苏教版必修四第二章平面向量第四讲向量的数量积(习题+解析)

高中
向量的数目积
数学
（答题时间： 40 分钟）
1. 以下式子：
① a 2b ＝ b
； ② （ a ·b ） 2＝ a 2·b 2； ③ a ·a ·a ＝a 3 ；④ （ a ·b ） ·c ＝ a ·（b ·c ）
a
a
此中错误的序号为 ________。

*2. （安徽高考）若非零向量 a ，b 知足 |a|＝ 3|b|＝ |a ＋ 2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为 _______。

**3. （山东高考）在平面直角坐标系
xOy 中，已知 OA ＝（－ 1， t ）， OB ＝（ 2，2），若
∠ ABO ＝ 90°，则实数 t 的值为 ________。

*4.
在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC ＝ 2 BD ，CA ＝ 3 CE ，则 AD ·BE ＝ ________。

**5. 已知向量 a ＝（ 1， 2）， b ＝（－ 2，－ 4），|c|＝ 5 ，若（ a ＋ b ） ·c ＝
5
，则 a 与 c 的
2
夹角是 ________。

**6.
→ →
已知向量 OA ＝（ 2，2）， OB ＝（ 4，1），O 为坐标原点， 在 x 轴上取一点 P 使AP ·BP 有最小值，则点 P 的坐标是 ________。

**7. 已知 |a|＝ 5， |b|＝ 4，且 a 与 b 的夹角为
60°，则当 k 为什么值时，向
量 ka － b 与 a ＋ 2b 垂直？
**8. 已知 |a|＝ 2 ， |b|＝ 3， a 和 b 的夹角为 45°，求当向量 a ＋λb 与 a ＋ b 的夹角为锐角
时 λ的取值范围。

***9.
已知 a ＝（ 3 ，－ 1）， b ＝（ 1 ，
3
），且存在实数 k 和 t ，使得 x ＝ a ＋（ t 2－ 3）
k t 2
2
2
的最小值。

b ， y ＝－ ka ＋ tb ，且 x ⊥ y ，试求
t
1. ①②④ 分析： ① 错，由于不存在这样的运算，向量间只好作加、减、乘运算，本题应
分子、 分母先分开算； ② 错，由于（ a ·b ）2＝（ |a| |b|cos · θ）2＝ a 2·b 2cos 2θ不必定与 a 2·b 2 相等；
④ 错，由于 a 与 c 方向未必一致。

1 2. －
分析： 由 |a|＝ |a ＋ 2b|，两边平方， 得|a|2＝（ a ＋2b ）2 ＝ |a|2＋4|b|2＋4a ·b ，因此 a ·b
3
2
＝－ |b|2
，又 |a|＝ 3|b|，因此 cos 〈 a ， b 〉＝
a b
b
＝－1。

＝
2
a b
3 b 3
3. 5 分析： ∵∠ ABO ＝ 90°，∴ AB ⊥ OB ， ∴ OB ·AB ＝ 0， 又 AB ＝ OB － OA ＝（ 2， 2）－（－ 1，t ）＝（ 3， 2－ t ）， ∴ （ 2， 2） ·（ 3， 2－ t ）＝ 6＋ 2（ 2－ t ）＝ 0，
∴ t ＝ 5。

4. － 1 分析：选 CA ， CB 为基底，则 AD ＝－ CA ＋ 1 CB ，
4 2
2
5
5.
π 分析：设 c ＝（ x ， y ），则（ a ＋ b ）·c ＝（－ 1，－ 2） ·（ x ， y ）＝－ x － 2y ＝ ，
3
2
∴ x ＋ 2y ＝－ 5
，又 |a|＝ |c|＝ 5 ，且 a ·c ＝x ＋ 2y ＝ |ac| cos · α，故 cos α＝－ 1
，α∈ [0，π]，α
＝
2
2
2
π。

3
6. （ 3，0） 分析： 设点 P 坐标为（ x ，0），则 AP ＝（ x －2，－ 2）， BP ＝（ x － 4，－ 1），
AP ·BP ＝（ x －2）（ x － 4）＋（－ 2） ×（－ 1）＝ x 2－ 6x ＋ 10＝（ x － 3） 2＋1，当 x ＝3 时，
AP ·BP 有最小值 1，
∴ 点 P 的坐标为（ 3， 0）。

7. 解： ∵ （ ka － b ）⊥ （ a ＋2b ），
∴（ ka － b ）·（ a ＋ 2b ）＝ 0，ka 2＋（ 2k － 1）a ·b －2b 2＝ 0，k ×52＋（ 2k － 1）×5×4×cos 60 °
－ 2×42＝ 0，
∴ k ＝
14
，即 k ＝
14
时，向量 ka － b 与向量 a ＋ 2b 垂直。

15
15
8. 解：由于向量 a ＋ λb 与 a ＋ b 的夹角为锐角， 因此（ a ＋λb ）·（ a ＋ b ）＝ a 2＋（ 1＋ λ）a ·b
＋ λb 2＝ 12λ＋5＞ 0，
由此解得 λ＞－
5
，若向量 a ＋ λb 与 a ＋ b 同向，则存在独一的正数 k ，使得 a ＋λb ＝ k
12
（ a ＋ b ）建立，有 k ＝ λ＝ 1，
要保证向量 a ＋λb 与 a ＋b 不一样向，则一定
λ≠ 1.
综上所述，当 λ＞－ 5
且 λ≠1时，向量 a ＋ λb 与 a ＋ b 的夹角为锐角。

12
9. 解： ∵ a ＝（
3 ，－ 1）， b ＝（ 1 3
），
，
2 2 ∴ |a|＝ ( 3) 2 ( 1) 2 ＝2，
|b|＝ ( 1
)
2
(
3)2
＝1，
2
2
又 ∵ a ·b ＝ 3 1
3
× ＋（－ 1）×
＝ 0， ∴ a ⊥ b ，
2
2
由 x ⊥y 得 [a ＋（ t 2－ 3） b] ·（－ ka ＋ tb ）＝ 0，即
－ ka 2＋（ t 3－ 3t ） b 2 ＋（ t － kt 2＋ 3k ） a ·b ＝ 0，
∴ － k|a|2 ＋（ t 3－ 3t ） |b|2＝ 0.
将 |a|＝2， |b|＝ 1 代入上式，得－ 4k ＋ t 3 －3t ＝0， 解得 k ＝ t
3
3t ，
4
∴ k t
2
＝
1
（ t 2
＋ 4t － 3）＝ 1
（ t ＋ 2） 2
－ 7
，
t
4
t 2 4
4
故当 t ＝－ 2 时，
k
获得最小值，为－ 7 。

t
4。