山东省临沂市临沭县重点名校2024届中考五模数学试题含解析

山东省临沂市临沭县重点名校2024届中考五模数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在一组数据：1，2，4，5中加入一个新数3之后，新数据与原数据相比，下列说法正确的是（）
A．中位数不变，方差不变B．中位数变大，方差不变
C．中位数变小，方差变小D．中位数不变，方差变小
2．在0.3，﹣3，0，﹣3这四个数中，最大的是（）
A．0.3 B．﹣3 C．0 D．﹣3
3．若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）
A．m≥1B．m≤1C．m＞1 D．m＜1
4．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG=42，则△CEF的面积是（）
A．22B．2C．32D．42
5．如图，在边长为的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）
A．B．C．D．1
6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（）．
A ．50°
B ．40°
C ．30°
D ．25°
7．如图，已知AE 垂直于ABC ∠的平分线于点D ，交BC 于点E ， 13CE BC =，若ABC ∆的面积为1，则CDE ∆的面积是（ ）
A ．14
B ．16
C ．18
D ．110
8．如图，在△ABC 中，∠AED=∠B ，DE=6，AB=10，AE=8，则BC 的长度为( )
A ．152
B ．154
C ．3
D ．83 9．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x
++=
在同一坐标系内的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，6BC =，将ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于（ ）
A ．35
B ．53
C ．73
D ．54
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．8的立方根为_______.
12．一个扇形的弧长是8
3π，它的面积是163
π，这个扇形的圆心角度数是_____． 13．如图，在▱ABCD 中，AC 是一条对角线，EF ∥BC ，且EF 与AB 相交于点E ，与AC 相交于点F ，3AE ＝2EB ，连接DF ．若S △AEF ＝1，则S △ADF 的值为_____．
14．如图，正方形ABCD 边长为3，以直线AB 为轴，将正方形旋转一周．所得圆柱的主视图（正视图）的周长是_____．
15．如图，已知m n ∕∕，1105∠=︒，2140∠=︒则a ∠=________.
16．分解因式：244m m ++＝___________．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）先化简再求值：212
x x -+÷（12x +﹣1），其中x ＝13． 18．（8分）如图，已知△ABC 中，AB =AC =5，cos A =35
．求底边BC 的长．
19．（8分）如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，AC=DC ，E 为AB 边的中点，
（1）尺规作图：作∠C 的平分线CF ，交AD 于点F （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接EF ，若BD=4，求EF 的长．
20．（8分）如图，点P 是⊙O 外一点，请你用尺规画出一条直线PA ，使得其与⊙O 相切于点A ，（不写作法，保留作图痕迹）
21．（8分）如图，一次函数5y kx =+（k 为常数，且0k ≠）的图像与反比例函数8y x =-的图像交于()2,A b -，B 两点.求一次函数的表达式；若将直线AB 向下平移(0)m m >个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求m 的值.
22．（10分）（1）计算：（1﹣3）0﹣|﹣2|+18；
（2）如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中点B 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4）；点D 的坐标为（0，2），点P 为二次函数图象上的动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值；
（3）在y轴上是否存在点F，使∠PDF与∠ADO互余？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，已知与抛物线C1过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）.
（1）求抛物线C1的解析式．
（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点P，D 为第四象限内的一点，若△CPD 为等腰直角三角形，求出D 点坐标．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解题分析】
根据中位数和方差的定义分别计算出原数据和新数据的中位数和方差，从而做出判断．
【题目详解】
∵原数据的中位数是=3，平均数为=3， ∴方差为×[（1-3）2+（2-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=；
∵新数据的中位数为3，平均数为=3， ∴方差为×[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2；
所以新数据与原数据相比中位数不变，方差变小，
故选：D ．
【题目点拨】
本题考查了中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义．
2、A
【解题分析】
根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可
【题目详解】
∵-3＜30＜0.3
∴最大为0.3
故选A ．
【题目点拨】
本题考查实数比较大小，解题的关键是正确理解正数大于0，0大于负数，正数大于负数，本题属于基础题型． 3、D
【解题分析】
分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．
详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，
∴()2
240m =-->，
解得：m ＜1．
故选D ．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
4、A
【解题分析】
解：∵AE 平分∠BAD ，
∴∠DAE=∠BAE ；
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=6，
∵BG⊥AE，垂足为G，
∴AE=2AG．
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=42，∴AG=22
AB BG
-=2，
∴AE=2AG=4；
∴S△ABE=1
2
AE•BG=
1
44282
2
⨯⨯=．
∵BE=6，BC=AD=9，
∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，∴BE：CE=6：3=2：1，∵AB∥FC，
∴△ABE∽△FCE，
∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，则S△CEF=1
4
S△ABE=22．
故选A．
【题目点拨】
本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
5、D
【解题分析】
试题分析：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，∴∠PBC=∠ABC=30°，∵PC⊥BC，∴∠PCB=90°，在Rt△PCB 中，PC=BC•tan∠PBC==1，∴点P到边AB所在直线的距离为1，故选D．
考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．
6、B
【解题分析】
解：如图，由两直线平行，同位角相等，可求得∠3=∠1=50°，
根据平角为180°可得，∠2=90°﹣50°=40°．
故选B．
【题目点拨】
本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．
7、B
【解题分析】
先证明△ABD≌△EBD，从而可得AD=DE，然后先求得△AEC的面积，继而可得到△CDE的面积. 【题目详解】
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
∵AE⊥BD，
∴∠ADB=∠EDB=90°，
又∵BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AD=ED，
∵
1
CE BC
3
，ΔABC的面积为1，
∴S△AEC=1
3
S△ABC=
1
3
，
又∵AD=ED，
∴S△CDE=1
2
S△AEC=
1
6
，
故选B.
【题目点拨】
本题考查了全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积之比等于底边长度之比是解题的关键.
8、A
【解题分析】
∵∠AED=∠B，∠A=∠A
∴△ADE ∽△ACB ∴AE DE AB BC
=， ∵DE=6，AB=10，AE=8， ∴
8610BC
=， 解得BC ＝152. 故选A.
9、D
【解题分析】
根据二次函数图象开口向上得到a>0，再根据对称轴确定出b ，根据二次函数图形与x 轴的交点个数，判断24b ac -的符号，根据图象发现当x=1时y=a+b+c<0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【题目详解】
∵二次函数图象开口方向向上，
∴a >0， ∵对称轴为直线02b x a =-
>， ∴b <0，
二次函数图形与x 轴有两个交点，则24b ac ->0，
∵当x =1时y =a +b +c <0，
∴24y bx b ac =+-的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交， 反比例函数a b c y x
++=图象在第二、四象限， 只有D 选项图象符合.
故选：D.
【题目点拨】
考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.
10、B
【解题分析】
由折叠的性质得到AE=AB ，∠E=∠B=90°，易证Rt △AEF ≌Rt △CDF ，即可得到结论EF=DF ；易得FC=FA ，设FA=x ，
则FC=x ，FD=6-x ，在Rt △CDF 中利用勾股定理得到关于x 的方程x 2=42+（6-x ）2，解方程求出x 即可．
【题目详解】
∵矩形ABCD 沿对角线AC 对折，使△ABC 落在△ACE 的位置，
∴AE=AB ，∠E=∠B=90°，
又∵四边形ABCD 为矩形，
∴AB=CD ，
∴AE=DC ，
而∠AFE=∠DFC ，
∵在△AEF 与△CDF 中，
AFE CFD E D
AE CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△AEF ≌△CDF （AAS ），
∴EF=DF ；
∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD=BC=6，CD=AB=4，
∵Rt △AEF ≌Rt △CDF ，
∴FC=FA ，
设FA=x ，则FC=x ，FD=6-x ，
在Rt △CDF 中，CF 2=CD 2+DF 2，即x 2=42+（6-x ）2，解得x ＝
133， 则FD ＝6-x=
53. 故选B ．
【题目点拨】
考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、2.
【解题分析】
根据立方根的定义可得8的立方根为2.
【题目点拨】
本题考查了立方根.
12、120°
【解题分析】
设扇形的半径为r，圆心角为n°．利用扇形面积公式求出r，再利用弧长公式求出圆心角即可．【题目详解】
设扇形的半径为r，圆心角为n°．
由题意：1816··
233
r
ππ
=,
∴r＝4，
∴
2
416 3603 nπ
π
=
∴n＝120，
故答案为120°
【题目点拨】
本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.
13、
【解题分析】
由3AE＝2EB，和EF∥BC，证明△AEF∽△ABC,得=,结合S△AEF＝1，可知再由==,得==,再根据S△ADF=S△ADC即可求解.
【题目详解】
解：∵3AE＝2EB，
设AE=2a,BE=3a,
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC,
∴=（）2=（）2=,
∵S△AEF＝1，
∴S△ABC=,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴
∵EF∥BC,
∴===, ∴==,
∴S △ADF = S △ADC =, 故答案是：
【题目点拨】
本题考查了图形的相似和平行线分线段成比例定理,中等难度,找到相似比是解题关键.
14、1．
【解题分析】
分析：所得圆柱的主视图是一个矩形，矩形的宽是3，长是2．
详解：矩形的周长=3+3+2+2=1.
点睛：本题比较容易，考查三视图和学生的空间想象能力以及计算矩形的周长．
15、65°
【解题分析】
根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
【题目详解】
∵m ∥n,∠1=105°，
∴∠3=180°−∠1=180°−105°=75°
∴∠α=∠2−∠3=140°−75°=65°
故答案为：65°
. 【题目点拨】
此题考查平行线的性质，解题关键在于利用同旁内角互补求出∠3.
16、()2
2m +
【解题分析】
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【题目详解】
解：244m m ++=()22m +，
故答案为()22m +.
【题目点拨】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
三、解答题（共8题，共72分）
17、23 【解题分析】 分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题． 详解：原式=111222
x x x x x +---÷++（）（） =112•21x x x x x （）（）（）
+-++-+ =1x --（）
=1x -
当13x =时，原式=113-=23
． 点睛：本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18、25
【解题分析】
过点B 作BD ⊥AC ，在△ABD 中由cos A =
35
可计算出AD 的值，进而求出BD 的值，再由勾股定理求出BC 的值. 【题目详解】
解：
过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ,
在Rt △ABD 中，cos AD A AB =
, ∵3cos 5
A =，AB=5，
∴AD=AB·cos A=5×3
5
=3,
∴BD=4,
∵AC=5，
∴DC=2,
∴BC=25.
【题目点拨】
本题考查了锐角的三角函数和勾股定理的运用.
19、(1)见解析；（1）1
【解题分析】
（1）根据角平分线的作图可得；
（1）由等腰三角形的三线合一，结合E为AB边的中点证EF为△ABD的中位线可得．
【题目详解】
（1）如图，射线CF即为所求；
（1）∵∠CAD=∠CDA，
∴AC=DC，即△CAD为等腰三角形；
又CF是顶角∠ACD的平分线，
∴CF是底边AD的中线，即F为AD的中点，
∵E是AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD=1．
【题目点拨】
本题主要考查作图-基本作图和等腰三角形的性质、中位线定理，熟练掌握等腰三角形的性质、中位线定理是解题的关键．
20、答案见解析
【解题分析】
连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点K，以点K为圆心OK为半径作⊙K交⊙O于点A，A′，作直线PA，PA′，直线PA，PA′即为所求．
【题目详解】
解：连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点K，以点K为圆心OK为半径作⊙K交⊙O于点A，A′，作直线PA，PA′，
直线PA，PA′即为所求．
【题目点拨】
本题考查作图−复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21、（1）
1
5
2
y x
=+；（2）1或9.
【解题分析】
试题分析：（1）把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，求得k、b的值，即可得一次函数的解析
式；（2）直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝1
2
x＋5－m，根据平移后的图象
与反比例函数的图象有且只有一个公共点，把两个解析式联立得方程组，解方程组得一个一元二次方程，令△=0，即可求得m的值.
试题解析：
(1)根据题意，把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，得
25
8
2
b k
b
=-+
⎧
⎪
⎨-
=
⎪-
⎩
，
解得
4
1
2 b
k
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
所以一次函数的表达式为y＝1
2
x＋5.
(2)将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝1
2
x＋5－m.由
8
1
5
2
y
x
y x m
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=+-
⎪⎩
得，
1 2x2＋(5－m)x＋8＝0.Δ＝(5－m)2－4×
1
2
×8＝0，
解得m＝1或9.
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．
22、（1）﹣1+32；（2）30°．
【解题分析】
（1） 根据零指数幂、 绝对值、 二次根式的性质求出每一部分的值, 代入求出即可;
（2）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=o 60,根据三角形内角和定理即可求解;
【题目详解】
解：（1）原式=1﹣2+3=﹣1+3；
（2）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，
∴DE ∥AB ，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF ⊥DE ，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°．
【题目点拨】
（1） 主要考查零指数幂、 绝对值、 二次根式的性质；
（2）考查平行线的性质和三角形内角和定理.
23、 (1) y ＝﹣x 2﹣3x +4；(2)当74t =-
时，S 有最大值814；（3）点P 的横坐标为﹣2或1或5332-+或5332
-. 【解题分析】
（1）将B 10C 04（，）、（，）
代入2y x bx c =-++，列方程组求出b 、c 的值即可； （2）连接PD ，作PG y 轴交AD 于点G ，求出直线AD 的解析式为y x 2＝+，设 ()2,34P t t t --+4t 0（﹣＜＜），则1,22G t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
， 2
217342224PG t t t t t =--+--=--+，2217812241484244APD D A S S PG x x t t t ⎛⎫==⨯⋅-=--+=-++ ⎪⎝⎭， 当74t =-时，S 有最大值814
；
（3）过点P 作PH y ⊥轴，设()
2,34P t t t --+，则PH x ＝， 2234232HD x x x x =--+-=--+，
根据PDH DAO ∽，列出关于x 的方程，解之即可．
【题目详解】
解：（1）将B 10（，）、C 04（，）
代入y x2bx c ++＝﹣， 104
3,4
b c c b c -++=⎧⎨=⎩∴=-= ， ∴二次函数的表达式234y x x =--+；
（2）连接PD ，作PG y 轴交AD 于点G ，如图所示．
在234y x x =--+中，
令y ＝0，得x14x21＝﹣，＝，
A 40∴（﹣，）．
D 02（，），
∴直线AD 的解析式为y x 2＝+． 设()2,34P t t t --+4t 0（﹣＜＜），则1,22G t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
， ∴2217342224
PG t t t t t =--+--=--+， ∴2
217812241484244APD D A S S PG x x t t t ⎛⎫==⨯⋅-=--+=-++ ⎪⎝⎭． 404t 0﹣＜，﹣＜＜，
∴当74t =-时，S 有最大值814
． （3）过点P 作PH y ⊥轴，设()2,34P t t t --+，则PH x ＝，2234232HD x x x x =--+-=--+，
PDF ADO 90DAO ADO 90∠∠∠∠+︒+︒＝，＝，
PDF DAO ∠∠∴＝，
PDH DAO ∽，
∴ PH DO 21DH AO 42
∴===， 即2||12
32x x x =--+ 2322||x x x --+=，
当点P 在y 轴右侧时，x 0＞，
2322x x x --+=，或()2322x x x ---+=，
12533533,22
x x -+-==（舍去）或1x 2＝﹣（舍去），2x 1＝ 当点P 在y 轴左侧时，x ＜0，
2322x x x --+=-，或()2322x x x ---+=-，
12x 2x 1＝﹣，＝（舍去），或1533x -+=，2533x --= 综上所述，存在点F ，使PDF ∠与ADO ∠互余点P 的横坐标为2﹣或1533-+533--． 【题目点拨】
本题是二次函数，熟练掌握相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及二次函数图象的性质等是解题的关键．
24、（1）y = x 2-2x-3，（2）D 1(4，-1)，D 2(3，- 4)，D 3 ( 2，- 2 )
【解题分析】
（1）设解析式为y=a(x-3)(x+1),把点C（0，-3）代入即可求出解析式;
（2）根据题意作出图形，根据等腰直角三角形的性质即可写出坐标.
【题目详解】
（1）设解析式为y=a(x-3)(x+1),把点C（0，-3）代入得-3=a×（-3）×1
解得a=1，∴解析式为y= x2-2x-3，
（2）如图所示，对称轴为x=1，
过D1作D1H⊥x轴，
∵△CPD为等腰直角三角形，
∴△OPC≌△HD1P，
∴PH=OC=3，HD1=OP=1，∴D1（4，-1）
过点D2F⊥y轴，同理△OPC≌△FCD2,
∴FD2=3，CF=1，故D2（3，- 4）
由图可知CD1与PD2交于D3,
此时PD3⊥CD3，且PD3=CD3，
PC=22
，∴PD3=CD3=5
13=10
故D3 ( 2，- 2 )
∴D1(4，-1)，D2(3，- 4)，D3 ( 2，- 2 ) 使△CPD 为等腰直角三角形.
【题目点拨】
此题主要考察二次函数与等腰直角三角形结合的题，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质及等腰直角三角形的性质.。