2019-2020学年湖北省武汉市外国语学校高三数学理联考试卷含解析

2019-2020学年湖北省武汉市外国语学校高三数学理联
考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD （8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（m，n）的值，由题意
∈N*，从而得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得：
n=2，i=0，m=48，
满足条件n≤48，满足条件MOD（48，2）=0，i=1，n=3，
满足条件n≤48，满足条件MOD（48，3）=0，i=2，n=4，
满足条件n≤48，满足条件MOD（48，4）=0，i=3，n=5，
满足条件n≤48，不满足条件MOD（48，5）=0，n=6，
…
∵∈N*，可得：2，3，4，6，8，12，16，24，48，
∴共要循环9次，故i=9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD （m，n）的值是解题的关键．
2. 已知数列{a n}是等差数列，其前n项和S n有最大值，且＜﹣1，则使得S n＞0的n的最大值为（）
A．2016 B．2017 C．4031 D．4033
参考答案：
C
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论．
【解答】解：由题意知d＜0，a2016＞0，a2016+a2017＜0，
因此S4031＞0，S4032＜0．
故选：C．
3. 定义两种运算：则函数（）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D. 既不是奇函数又不是偶函数
参考答案：
【知识点】函数奇偶性的判断. B4
【答案解析】A 解析：根据题意得：，由得
这时，所以
因为，是奇函数，所以选A.
【思路点拨】先利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最后看f（x）与f（-x）的关系得结论．
4. 已知是定义在R上的偶函数且它图象是一条连续不断的曲线，当时，
，若，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
5. 已知点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，若，
，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
参考答案：
D
解：由，可知△为直角三角形，
又，可得，
联立，解得：，．
由，得，即．
．
故选：．
6. 下列函数中，有反函数的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
7. 设全集，集合，，则( )
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
8. 给定方程：，下列命题中：(1) 该方程没有小于0的实数解；(2) 该方程有无数个实数解；(3) 该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解；(4) 若x0是该方程的实数解，则x0>–1．则正确命题的个数是（）
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
参考答案：
C
解： ，
令，，
在同一坐标系中画出两函数的图像如右，
由图像知：(1)错，(3)、(4)对，
而由于递增，小于1，
且以直线为渐近线，在－1到1之间振荡，故在区间(0,+￥)上，两者图像有无穷个交点，∴(2)对，故选C.
9. 已知角的终边均在第一象限，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
D
略
10. 已知函数，若 f(x)) 在R 上既有最大值又有最小值，
且最大值与最小值的和为4 ，则3b-2a=
Ａ． 6 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．3
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，点D是△ABC的边BC上一点，，，，
，AC=_____。

参考答案：
【分析】
由已知及余弦定理可求，结合范围，即可求得，求得，利用正弦定理即可得解的值．
【详解】，，，，
由余弦定理可得：，
，
，
，
由正弦定理可得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计
算能力和转化思想，属于中档题．
12. 如果存在实数使不等式成立，则实数的取值范围是_________．
参考答案：
13. 一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两
个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数，那么积m?n
是．
参考答案：
6
【考点】简单组合体的结构特征．
【专题】计算题；作图题；转化思想．
【分析】画出正六面体、正八面体及内切球，设出半径r1与r2，
利用体积求出两个半径的比，然后得到m?n．
【解答】解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与r2，
再设六面体中的正三棱锥A﹣BCD的高为h1，
八面体中的正四棱锥M﹣NPQR的高为h2，如图所示
则h1=a，h2=\frac{\sqrt{2}}{2}a．
∵V正六面体=2?h1?S△BCD=6?r1?S△ABC，∴r1=h1=\frac{\sqrt{6}}{9}a．
又∵V正八面体=2?h2?S正方形NPQR=8?r2?S△MNP，
a3=2r2a2，r2=\frac{\sqrt{6}}{6}a，于是是最简分数，
即m=2，n=3，∴m?n=6．
【点评】本题考查简单几何体的结构特征，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是难题．
14. 已知向量夹角为，且，则；
参考答案：
略
15. 已知函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则
____________ ．
参考答案：
2014
略
16. 若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是．
参考答案：
﹣
考点：三角函数的恒等变换及化简求值．
专题：计算题．
分析：求出表达式的平方的值，根据角的范围确定表达式的符号，求出值即可．
解答：解：（cosθ﹣sinθ）2=1﹣sin2θ=，又，cosθ＜sinθ
所以cosθ﹣sinθ=，
故答案为：．
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围三角函数的符号的确定，是本题的关键．
17. 记函数的图象与轴围成的区域为M,满足的区域为N，若向区域M上随机投一点P，则点P落入区域N的概率为 .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数．
（）求的值．
（）求函数的最小正周期和单调递增区间．
（）求在区间上的最大值和最小值．
参考答案：
（）
（）最小正周期为
单调递增区间为，
（）在上最大值为，最小值为（）∵
．
．
（）最小正周期，
，
，
，
∴单调递增区间为，．（）∵，
，
，
，
，
∴在上最大值为，最小值为．
19. 已知焦点在轴上的椭圆C1：=1经过A(1，0)点，且离心率为．
(I)求椭圆C1的方程；
(Ⅱ)过抛物线C2：(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，
记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与轴平行时，求h的最小值．
参考答案：
解：（Ⅰ）由题意，得，椭圆的方程为.…4分（Ⅱ）设，由，抛物线在点处的切线的斜率为,所以的方程为,……………5分
代入椭圆方程得,
化简得
又与椭圆有两个交点，故①设，中点横坐标为，则
, …………………8分
设线段的中点横坐标为,
由已知得即，②………………10分
显然,③
当时，，当且仅当时取得等号，此时不符合①式，故舍去；
当时，，当且仅当时取得等号，此时，满足①式。

综上，的最小值为1.………………12分
略
20. 已知函数，其中.
（1）当时，求的单调递增区间;
（2）若在区间上的最小值为8，求的值.
参考答案：
解:（1）当时，，
的定义域为
=
令得
所以当时，的单调递增区间为
（2)
令，得
，
所以，在区间上，，的单调递增；
在区间上，，的单调递减；
又易知，且
①当时，即时，在区间上的最小值为，由
=8，得,均不符合题意。

②当时，即时，在区间上的最小值为，不
符合题意
③当时，即时，在区间上的最小值可能为或处取
到，而，
，得或（舍去），当时，在区
间上单调递减，在区间上的最小值符合题意，
综上，
21. 某投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得10-1 000万元的投资收益，现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时奖金不超过投资收益的20%，(Ⅰ)设奖励方案的函数模拟为f（x），试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f （x）的基本要求；
(Ⅱ)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
(1)y=+2；(2)y=4lgx-3．
试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求？
参考答案：
(1)解：由题意知,公司对奖励方案的函数模型 f (x)的基本要求是：
当x∈[10，1000]时，①f (x)是增函数；②f(x)≥1恒成立；③恒成立．
(2)解：①对于函数模型
当x∈[10，1000]时，f (x)是增函数，则f(x)≥1显然恒成立
而若使函数在[10，1000]上恒成立，即29x≥300恒成立
而(29x)min = 290，∴不恒成立故该函数模型不符合公司要求．
②对于函数模型
当x∈[10，1000]时， f (x)是增函数，. ∴f (x)≥1恒成立
设，则
当x≥10时，
所以g (x)在[10，1000]上是减函数
从而g (x)≤g (10) = 4lg10－2－ 2 = 0 ∴≤0，即
∴恒成立. 故该函数模型符合公司要求．
略
22. （本题满分12分）某旅游推介活动晚会进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖规则是：抽奖盒
中装有个大小相同的小球，分别印有“多彩十艺节”和“美丽泉城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球，若抽到两个球都印有“多彩十艺节”标志即可获奖.
（I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几个“多彩十艺节”球？主持人笑说：我只知道从盒中
同时抽两球不都是“美丽泉城行”标志的概率是，求抽奖者获奖的概率；
（Ⅱ）上面条件下，现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用表示获奖的人数，求的分布列及.
参考答案：
I）设印有“美丽泉城行”标志的球有个，不都是“美丽泉城行”标志为事件，
则都是“美丽泉城行”标志的概率是,由对立事件的概率：
,
得，故“多彩十艺节”标志卡共有4张
∴抽奖者获奖的概率为………………………………6分
Ⅱ）～，的分布列为或
∴
…………………………12分。