激活向量条件 再破五类题型

一 一
一
２
～ ２
’
． Ｏ ｌ ｌＡ｛ （ ， ） ’ ・ ＝ Ｏ Ｉ ， ． ． ×ＢＯＡ Ａ Ｃ 一Ａ Ａ Ａ — — Ｓ ０ — Ｂ Ｂ
・ ． ．
＝
、３ ／ ／
…
：
２／ 、 ７— ２．
＋
・
图４
图５
，
解 析 ： 立如 图 ５ 示 的 坐标 系， Ａｆ． ） 建 所 则 １０ ，
２ １ 年第 ８ ００ 期
数 学数 学
８ １ －３
激活 向ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量条 件
再破 五 类题 型
４１ ０ 湖北省襄樊市第一中学 王 勇 ４０ ０
拙文 《 活 向量条 件 盘 破 解 三 类 题 型 》在
。 ． ．
ＡＢ ＿Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ 上 Ｂ Ｄ ， Ｊ
２ ０ 年 第 １ 期 《 学 教 学 》 发 表后 ， 后 收到 ０８ ０ 数 上 先
． ． ＝ ． Ａ ） ’ （ ＋Ｃ ． ｆ Ａ１ — Ｂ —
・
・
Ａ 一０
Ｂ —Ｃ ＝ Ａ 一０
＋
． ＋
．
．
卧 。 １０，ｉ１０）￣Ｂ ｓ ２￣ｓ ２￣，Ｏ ｎ
１
：
： 一
： 一
．
．
．
芸２ 一． ＋： 害
设 ＝（ 。 ≤ ≤
则 Ｏ ＝ （ ８ｚ ｉ ． Ｃ Ｃ Ｏ Ｓｌ Ｏ ，ｌ ）
表示翻译成几何性质是求解 的关键． 另外， 本题
例 ２ 如 图 ２ 在 ＡＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ３ ， ，ＢＣ
＝
— — — — —
＋ ＝， ． ＋ ． ＝ 『 ｌ 『４ １ ｌ Ｉ Ｊ 对 方 程 思 想和 数 量 积 的运 算 考 查 得 也相 当 充分 ． Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ
＝
＝
可
解 Ｉｌ Ｊ ２ 得Ｉ ＋ ： ，
． ｆＢ＋ Ｃ ．５： ２ ４故 Ｃ． 。 Ｄ Ａ ２： ． 选（ ．（ １Ａ ＝ ＝ Ａ 一 一 ｝ Ｃ ２ 选（） ）
・ ． ．
、
数 量 积 问 题
例 １ 如图 ｌ 在四边形 ＡＢＣ 中，Ａ ＋ ， Ｄ ｌＢｌ
点评： 题 以“ 本 四边 形 ” 依 托 ，要 求 将 向量 为
Ａ舀与 Ｄ 共 线 且 方 向相 同，
・
．
全国各地 数学爱好者带有鼓励色彩的来信， 普遍 认 为确 定三 角 形 的 “ 、判断 三 角形 的形状 、探 心”
求 三 角形 的面 积 之 比的 确 是 活 跃 在 高 考 中 的三 类重 要题 型 ． 笔者 近期 研 究全 国 各省 市高 考题 和 高考 模 拟 题 发 现 ： 于 平 面 向量 的 数 量 积 问题 、 关 参数 问题 、动 态 问题 、投 影 问题、交汇 问题等 风 头更 劲 ， 出现 的 频率 相 当高 ． 五 类 题 型情 境 新 这 颖别 致 、 自然 流 畅 ， 富 思考 性 、趣 味性 和挑 战 极
—— — ．÷
角 析： 图３ 筚 如 ，连 结 Ａ 开 延 长 父 圆 十 ．
连 结 ＣＤ、ＢＤ．
・
一
（ ）（ ＋Ｄ Ｄ） ＋ ・Ｂ Ｂ ＋Ｃ Ａ
—
．
’。 ＝ ｃｓ Ｂ 皇
— Ｉ
ＡＢ
— ＡＢ ． Ｄ ＿ — Ｂ Ｊ ＡＢ ． Ｃ Ｄ
：
： 二 ： ±！ 三
・
— ＡＯ
施向量数量积的运算， 是解决平面 向量 问题常用
・
．
．
：
× ２×
： ２．
、３ ／
、７ ／
・－・・－－－－・
类似 地 ， △ＡＢＤ 中， 在 ＡＢ 上 ＢＤ，
ｃ ｓＬＢＡ Ｄ ＝ 。 ＡＢ
＝
ＡＢ
一
ｙ ＯＢ， 其中Ｘ 、Ｙ∈Ｒ， Ｘ 的最大值是— — 则 十Ｙ
’Ｏ＿ ＝ Ｘ—＿ ＋ Ｎ—Ｂ —Ｃ —÷ — ＯＡ —÷ — Ｏ ｝
．
点 评： 本题 受初 中关 于 “ 的 问题 解法 的诱 圆” 导， 该 想 到 添加 辅 助 线 构 造 直 角三 角形 ， 中 应 其
＋
ｙ
，
解直角三角形、正弦定理、余弦定理、平面向量 数量积 的定 义及性质的熟练应用是正确解答的
．
（ ） ＋ ・
ＡＢ ＋ ２—— ．—Ｃ － Ｄ Ｃ —— —－ — — —－ — － 一 ＡＢ Ｄ— ｛ — ｝ —÷ —— － － ÷
＝
性， 令人赏心悦 目 、拍 案叫绝． 下面采撷十例并 予 以分 类 解 析 ，旨在 探 索 题 型 规 律 ， 揭示 解题 方
法．
一
Ｊ ２ Ｉ Ｉ ｏＩ １ ・ 十 Ｉ Ｉｃ ｏ ｓ （ ＋ １ ｌ） ． Ｊ ＩＩ ｌｌ Ｊ４ ， ＋ ＋ ＿． ｌ 八 （ ｌＩ １ｌ Ｉ４ Ｉ１ ＋ ） ＝， －
２× ２× ３ ２’
＋ＤＣ ． ＡＢ ＋ Ｄ ｃ ． Ｄ ＋ ＤＣ ． Ｂ
又 ‘ ． ’ＡＢ ． Ｄ ＝ Ｂ Ｄ ． Ｃ ＝ ０ Ｂ Ｄ ，
・
． ．
ＺＢＡＣ ＝ ６ 。 由 。，
＝２ Ｒ可得
８』 …
２ ： Ｒ
２
数 学教 学
： ．
２ １年第 ８ ００ 期
、３ ／
（）； Ａ２
（ ） ２ （ ４ Ｂ ２ ； Ｃ） ；
Ｄ Ｃ
（ ） 、２ Ｄ ４／ ． ／
０ ・
＝
； ０ ・Ｅ 一 ｊ ｝
— —
图 １
图２
图３
解 析 ： ‘ＡＣ ＝ Ｂ ＋ＢＤ ＋ Ｄ ， ．
。
． ．
ｆ Ｂ＋Ｄ ｌ ＿
／—— — －÷
一 — ÷＼ —
、３ ／
：
在 ＡＡＣＤ 中， ＡＣ 上 ＣＤ，。 Ｏ ＡＣＡＤ ＝ ． ．Ｃ Ｓ
ＡＣ
～
ＡＣ
一 Ｒ ２
２
’
ｌｉｂ
’
． ． 一
黼 ：
＝
３ 故选 （ ． ． Ｂ）
ＡＤ
． ． ＝一Ｉｌ Ｓ Ｏ ’ ｌ ×ＣＯＡ， ） ． Ａ Ｉ Ｊ （ — Ａｌ ， Ｃ Ａ — — Ａ ０ Ｃ
４ Ｂ・ ｝ ＝ＢＤ ・ ， Ｊ Ｅ Ｄ ＤＣ一 ０ 则 （ ＋Ｄ ／ ． ， ＼ Ｂ Ｉ
一 ． ．
一
的 值为 … … … … … … … … … … … … （ ）
、７ Ｃ ＝ ２ ／ ，Ａ ／ ，若 ０为 ＡＡ ＢＣ的外 心，则
÷ —— — ＿÷ —— — — — ÷ —＿