学期高二期中考试数学(理)(附答案)

高二数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知b a >，则下列不等式中成立的是
A.2
2
b a >
B.
b
a 11< C.
a
b a 1
1>- D.3
3b a >
2. 已知条件p ：a≤1，条件q ：|a|≤1，则p 是q 的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，若22a =，34a =，则4s =
A. 15
B. 14
C. 8
D. 7
4. 已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C=3∶2∶1，那么对应的三边之比a ∶b ∶c 等于
A.3:2:1
B.
2:1 C. D.
3. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，34a =，则4S =
A. 15
B. 14
C. 8
D. 7
4. 已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C=3∶2∶1，那么对应的三边之比a ∶b ∶c 等于 A.3∶2∶1 B.
3∶2∶1 C. 3∶2∶1 D. 2∶3∶1
5. 已知p 、q 是两个命题，若“⌝（p ∨q ）”是真命题，则
A ．p 、q 都是真命题
B ．p 、q 都是假命题
C ．p 是假命题且q 是真命题
D ．p 是真命题且q 是假命题
6. 等差数列}{n a 中，24321-=++a a a ，78201918=++a a a ，则此数列的前20项和为
A.160
B. 180
C. 200
D. 220
7. 已知各项均为正数的等差数列{a n }的前20项和为100，那么219a a ⋅的最大值是
A ．50
B ．25
C ．100
D ．
8. 不等式022
>++bx ax 的解集是}3
1
21|{<<-
x x ，则a b -的值为 A ．14
B ．14-
C ．10
D ．10-
9. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则下列判断中正确的是 A. 30,25,150a b A ===，有一解 B. 7,14,30a b A ===，有两解 C. 6,9,45a b A ===，有两解 D. 9,10,60b c B ===，无解 10. 在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ,,的对边，2sin(2)16
A π
+
=，1,b ABC =∆的面积
是
2
3
，则边c 等于 A. 2
B.
C.
32 D. 72
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二. 填空题：本大题共5小题，每小题分，共25分.
11. 命题“x R ∃∈，2
0x x ->”的否定是 .
12. 已知变量,x y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪-≤⎩
则x y +的最大值是 ．
13. 函数3
(2)2
y x x x =+
>-取得最小值时相应的x 的值是 . 14. 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 ＫＢ，然后每2分
钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的２倍，那么开机_____分钟， 该病毒占据内存64 ＭＢ(１ ＭＢ＝210 ＫＢ).
15. 在高为200米的气球（Q ）上测得山下一塔（AB ）的塔顶（A ）和塔底 (B)的俯角分别是30,60︒︒，则塔高为 米．
三. 解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16 (本小题满分12分)
在△ABC 中，2cos22cos 2cos A A A =-。

（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若3,2a b c ==，求ABC S ∆.
17 (本小题满分12分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 且满足4cos cos cos a B b C c B -= （Ⅰ）求cos B 的值；
（Ⅱ）若12ac =，b ＝
,a c
15题图
Q
200 A
B
已知数列{}n a 为等比数列且公比2q >，29a =，13645a a +=. （Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.
19 (本小题满分12分)
解关于x 的不等式2(3)10mx m x -+-≥（0m ≤）。

20 (本小题满分13分)
数列{}n a 中，()
()1221,2,11n
n n a a a a n N ++==-=+-∈且.
（Ⅰ）令2n n b a =，求证{}n b 是等差数列，并求{}n b 的通项公式 （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式. （Ⅲ）求数列{}n a 的前n 项和n S
已知定义域为]1,0[的函数)(x f 是增函数，且(1)1f =.
（Ⅰ）若对于任意]1,0[∈x ，总有2
4()4(2)()540f x a f x a --+-≥，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ） 证明23
1
12()1222n n
f ++++
<
参考答案
一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
二. 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11 2,0x R x x ∀∈-≤ 12 4 13 2+ 14 30
15 400
3
三. 解答题：本大题共6
小题，共75分.
16解：（Ⅰ）由已知得222cos
12cos 2cos A A A -
=-，（1分）
则1cos 2A =
,（3分）∵0＜A ＜π，所以3
A π
=（6分） （Ⅱ）∵2b c =.所以222222491
cos 242
b c a c c A bc c +-+-===，（7分）解得
c b =，
（9
分）所以11sin 22ABC S bc A ∆==⨯=。

（12分） 17解∵4cos cos cos a B b C c B -=及正弦定理得
4sin cos sin cos sin cos
A B B C C B -= （2分）
∴4sin cos sin()A B B C =+，即4sin cos sin A B A = （4分） ∵sin 0A ≠，∴1
cos 4
B =
（6分） （Ⅱ）∵12ac =，b ＝2
2
2
2cos b a c ac B =+- （7分）得
2224a c += （9分）由2224a c +=及12ac =解得a c == （12分） 18.解：（Ⅰ）由题意12
11
9
645a q a a q =⎧⎨+=⎩，（1分）解得3q =或2q =（舍去）（3分） ∴1333n n n a -=⋅=，即3n n a = （5分） （Ⅱ）∵3log 3n n =，（6分），∴(1)
122
n n n b n +=++
=
（8分） 12112()(1)1
n b n n n n ==-++ （10分） 数列1n b ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
的前n 项和为111
1122(1)22311n
n n n -+-++
-=++ （12分） 19解；若0m =，则有310x +≤，解得13
x ≤- （1分）
若0m <，∵22(3)4109m m m m =++=++ （2分） （ⅰ）0∆<，即91m -<<-，解集为空集 （5分） （ⅱ）0=，即9m =-，解集为1|3x x ⎧
⎫=⎨⎬⎩⎭
（6分） 1m =-，解集为{}|1x x =- （7分） （ⅲ）0>，即10m -<<或9m <-，
3322m m x m m
++≤≤
（10分） 总之有0m =，解集为1
[,)3
-+∞
10m -<<或9m <-
解集为33[22m m m m
+++
1m =-，解集为{}|1x x =-
9m =-，解集为1|3x x ⎧
⎫=⎨⎬⎩
⎭
91m -<<-，解集为空集 （12分）
注意总结没写解集不扣分，但没总结要扣分
20.解：（Ⅰ）2n ≥时12222n n n n b b a a ---=-=，∴{}n b 是等差数列 （2分） 且122b a ==，∴2n b n = （3分） （Ⅱ）
()()211n
n n a a n N ++-=+-∈
当n 为奇数时，()20n n a a n N ++-=∈，即2n n a a += 因为11a =，∴*13211()k a a a k N -==
==∈
故当n 为奇数时，1n a =；（4分） 当n 为偶数时，2
n n a b n == （6分）
所以n a 的通项公式为1,,n n a n n ⎧=⎨
⎩为奇数
为偶数
（7分）
（Ⅲ） 当n 为偶数时，2(2)4212141224
n n
n n n n
S n ++=++++
++=+=
（10分） 当n 为奇数时，22
1(1)4(1)(1)1144
n n n n n S S --+-+=+=+= （12分）
故()2
2
1,44,4
n n n S n n
n ⎧+⎪
⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数 （13分）
21. 解：（Ⅰ）()f x 在[]0,1上是增函数，则()(1)1f x f ≤=，故1()0f x -≥（1分） 当()1f x =时，不等式化为010a ⋅+≥，显然a R ∈；（2分）
当()1f x <时，不等式化为24()8()5
44()
f x f x a f x -+≤-对于[]0,1x ∈恒成立. （3分）
设[]
24()8()511()44()41()f x f x y f x f x f x -+==-+
-- （4分）1≥ 当且仅当1
()2
f x =
取等号，∴min 1y = （5分）从而1a ≤ （6分） 综上所述，(],1a ∈-∞ （7分）
（II ）令n T =231
12222n n ++++ ① 则12n T = 3412
1212222n n n n ++-++++ ② （8分） ①－②得211111
2222n n n T +=+++- （11分）
＝111122n n n
+--< （12分）又由①知0n T >，∵()f x 在[]0,1上是增函数，
∴23112()(1)1222
n n
f f ++++<= （14分）。