【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.2知能优化训练 新人教A版选修2-1

1．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )
A ．共面
B ．不共面
C ．共线
D ．无法确定
解析：选A.由加法法则知，a ＋b 与a －b 的基线可以是平行四边形的两条对角线．
2．若a 、b 是平面α内的两个向量，则( )
A ．α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)
B ．若存在λ，μ∈R 使λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0
C ．若a 、b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)
D. 若a 、b 不共线，则α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)
解析：选D.当a 与b 是共线向量时，A 不正确；当a 与b 是相反向量，λ＝μ≠0时，λa ＋μb ＝0，故B 不正确；若a 、b 不共线，则平面α内的向量都可用a 、b 表示，对空间向量不行，故C 不正确，D 正确，故选D.
3．对于不共面的三个向量a ，b ，c ，如果xa ＋yb ＋zc ＝0，则x ＝________，y ＝________，z ＝________.
答案：0 0 0
4．如图，已知长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并标
出化简结果的向量：
(1)AA ′→－CB →；
(2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→；
(3)AD →＋AB →－A ′A →.
解：(1)AA ′→－CB →＝AA ′→＋BC →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→.
(2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→.
(3)AD →＋AB →－A ′A →
＝AD →＋AB →＋AA ′→
＝(AD →＋AB →＋AA ′→)＝AC ′→.
AD ′→，AC →如图所示．
一、选择题
1．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( )
A ．共面向量
B ．共线向量
C ．不共面向量
D ．既不共线也不共面向量
解析：选A.∵2a －b 可用a ，b 线性表示，
∴2a －b 与a ，b 一定共面．
2．设a ，b 是不共线的两个向量，λ，μ∈R 且λa ＋μb ＝0则( )
A ．λ＝μ＝0
B ．a ＝b ＝0
C ．λ＝0，b ＝0
D ．μ＝0，a ＝0
解析：选A.∵a ，b 不共线，∴a ，b 为非零向量，又∵λa ＋μb ＝0，∴λ＝μ＝0.
3．已知空间四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，设G 是CD 的中点，
则AB →＋12
(BD →＋BC →)等于( ) A.AG →
B.CG →
C.BC →
D.12
BC → 解析：选A.AB →＋12
(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →. 4．已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外任一点O ，若OB →＋OM →＝3OP →－OA →，则点P 与A 、
B 、M ( )
A ．共面
B ．共线
C ．不共面
D ．不确定
解析：选A.原式变形为
OP →－OM →＝(OA →－OP →)＋(OB →－O P →)，
即PM →＝－PA →－PB →.
∵PA →，PB →不共线，
∴PM →，PA →，PB →共面，
即点P 与A 、B 、M 共面．
5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13
CA →＋λCB →，则λ等于( )
A.23
B.13
C ．－13
D ．－23
解析：选A.∵CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23
AB → ＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23
. 6．下列条件使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )
A.OM →＝2OA →－OB →＋OC →
B.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0
C.OM →＝15OA →＋23OB →＋12
OC → D.MA →＋MB →＋MC →＝0
解析：选D.使M 与A 、B 、C 一定共面的充要条件是对于空间内任意一点O ，有OM →＝xOA →＋yOB
→＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1.选项A 中x ＋y ＋z ＝2；
选项B 中变形后x ＋y ＋z ＝－3， 选项C 中x ＋y ＋z ＝4130
； 选项D 中变形后3OM →＝OA →＋OB →＋OC →，
即OM →＝13OA →＋13OB →＋13
OC →，x ＋y ＋z ＝1，故选D. 二、填空题
7．非零向量e 1，e 2不共线，使ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线的k ＝________.
解析：若ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线，
则ke 1＋e 2＝λ(e 1＋ke 2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，λk ＝1，∴k ＝±1.
答案：±1
8．以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；
②共线的两个向量互相平行；
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；
④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．
其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量、共面向量的定义易知②④正确．
答案：②④
9．ABCD ­A 1B 1C 1D 1为平行六面体，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E 、F 分别
是AD 1、BD 的中点，则EF →＝________.
解析：EF →＝EA →＋AB →＋BF →
＝12(D 1A 1→＋A 1A →)＋AB →＋12
(BA →＋AD →) ＝12(－b －c )＋a ＋12(－a ＋b )＝12a －12
c . 答案：12a －12
c 三、解答题
10．如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝
12
OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值． 解：∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →
＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12
OC → ＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12
(OD →＋DC →) ＝－OA →＋12
(OD →＋AB →) ＝－OA →＋12OD →＋12
(OB →－OA →) ＝－32OA →＋12OD →＋12
OB ，
∴x ＝12，y ＝－32. 11．直线AB ，CD 为两异面直线，M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，求证：向量AB →，CD →，MN →共
面．
证明：如图，在封闭图形ABNM 中，
MN →＝MA →＋AB →＋BN →，①
在封闭图形CDNM 中，
MN →＝MC →＋CD →＋DN →，②
又∵M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，
∴MA →＋MC →＝0，BN →＋DN →＝0，
①＋②得2MN →＝AB →＋CD →，
即MN →＝12AB →＋12
CD →， ∴向量AB →，CD →，MN →共面．
12．如图所示，已知ABCD ­A 1B 1C 1D 1是平行六面体．
(1)化简12AA 1→＋BC →＋23
AB →，并在图中标出其结果； (2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34
分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α，β，γ的值．
解：(1)取DD 1的中点G ，过点G 作DC 的平行线GH ，使GH ＝23
DC ，
连接AH (如图)，则12AA 1→＋BC →＋23
AB →＝AH →； (2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34
BC 1→ ＝12(AB →－AD →)＋34
(AA 1→＋AD →) ＝12AB →＋14AD →＋34
AA 1→ ∴α＝12，β＝14，γ＝34
.。