高中数学《正弦函数、余弦函数-第2课时》导学案

第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）
一、学习目标
知识目标：要求能理解三角函数的奇、偶性和单调性；
能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。

德育目标：激发学习数学的兴趣和积极性，陶冶的情操，培养坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

【重点、难点】
重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
二、学习过程
(一)复习：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？
（二）、新课探究：
1、奇偶性
观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
(1) 余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。

例如：f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3π
)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。

(2) 正弦函数的图形
观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？
这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。

2.单调性
从y ＝sinx ，x ∈［－23,2π
π］的图象上可看出：
当x ∈［－2π，2π
］时，曲线逐渐上升，sinx 的值由－1增大到1.
当x ∈［2π，23π
］时，曲线逐渐下降，sinx 的值由1减小到－1.
结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π
＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π
＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；
在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
3.有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx 的对称轴为x=2ππ+
k k ∈Z y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z
练习1。

（1）写出函数x y 2sin 3=的对称轴；
（2）
)4sin(π+=x y 的一条对称轴是（ C ） (A) x 轴， (B) y 轴， (C) 直线4π=
x ， (D) 直线4π-=x
思考：P46面11题。

【典型例题】
例3．（P38）下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么？.
(1)y=cosx+1,x ∈R ;(2)y=-3sin2x,x ∈R .
解:(1)使函数y=cosx+1,x ∈R 取得最大值的x 的集合,就是使函数y=cosx,x ∈R 取得最大值的x 的集合{x|x=2k π,k ∈Z };
使函数y=cosx+1,x ∈R 取得最小值的x 的集合,就是使函数y=cosx,x ∈R 取得最小值的x 的集合{x|x=(2k+1)π,k ∈Z }.
函数y=cosx+1,x ∈R 的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.
(2)令Z =2x,使函数y=-3sin Z ,Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是{Z |Z =-
2π+2kπ,k ∈Z }, 由2x=Z =-2π+2kπ,得x=-4
π+kπ. 因此使函数y=-3sin2x,x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x|x=-
4
π+kπ,k ∈Z }. 同理,使函数y=-3sin2x,x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x|x=4π+kπ,k ∈Z }. 函数y=-3sin2x,x ∈R 的最大值是3,最小值是-3.
例4（P39） 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0； ①)10sin()18sin(π
π---
②)417cos()523cos(ππ---
例5（P39） 求函数
)321sin(2π+=x y ，[]2,2x ππ∈- 的单调递增区间； 【变式拓展】
1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( ) A.T=2,θ=
2π B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π D.T=1,θ=2
π 2.求函数y=21sin(4π-32x )的单调递减区间及单调递增区间.
三、学习总结
本节课学习了以下内容：正弦、余弦函数的性质
1． 单调性
2． 奇偶性
3． 周期性
四、随堂检测
1.函数y=sin(
3
π-2x)的单调减区间是( ) A.[2kπ-12π,2kπ+125π](k ∈Z ) B.[4kπ-35π,4kπ+3
11π](k ∈Z ) C.[kπ-125π,kπ+1211π](k ∈Z ) D.[kπ12
π-,kπ+125π](k ∈Z ) 2.满足sin(x-4π)≥2
1的x 的集合是( ) A.{x|2kπ+125π≤x≤2kπ+12
13π,k ∈Z } B.{x|2kπ12
π-≤x≤2kπ+127π,k ∈Z } C.{x|2kπ+6
π≤x≤2kπ+65π,k ∈Z } D.{x|2kπ≤x≤2kπ+6π,k ∈Z }∪{x|2kπ+65π≤x≤(2k+1)π,k ∈Z } 3.求下列函数的定义域和值域: (1)y=lgsinx;(2)y=2cos3x .
4.已知函数y=f(x)的定义域是[0,
41],求下列函数的定义域: (1)f(cos 2x);(2)f(sin 2x-2
1). 5.已知函数f(x)=21log |sinx-cosx|.
(1)求出它的定义域和值域;
(2)指出它的单调区间;
(3)判断它的奇偶性;
(4)求出它的周期.
6.若cos 2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立,试求实数m 的取值范围.
7.求函数y=lgsin(
4π-2
x )的单调增区间,以下甲、乙、丙有三种解法,请给予评判. 同学甲:令t=sin(4π-2x ),则y=lgt. ∵y=lgt 是增函数,
∴原函数的单调增区间就是t=sin(
4π-2x )的增区间. 又sinμ的增区间为[2π-+2kπ,2
π+2kπ](k ∈Z ), ∴2π-+2kπ≤4π-2x ≤2
π+2kπ(k ∈Z ), 解得4kπ-2
π≤x≤4kπ+23π(k ∈Z ). ∴原函数的增区间为[4kπ-2
π,4kπ+23π](k ∈Z ). 同学乙:令t=sin(4π-2
x ),则y=lgt. ∵y=lgt 是增函数,∴原函数的单调区间就是t 的增区间.
∵t=sin(
4π-2x )=cos(4π+2
x ), ∴只需求出cos(4π+2x )的增区间. 由于cosμ的增区间为[2kπ-π,2kπ](k ∈Z ).
∴2kπ-π≤
4π+2x ≤2kπ⇒4kπ25π-≤x≤4kπ-2
π(k ∈Z ). ∴原函数的增区间为[4kπ25π-,4k π-2
π](k ∈Z ). 同学丙:令t=sin(4π-2x ),则y=lgt. ∵y=lgt 是增函数,
∴原函数的单调增区间是使t>0且t 为增函数的x 的范围.
∵t=sin(
4π-2x )=cos(4π+2
x ), ∴只需求出使t=cos(4π+2
x )>0且t 为增函数的x 的区间. 于是有2kπ-2π<4π+2x ≤2kπ⇒4kπ-23π<x≤4kπ-2
π(k ∈Z ), ∴原函数的增区间为(4kπ-23π,4kπ-2π］(k ∈Z ).。