p px y 的准线与曲线0542
2=--+x y x 相切，则p 的值为（ ）
A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 5．下面左图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ） A ．37π B ．π3 C ．π D ．3
5π
6．运行上面右图所示的程序框图，则输出的所有实数对(,)x y 所对应的点都在函数（ ）
A ．2()log (1)f x x =+的图像上
B ．2
()22f x x x =-+的图像上
C ．4
()3
f x x =的图像上 D ．1()2x f x -=的图像上
7．已知⎪⎭
⎫
⎝⎛-
∈0,2πθ，
平面向量)3,cos 2(),1cos ,1(θθ=-=b a ，若b a ⊥，则θ2s i n =（ ） A ．2524- B ．2524 C ．25214-
D ．25
21
4 8．函数）0)(3sin()(>+=ωπωx x f 相邻两个对称中心的距离为2
π
，以下哪个区间是函数
)(x f 的单调减区间（ ）
A ．]0,3[π-
B ．]3
,0[π
C ．]2,12[ππ
D ．]65,2[ππ 9．已知函数)3(log 1),1(1
2)(2f x x f x x f x ，则⎩
⎨
⎧>-≤==（ ） A ．3 B ．
2
3
C ．1
D ．2 10．如图，正方形OABC 的边长为1，记曲线2x y =和直线0,1,4
1
===x x y 所围成的图
形（阴影部分）为Ω，若向正方形OABC 内任意投一点M ， 则M 落在区域Ω内的概率为（ ） A ．41 B ．31 C ．32 D ．5
2
11．双曲线22
221x y a b
-= （a>0，b>0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个
区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．（1，5] B ．（1，5） C ．（1，25] D ．（1，25）
12．将边长为2的等边PAB ∆沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合（如图），设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法： ①()f x 的值域为[]0,2；
②若1x 和2x 是)(x f 的两个相邻的最大值点，则221=-x x ； ③()()()4.12013f f f π<<；
④
⎰
=
60
2
9)(πdx x f .
A B
E
C
D
A
D
C
B
E
P
Q
P •
其中正确的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷
注意事项：第II 卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.
13．设,x y 满足约束条件4
300x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
，则目标函数2z x y =-的最大值为 .
14．函数)0(ln )(>⋅=x x x x f 的最小值为 . 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12
2
1
a n S n +
=，则=+109a a . 16．ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2
2
2
2b c a =+，则BC
AB BC AB ⋅⋅的最
大值为 .
三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）等比数列{n a }的各项均为正数，且622
3129,6a a a a a ==-． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n n a a a b 32313log log log +++= ，求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n b 1的前n 项和n T ．
18．（本小题满分12分）
如图（1）所示，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=，//AD BC ，6AD =，3DC BC ==．过B 作BE AD ⊥于E ，P 是线段DE 上的一个动点．将ABE ∆沿BE 向上折起，使平面AEB ⊥平面BCDE ．连结PA ，PC ，AC （如图（2））．Q 为线段AC 的中点．
（1）当ED EP 21
=
时，证明：//PQ 平面AEB ； （2）当ED EP 3
2
=时，求平面AEB 和平面APC 所成的锐二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70，76） [76，82） [82，88） [88，94） [94，100] 芯片甲 8 12 40 32 8 芯片乙
7
18
40
29
6
（1）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；
（2）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，
（i ）记X 为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列； （ii ）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．
20.（本题满分12分）如图，1F 、2F 为椭圆22
22:1x y C a b
+=的左、右焦点，D 、E 是椭圆
的两个顶点，椭圆的离心率32e =，2312
DEF S ∆=-． （1）求椭圆的标准方程；
（2）若00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00
(
,)x y N a b
称为点M 的一个“和谐点”．直线l ：m kx y +=与椭圆交于A 、B 两点，A 、B 两点的“和谐点”分别为P 、Q ，已知以PQ
为直径的圆经过坐标原点．AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．
21．（本题满分12分）已知函数R a x a x a x x f ∈++-=,ln )12()(2
（1）当,1=a 求)(x f 的单调区间；
（2）a ＞1时，求)(x f 在区间[]e ,1上的最小值；
（3）,)1()(x a x g -=若⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈∃e e x ,10使得))(00x g x f （≥成立，求a 的范围．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在对应题号的答题区域作答.
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧=-=t
y t x 33，（t 为参数），以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1)(-=x x f ．
（1）解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；
（2）若m m x x g -++-=21)(（m 为常数），)()(x g x f ≥的解集为R ，求实数m 的取值范围．
增城中学2015--2016学年度第一学期高三年级综合测试（三）
数学(理科) 答题卷
一、选择题： 二、填空题： 13． ． 14． ． 15. . 16． . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 题号 选择题 填空题 17题 18题 19题 20题 21题 （22，23）
题 总分 得分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 学校： 班级： 姓名： 学号：____________试室号：
密
封
线
内 不 得 答 题
A B
E
C
D
A
D
C
B
E
P
Q
P •
18．（本小题满分12分）
19．(本小题满分12分)
座位号
20．(本小题满分12分) 21．（本小题满分12分）
22题（）， 23题（），（本小题满分10分）
（请在选做题号括号内打“√” ,如果多做，则按所做的第一题计分）．密封线内不得答题
A
D
C
B
E
P
M
Q
广州市增城中学2016届高三年级第三次月考
数学试卷（理）答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C
A
D
D
A
D
A
C
B
A
B
B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．8 14．e 1-
15．36 16．2
1- 三、解答题（本大题共70分，要写出详细的解答过程或证明过程） 17．解：（1）设n a 公比为q ，因为{n a }的各项均为正数，则0>q
⎩⎨⎧⋅=⇒==-=-5
114216223
1112996q a q a q a a a a a q a a a 解得：⎩⎨⎧==33
1q a ， n n n q a a 311==∴- …………………………6分
（2）2
)
1(21log log log 32313+=+++=+++=n n n a a a b n n
)1
11(2)1(21+-=+=∴n n n n b n , 1
2)111(2)111(2)3121(2)211(2+=
+-=+-+-+-=∴n n
n n n T n ……………………12分
18．试题解析：（Ⅰ）取AB 的中点M ，连结EM ，QM ．
由Q 为AC 的中点，得//MQ BC ，且1
2MQ BC =，又//PE BC ，
且1
2
PE BC =，所以//PE MQ ，=PE MQ ，
所以四边形PEMQ 为平行四边形，故//ME PQ ．
又PQ ⊄平面AEB ，ME ⊂平面AEB ，所以//PQ 平面AEB ．
从而存在点P ，使得//PQ 平面AEB ，此时3
=2
PD ． …………………………6分
Q
z A
D
P
（Ⅱ）由平面AEB ⊥平面BCDE ，交线为BE ，且 AE BE ⊥，所以AE ⊥平面BCDE ，又BE DE ⊥， 以E 为原点，分别以,,EB ED EA 为x 轴、y 轴、z 轴 的正方向建立空间直角坐标系（如图），则(0,0,0)E ， (3,0,0)B ，(0,0,3)A ，(0,2,0)P ，(3,3,0)C ． (3,1,0)PC =，(0,2,3)PA =-．
平面AEB 的一个法向量为1(0,1,0)=n ，设平面APC 的法向量为2(,,)x y z =n ， 由22
0,0,PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得30,230.x y y z +=⎧⎨-+=⎩ 取3y =，得2(1,3,2)
=-n ，所以1
23314
cos ,14
141
=
=
⋅n n ，即面AEB 和平面APC 所成的锐二面角的余弦值为314
14
． …………………………12分
19．试题解析：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为，
芯片乙为合格品的概率约为
． ………………………… 3分
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90，45，30，﹣15．
； ； ；
．
所以，随机变量X 的分布列为： X 90 45 30 ﹣15 P
…………………………9分
（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n 件，则次品有5﹣n 件． 依题意，得 50n ﹣10（5﹣n ）≥140，解得
．所以 n=4，或n=5．
设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 ． …………………………12分
20.试题解析：（Ⅰ）由题意得32c e a =
=，故3
2
c a =，12b a =．
22113133
()()(1)12222422
DEF a S a c b a a a ∆=-⨯=-⨯=-=-，
故2
4a =，即2a =，所以112
b a ==，3
c = 故椭圆的标准方程为：2214x y +=． …………………………4分
（Ⅱ）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则11(,)2x P y 、22(,)2
x Q y ． 由2214
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，222(41)8440k x kmx m +++-= 由根与系数的关系可得122841
km x x k -+=+，21224441m x x k -=+ 由以PQ 为直径的圆经过坐标原点可得OP OQ ⊥，即1212022
x x y y ⋅+⋅=， 即121204
x x y y +=． 故221212121214()()()44x x k kx m kx m x x km x x m ++++=+++ 222221444844141
k m km mk m k k +--=⨯+⨯+++2222821041k m m k =--=+ 整理得2222(21)(41)80m k k m -+-=，即222410m k --=．所以22412k m +=． 而222
212121222844||()4()44141km m x x x x x x k k ---=+-=-⨯++222216(41)(41)k m k =+-+ 故2
2
2212241||1||4141
k AB k x x k m k +=+-=+-+ 而点O 到直线AB 的距离2||1m d k =+， 所以222221141||||4122411AOB k m S AB d k m k k
∆+=⨯=⨯+-⨯++ 2222222||2||4121412m m k m m m k m
=+-=-=+． 所以AOB ∆的面积为定值1． …………………………12分
21．试题解析：（1）当,1=a ,ln 3)(2x x x x f +-=定义域()+∞,0
x
x x x x x f ）1-)(12(132)('-=+
-=∴ ()f x ∴在()110,,11,22⎛⎫⎛⎫↑↓+∞↑ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………… 3分 （2）'(21)(-()x x a f x x
-∴=），令'()0f x =，x a ∴=或12x = 当e a <<1时， x ()a ,1
a ()e a , )('x f - 0
+ )(x f
↓ 极小值 ↑
)1(ln ()min --==∴a a a a f x f ）（
当e a ≥时，)(x f 在[)(),,,1↑+∞↓a a
()f x ∴在[1,]e ↓，2min ()()(21)f x f e e a e a ==-++
综上
………………………… 7分
（3）由题意不等式)()(x g x f ≥在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e
,1上有解 即0)(ln 22≥-+-x x a x x 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡e e ,1上有解 当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1时，x x <≤0ln ，当(]e x ,1∈时，0ln ,1ln <-∴<≤x x x x x x x x a ln 22--≤∴在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡e e ,1上有解 令2
'2)ln ()ln 22)(1()(,ln 2)(x x x x x x h x x x x x h --+-=--= x x e e x ln 222,,1≥>+∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈ ⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∈∴1,1e x 时，(]↑∈↓<)(,,1,)(,0)('x h e x x h x h 01)2()(,011)21(1)1(>--=<+-=∴e e e e h e
e e e h ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈∴e e x ,1时，1)2()()(max --==e e e e h x h 1
)2(--≤∴e e e a a ∴的取值范围为⎥⎦
⎤ ⎝⎛--∞-1)2(,e e e ………………………… 12分 22．试题解析：（Ⅰ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ；
曲线的直角坐标方程为1)2(22=+-y x …………………………5分
（Ⅱ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则
2
|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd 所以d 的取值范围是]2
235,2235[+-． …………………………10分
23．试题解析：（Ⅰ）因为1)(-=x x f ，所以6)3()1(≥++-x f x f 等价于622≥++-x x 而622≥++-x x 表示的几何意义是，数轴上点x 到点-2和点2两点的距离之和大于6，显然当点x 在点-3或其左边、在点3或其右边均符合题意，故不等式的解集是(,3][3,)-∞-+∞U
…………………………5分 （Ⅱ）由)()(x g x f ≥的解集为R
得：m m x x -≥++-211恒成立 所以()m m x x -≥++-2min 1
1 由绝对值不等式的性质：2)1()1(11=+--≥++-x x x x 所以22≤-m m ，解得：21≤≤-m
因此实数m 的取值范围为[]2,1- …………………………10分。